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1、考点三复数一、选择题1(2019湖南衡阳三模)已知i是虚数单位,复数iz12i,则复数z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案C解析复数iz12i,iizi(12i),z2i,则复数z在复平面内对应的点(2,1)位于第三象限故选C.2(2019山东潍坊5月三模)设复数z满足i,则|z|()A1 B. C3 D5答案B解析i,z1112i,|z|,故选B.3(2019安徽芜湖5月模拟)设复数z满足i,则下列说法正确的是()Az为纯虚数 Bz的虚部为iC.i D|z|答案D解析z1zi,zi,|z|,复数z的虚部为,i,故选D.4(2019全国卷)设复数z满足|
2、zi|1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A(x1)2y21 B(x1)2y21Cx2(y1)21 Dx2(y1)21答案C解析由已知条件,可得zxyi.|zi|1,|xyii|1,x2(y1)21.故选C.5复数z(i为虚数单位)的共轭复数是()A. B.C.i D.i答案C解析由题意,得zi,i.故选C.6已知i为虚数单位,若复数zi(aR)的实部与虚部互为相反数,则a()A5 B1 C D答案D解析ziii,复数zi(aR)的实部与虚部互为相反数,解得a.故选D.7若复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,且z12i,i为虚数单位,则z1z2()A5 B5 C4i D4i答
3、案A解析因为z12i在复平面内的对应点(2,1)关于虚轴(y轴)的对称点为(2,1),因此z22i,z1z2i245.故选A.8若复数z(ai)2(aR)在复平面内对应的点在虚轴上,则|z|()A1 B3 C2 D4答案C解析由z(ai)2a212ai在复平面内对应的点在虚轴上,知a210,即a1,所以z2i,故|z|2,故选C.二、填空题9若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数的共轭复数是_答案i解析复数i,其共轭复数为i.10(2019湖北部分重点中学联考)_.答案i解析i.11欧拉公式:eixcosxisinx(i为虚数单位),由瑞士数学家欧拉发明
4、,它建立了三角函数与指数函数的关系,根据欧拉公式,(e)2_.答案1解析由eixcosxisinx得(e)22i21.12已知1bi,其中a,b是实数,则复数abi在复平面内对应的点位于第_象限答案二解析由1bi,得a(1bi)(1i)(b1)(b1)i,即a2,b1,复数abi2i在复平面内对应的点的坐标为(2,1),位于第二象限三、解答题13如图,平行四边形OABC,顶点O,A,C分别表示0,32i,24i,试求:(1)表示的复数,表示的复数;(2)对角线表示的复数解(1),表示的复数为32i,表示的复数为32i.(2),表示的复数为(32i)(24i)52i.14已知z1cosisin,
5、z2cosisin,且z1z2i,求cos()的值解z1cosisin,z2cosisin,z1z2(coscos)i(sinsin)i.由22,得22cos()1.cos().一、选择题1(2019安徽合肥第三次教学质量检测)已知i是虚数单位,复数z满足zzi3i,则复数z的共轭复数为()A12i B12i C2i D2i答案C解析zzi3i可化为z,z2i.z的共轭复数为2i,故选C.2(2019四川双流中学一模)已知点Z1,Z2的坐标分别为(1,0),(0,1),若向量对应复数z,则复数z对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析因为点Z1,Z2的坐标分别为(
6、1,0),(0,1),所以(1,1),即复数z对应点位于第二象限,故选B.3(2019山东栖霞高考模拟)已知复数z(ai)(1i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线y2x上,则实数a的值为()A0 B1 C1 D答案D解析因为z(ai)(1i)a1(1a)i,对应的点为(a1,1a),因为点在直线y2x上,所以1a2(a1),解得a.故选D.4(2019河南十所名校测试七)设复数zai,是其共轭复数,若i,则实数a()A4 B3 C2 D1答案C解析zai,ai,又i,则aii,a2.5(2019北京昌平二模)已知复数z1a(1i)(i为虚数单位,a为实数)在复平面内对应的点位于第二象限
7、,则复数z的虚部可以是()Ai B.i C D.答案D解析因为z1a(1i)(a1)ai,所以即0a1,故选D.6设有下面四个命题:p1:若复数z满足R,则zR;p2:若复数z满足z2R,则zR;p3:若复数z1,z2满足z1z2R,则z12;p4:若复数zR,则R.其中的真命题为()Ap1,p3 Bp1,p4 Cp2,p3 Dp2,p4答案B解析设zabi(a,bR),z1a1b1i(a1,b1R),z2a2b2i(a2,b2R)对于p1,若R,即R,则b0zabiaR,所以p1为真命题对于p2,若z2R,即(abi)2a22abib2R,则ab0.当a0,b0时,zabibi/ R,所以p
8、2为假命题对于p3,若z1z2R,即(a1b1i)(a2b2i)(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)iR,则a1b2a2b10.而z12,即a1b1ia2b2ia1a2,b1b2.因为a1b2a2b10/ a1a2,b1b2,所以p3为假命题对于p4,若zR,即abiR,则b0abiaR,所以p4为真命题,故选B.7下面四个命题中,复数zabi(a,bR)的实部、虚部分别是a,b;复数z满足|z1|z2i|,则z对应的点构成一条直线;由向量a的性质|a|2a2,可类比得到复数z的性质|z|2z2;i为虚数单位,则1ii2i20201.正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析复数
9、zabi(a,bR)的实部为a,虚部为b,故正确;设zabi(a,bR),由|z1|z2i|计算得2a4b30,故正确;设zabi(a,bR),当b0时,|z|2z2不成立,故错误;1ii2i20201,故正确8已知复平面内,定点M与复数m12i(i为虚数单位)对应,动点P与zxyi对应,那么满足|zm|2的点P的轨迹方程为()A(x1)2(y2)22 B(x1)2(y2)24C(x1)2(y2)22 D(x1)2(y2)24答案B解析由题意,知在复平面内,zm对应的点为(x1,y2)则由|zm|2,得2,即(x1)2(y2)24,故选B.二、填空题9(2019广东韶关4月模拟)已知是z的共轭
10、复数,且满足(1i)4(其中i是虚数单位),则|z|_.答案2解析由(1i)4,得,22i,|z|2.10(2019天津北辰模拟)用Re(z)表示复数z的实部,用Im(z)表示复数z的虚部,若已知复数z满足(1i)73i,其中是复数z的共轭复数,则Re(z)Im(z)_.答案3解析由题意得,25i,z25i,则Re(z)Im(z)253.11若2i是关于x的实系数方程x2bxc0的一个复数根,则bc_.答案20解析把复数根2i代入方程中,得(2i)2b(2i)c0,即32bc(4b)i0,所以解得故bc20.12定义复数的一种新运算z1z2(等式右边为普通运算)若复数zxyi,i为虚数单位,且
11、实数x,y满足xy2,则z的最小值为_答案2解析z|z|.由于xy2,所以z ,故x时,z取最小值2.三、解答题13设虚数z满足|2z15|10|.(1)计算|z|的值;(2)是否存在实数a,使R?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由解(1)设zabi(a,bR且b0),则abi,|2z15|10|,|(2a15)2bi|(a10)bi|, ,a2b275,|z|5.(2)假设存在实数a,使R.设zcdi(c,dR且d0),则有iiR,0,d0,a,由(1)知 5,a5.14(2019辽宁省鞍山一中一模)设z1为关于x的方程x2mxn0,m,nR的虚根,i为虚数单位(1)当z1i时,求m,n的值;(2)若n1,在复平面上,设复数z所对应的点为P,复数24i所对应的点为Q,试求|PQ|的取值范围解(1)因为z1i,所以z1i,则i2min0,易得(2)设zabi(a,bR),则(a1bi)2m(a1bi)10,于是因为b不恒为零,所以由得m2(a1),代入得,(a1)2b21,其几何意义是以(1,0)为圆心,1为半径的圆,即P是圆上任意一点又复数24i对应的点为Q,所以|PQ|的最大值为16,|PQ|的最小值为4.所以|PQ|的取值范围是4,6