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1、2.1 函数及其表示核心考点精准研析考点一函数的定义域1.函数y=的定义域是()A.(-1,3)B.(-1,3C.(-1,0)(0,3)D.(-1,0)(0,32.若函数y=f(x)的定义域是0,2 020,则函数g(x)=f(x+1)(x1)的定义域是 ()A.-1,2 019B.-1,1)(1,2 019C.0,2 020D.-1,1)(1,2 0203.(2020抚州模拟)若函数f(x)的定义域为0,6,则函数的定义域为 ()A.(0,3)B.1,3)(3,8C.1,3)D.0,3)4.函数f(x)=lg+(4-x)0的定义域为_.【解析】1.选D.由题意得解得-12且x3且x4,所以函
2、数的定义域为(2,3)(3,4)(4,+).答案:(2,3)(3,4)(4,+)题2中,若将“函数y=f(x)的定义域是0,2 020”改为“函数y=f(x-1)的定义域是0,2 020”,则函数g(x)=f(x+1)(x1)的定义域为_.【解析】由0x2 020,得-1x-12 019,再由-1x+12 019,解得-2x2 018,又因为x1,所以函数g(x)的定义域是-2,1)(1,2 018.答案:-2,1)(1,2 0181.具体函数y=f(x)的定义域序号f(x)解析式定义域1整式R2分式分母03偶次根式被开方数04奇次根式被开方数R5指数式幂指数R6对数式真数0;底数0且17y=
3、x0底数x02.抽象函数(没有解析式的函数)的定义域解题方法:精髓是“换元法”,即将括号内看作整体,关键是看求x还是求整体的取值范围.(1)已知y=f(x)的定义域是A,求y=f(g(x)的定义域:可由g(x)A,求出x的范围,即为y=f(g(x)的定义域.(2)已知y=f(g(x)的定义域是A,求y=f(x)的定义域:可由xA求出g(x)的范围,即为y=f(x)的定义域.【秒杀绝招】排除法解T1,可依据选项的特点,将0,3代入验证.考点二求函数解析式【典例】1.已知f=ln x,则f(x)=_.2.已知f=x2+x-2,则f(x)=_.3.已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-
4、f(x)=x-1,则f(x)=_.4.已知函数f(x)的定义域为(0,+),且f(x)=2f-1,则f(x)=_.【解题导思】序号联想解题1由f,想到换元法2由f,想到配凑法3由f(x)是二次函数,想到待定系数法4由f,想到消去(也称解方程组)法【解析】1.设t=+1(t1),则x=,代入f=ln x得f(t)=ln,所以f(x)=ln (x1).答案:ln(x1)2.因为f=x2+x-2=-2,又因为x+-2或x+2,所以f(x)=x2-2(x-2或x2).答案:x2-2(x-2或x2) 3.设f(x)=ax2+bx+c(a0),由f(0)=2,得c=2,f(x+1)-f(x)=a(x+1)
5、2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=x-1,即2ax+a+b=x-1,所以即所以f(x)=x2-x+2.答案:x2-x+24.在f(x)=2f-1中,将x换成,则换成x,得f=2f(x)-1,由解得f(x)=+.答案:+ 函数解析式的求法(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法.(2)换元法:已知复合函数f(g(x)的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.(3)配凑法:由已知条件f(g(x)=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的表达式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.(4)消去(方程组)法:已知f(x)与f或f(-x)之间的关系式,可根据已知条件再构造出
6、另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).1.若函数f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)的解析式为_.【解析】方法一(换元法):由题意知g(x+2)=2x+3,令t=x+2,则x=t-2,所以g(t)=2(t-2)+3=2t-1,所以g(x)=2x-1,答案:g(x)=2x-1方法二(配凑法):由题意知g(x+2)=2x+3=2(x+2)-1.所以g(x)=2x-1.答案:g(x)=2x-12.已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,则f(x)=_.【解析】设f(x)=ax+b(a0),则3f(x+1)-2f(x-1)=ax+5a+b
7、,所以ax+5a+b=2x+17对任意实数x都成立,所以解得所以f(x)=2x+7.答案:2x+7考点三分段函数及其应用命题精解读1.考什么:(1)考查求函数值、解方程、解不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、直观想象等核心素养.2.怎么考:基本初等函数、函数的单调性、不等式交汇考查函数的概念、图像等知识.3.新趋势:以基本初等函数为载体,与其他知识交汇考查为主.学霸好方法1.求值问题的解题思路(1)求函数值:当出现f(f(x)的形式时,应从内到外依次求值.(2)求自变量的值:依据题设条件,在各段上得出关于自变量的方程,然后求出相应自变量的值.2.交汇问题:与方程、不等式交汇时,要依据“
8、分段问题,分段解决”进行讨论,最后将结果并起来.分段函数的求值问题【典例】已知f(x)=则f+f的值为 ()A.B.- C.-1D.1【解析】选D.f+f=f+1+f=cos+1+cos=1.如何求分段函数的函数值?提示:分段函数求函数值时,要根据自变量选取函数解析式,然后再代入.分段函数与方程问题【典例】已知函数f(x)=且f(a)=-3,则f(6-a)= ()A.-B.-C.-D.-【解析】选A.当a1时不符合题意,所以a1,即-log2(a+1)=-3,解得a=7,所以f(6-a)=f(-1)=2-2-2=-.求分段函数含有参数的函数值,如何列方程?提示:列方程时,若自变量的范围确定时,
9、则直接代入;若不确定,则需要分类讨论.分段函数与不等式问题【典例】(2017全国卷)设函数f(x)=则满足f(x)+f1的x的取值范围是_.【解析】令g(x)=f(x)+f,当x0时,g(x)=f(x)+f=2x+;当0时,g(x)=f(x)+f=2x-1,写成分段函数的形式:g(x)=f(x)+f=函数g(x)在区间(-,0,三段区间内均连续单调递增,且g=1,20+0+1,(+2)20-11,可知x的取值范围是.答案:如何求解由分段函数构成的不等式?提示:求解分段函数构成的不等式,关键是确定自变量在分段函数的哪一段,用对解析式.1.设函数f(x)=则f(-2)+f(log212)=()A.
10、3B.6C.9D.12【解析】选C.因为函数f(x)=所以f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3,f(log212)=12=6,则有f(-2)+f(log212)=3+6=9.2.(2020长沙模拟)已知函数f(x)=那么f(f(-3)=_.【解析】由已知得f(-3)=2-(-3)=5,从而f(f(-3)=f(5)=52=25.答案:251.已知函数f(x)的定义域为(-,+),如果f(x+2 020)=那么ff=()A.2 020B.C.4D.【解析】选C.当x0时,有f=sin x,所以f=sin =1,当x0时,f=lg(-x),所以f(-7 980)=f(-10 000+2 0
11、20)=lg10 000=4,ff=14=4.2.在一个展现人脑智力的综艺节目中,一位参加节目的少年能将圆周率准确地记忆到小数点后面200位,更神奇的是当主持人说出小数点后面的位数时,这位少年都能准确地说出该数位上的数字.如果记圆周率小数点后第n位上的数字为y.那么你认为y是n的函数吗?如果是,请写出函数的定义域、值域与对应关系.如果不是,请说明理由.【解析】y是n的函数.理由如下:n任取一个数字,就有0到9之间的一个数字与之对应,符合函数的定义,所以函数的定义域是1,2,3,4,n(其中n是圆周率小数点后面的位数);值域是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;对应关系是y与的小数点后第n位上的数字对应.