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1、6.1 不等式的性质及一元二次不等式核心考点精准研析考点一比较大小与不等式的性质1.(2019泉州模拟)若abc,ac0B.bcacD.b(a-c)02.若a=2 0192 0222 0222 019,b=2 0192 01920222 022,则ab(用“,bc,ac0,c0,故abac,正确.2.=1,所以ab.答案:3.m-n=-=0,所以mn.答案:1.用同向不等式求差范围的技巧a-dx-yb-c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到.2.比较大小的三种常用方法(1)作差法:直接作差判断正负即可.(2)作商法:直接作商与1的大小比较,注意两式的符号.(3)函数的单调性法:把比较的两
2、个数看成一个函数的两个值,根据函数的单调性比较.【秒杀绝招】1.特殊值排除法解T1,取条件范围内的特殊值代入排除不成立的选项,即可得出正确选项.2.转化法解T3,比较大小时可以结合函数的单调性,根据不等式的特点构造函数f(x)=解题.考点二一元二次不等式的解法【典例】1.(2020牡丹江模拟)不等式x(2-x)0的解集是()A.(2,+)B.(-,2)C.(0,2)D.(-,0)(2,+)2.若不等式ax2+2x+c1,则关于x的不等式(1-a)(x-a)0的解集是.【解题导思】序号联想解题1由不等式想到x的系数变为正数后解不等式2由不等式的解集想到对应方程的根、根与系数的关系求系数3由不等式
3、想到不等式变形、求根、根的大小写解集【解析】1.选D.因为x(2-x)0,所以x2或x1时,1-a,则关于x的不等式可化为(x-a)0,解得xa,所以不等式的解集为(a,+).答案:(a,+)1.解不含参数的一元二次不等式首先将二次项的系数变为正数,若对应的方程有根,求根后根据图像写解集;若无根,直接根据图像写解集.2.解含参数的一元二次不等式(1)先讨论二次项系数为0的情况,二次项系数为零时不等式变为一次不等式或常数不等式,易得不等式的解集;(2)再讨论二次项系数不为0的情况,利用“”或“十字相乘法”求根,若有根,则讨论根的大小后根据图像写解集;若无根,则根据图像写解集.1.(2019西安模
4、拟)不等式ax2+bx+c0的解集为(-4,1),则不等式b(x2+1)-a(x+3)+c0的解集为()A.B.C.(1,+)D.(-,-1)【解析】选B.因为不等式的解集为(-4,1),则不等式对应方程的实数根为-4和1,且a0,化为3(x2+1)-(x+3)-40,即3x2-x-40,解得-1xmnm+nB.m-nm+nmnC.mnm-nm+nD.m+nm-nmn【解析】选B.因为m=log0.30.6log0.31=0,n=log20.6log21=0,所以mn0,因为-=-2log0.62=log0.60.250,=log0.60.30,而log0.60.25log0.60.3,所以-
5、0,即m+n0,因为(m-n)-(m+n)=-2n0,所以m-nm+n,所以m-nm+nmn.考点三一元二次不等式恒成立问题命题精解读1.考什么:(1)求恒成立问题中的参数范围.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养,以及数形结合、分类与整合等数学思想.2.怎么考:与基本初等函数、导数结合考查一元二次不等式与其对应的函数、方程的关系问题.学霸好方法1.恒成立问题的解题思路(1)利用等价条件直接求范围(2)分离参数后转化为最值问题(3)转化为相应的函数,利用函数的图像解题(4)转换变元,利用转化后对应函数的性质解题2.交汇问题: 与基本初等函数的定义域、值域交汇时,借助函数的性质解题.
6、在R上的恒成立问题【典例】若关于x的不等式x2-ax-a0的解集为(-,+),则实数a的取值范围为.【解析】设f(x)=x2-ax-a,则关于x的不等式x2-ax-a0的解集为(-,+)f(x)0在(-,+)上恒成立=(-a)2-41(-a)=a2+4a0,解得-4a4x+p-3,当0p4时恒成立,则x的取值范围是()A.-1,3B.(-,-1C.3,+)D.(-,-1)(3,+)【解析】选D.方法一:特殊值法:当x=-1时,由x2+px4x+p-3,得p4x+p-3,得p0,故x=3不符合条件,排除C;方法二:转换变元法:不等式变为p+x2-4x+30,当0p4时恒成立,所以 即 解得x3.
7、1.在R上定义运算ab=(a+1)b,若存在x1,2使不等式(m-x)(m+x)4成立,则实数m的取值范围为()A.(-3,2)B.(-1,2)C.(-2,2)D.(1,2)2.已知关于x的不等式x2-x+a-10在R上恒成立,则实数a的取值范围是.【解析】1.选A.由题意知,不等式(m-x)(m+x)4化为(m-x+1)(m+x)4,即m2+m-4x2-x;设f(x)=x2-x,x1,2,则f(x)的最大值是f(2)=4-2=2;令m2+m-42,即m2+m-60,解得-3m0,|a|1恒成立,则x的取值范围为.【解析】不等式x2+(a-6)x+9-3a0变形为(x-3)a+x2-6x+90,设f(a)=(x-3)a+x2-6x+9,由|a|1,得-1a1,则不等式恒成立,只需即解得所以x4.答案:(-,2)(4,+) - 7 -