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1、核心素养测评五十四 圆的方程(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是()A.m1B.m1C.m1【解析】选B.由D2+E2-4F=16m2+4-20m0,解得:m1或m.2.(2020太原模拟)两条直线y=x+2a,y=2x+a的交点P在圆(x-1)2+(y-1)2=4的内部,则实数a的取值范围是()A.B.(1,+)C.D.1,+)【解析】选A.联立解得P(a,3a),因为点P在圆内,所以(a-1)2+(3a-1)24,所以-a0),则,解得a=,r2=,则该圆的标准方程为+y2=.7.若实数x,y满足x2+y2-2x-
2、2y+1=0,则的取值范围为 ()A.0,B.,+)C.(-,D.-,0)【解析】选B.令=t,即tx-y-2t+4=0,表示一条直线(不含(2,4)点);又因为方程x2+y2-2x-2y+1=0可化为(x-1)2+(y-1)2=1,表示圆心为(1,1),半径为1的圆;由题意知直线与圆有公共点,所以圆心(1,1)到直线tx-y-2t+4=0的距离d=1,所以t,即的取值范围为,+).二、填空题(每小题5分,共15分)8.圆心在直线y=-4x上,且与直线x+y-1=0相切于点P(3,-2)的圆的标准方程为_.【解析】因为圆心在直线y=-4x上,设圆心C为(a,-4a),圆与直线x+y-1=0相切
3、于点P(3,-2),则kPC=1,所以a=1.即圆心为(1,-4).r=|CP|=2,所以圆的标准方程为(x-1)2+(y+4)2=8.答案:(x-1)2+(y+4)2=89.若圆x2+y2+2x-2y+F=0的半径为1,则F=_.【解析】根据圆的半径计算公式列方程,解方程求得F的值.圆的半径为=1,解得F=1.答案:110.若a,则方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示的圆的个数为_.【解析】方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆的条件为a2+4a2-4(2a2+a-1)0,即3a2+4a-40,解得-2a0).令y=0,得x2+Dx+F=0,所以x1+x2=-
4、D.令x=0,得y2+Ey+F=0,所以y1+y2=-E.由题意知-D-E=2,即D+E+2=0.又因为圆过点A,B,所以16+4+4D+2E+F=0.1+9-D+3E+F=0.解组成的方程组得D=-2,E=0,F=-12.故所求圆的方程为x2+y2-2x-12=0.5.(10分)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限,半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.(1)求圆C的方程.(2)试探求C上是否存在异于原点的点Q,使Q到定点F(4,0) 的距离等于线段OF的长?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设圆C的圆心为C(a,b),则圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=8.因为直线y=x与圆C相切于原点O,所以O点在圆C上,且OC垂直于直线y=x,于是有解得或由于点C(a,b)在第二象限,故a0,所以圆C的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.(2)假设存在点Q符合要求,设Q(x,y),则有解得x=或x=0(舍去).所以存在点Q,使Q到定点F(4,0)的距离等于线段OF的长.