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1、18.2.2 菱形菱形 (1) -菱形的判定菱形的判定u菱形菱形ABCD的性质：的性质：1.具有具有平行四边形平行四边形的的 一切性质。一切性质。2.菱形本身具有的菱形本身具有的特殊特殊性质性质: 四条边相等；四条边相等； 两条对角线互相两条对角线互相垂垂直平分直平分, 每一条对角线每一条对角线 平分一组对角平分一组对角.ABCD12345 678 3.菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半菱形的面积等于菱形对角线乘积的一半. （为什么？为什么？）O1、有一个角是、有一个角是直角直角的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形2、对角线相等对角线相等的的平行四边形平行四边形是矩形是矩形 （对角线（对角线相
2、等且互相平分相等且互相平分的四边形是矩形）的四边形是矩形）3、有三个角是直角有三个角是直角的四边形是矩形的四边形是矩形 菱形的菱形的判定方法判定方法1：u一组一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形是菱形；是菱形；AB=BCABCDABCDABCD菱形菱形ABCD AB = BCABCD 四边形四边形ABCD是菱形是菱形 类比学习平行四边形和矩形的判定过类比学习平行四边形和矩形的判定过 程，研究菱形性质定理的逆命题程，研究菱形性质定理的逆命题, ,你能找你能找 到菱形判定的其他方法吗？到菱形判定的其他方法吗？猜想猜想1 1：对角线互相垂直：对角线互相垂直的平行四边形是菱形的平行四边形是菱形
3、猜想猜想2 2：四条边都相等：四条边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形探索新知探索新知命题：命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形.ABCD已知：在已知：在ABCD 中，中，AC BD求证：求证：ABCD是菱形是菱形证明：证明： ABCD是菱形是菱形又又 AC BD;四边形四边形ABCD是是OA=OCBA=BCO菱形的菱形的判定方法判定方法2：u对角线对角线互相垂直互相垂直的的平行四边形平行四边形是菱形；是菱形；ACBDACBDABCDABCD菱形菱形ABCDABCDABCD四边形四边形ABCD是菱形是菱形（对角线（对角线互相垂直平分互相垂直平分的四边形是菱形）
4、的四边形是菱形）情境情境：李芳同学先画两条等长的线段李芳同学先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以然后分别以B、D为圆心，为圆心，AB为半径画弧，得到为半径画弧，得到两弧的交点两弧的交点C，连接，连接BC、CD，就得到了一个四，就得到了一个四边形，猜一猜，这是什么四边形？边形，猜一猜，这是什么四边形？猜想猜想：四边都相等：四边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形 。ABCDu四条边都相等四条边都相等的四边形是菱形的四边形是菱形. .AB=BC=CD=DAABCD菱形菱形ABCDAB=BC=CD=DA四边形四边形ABCD是菱形是菱形四四边形边形ABCDABCD菱形的菱形的判定方法判定方法3：归纳
5、归纳菱形常用的判定方法：菱形常用的判定方法：1 1、有一组、有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形. .2 2、对角线、对角线互相垂直互相垂直的的平行四边形平行四边形是菱形是菱形. .（对角线（对角线互相垂直平分互相垂直平分的四边形是菱形）的四边形是菱形）3 3、有、有四条边相等四条边相等的的四边形四边形是菱形是菱形. .下列三个图形都是下列三个图形都是菱形菱形, ,你相信吗你相信吗? ?5534345555有一组邻边相等的平有一组邻边相等的平行四边形叫做行四边形叫做菱形菱形对角线互相垂直的平行对角线互相垂直的平行四边形是四边形是菱形菱形 有四条边相等的四边形是有四条边
6、相等的四边形是菱形菱形。3344 做一做：做一做：判断下列命题是否正确，并说明理由判断下列命题是否正确，并说明理由(1)对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形(2)两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形 是菱形是菱形(3)邻角相等的四边形是菱形邻角相等的四边形是菱形(4)有一组邻边相等的四边形是菱形有一组邻边相等的四边形是菱形(5)两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形两组对角分别相等且对角线互相垂直的四边形 是菱形是菱形(6)对角线互相垂直的四边形是菱形对角线互相垂直的四边形是菱形(7)对角线互相垂直平分的四边形是
7、菱形。对角线互相垂直平分的四边形是菱形。(8)一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。 错错对对对对对对错错对对错错对对例例1：如图，如图，ABCD的两条对角线的两条对角线AC、BD相交于点相交于点O， AB=5，AC=8，DB=6 （1）AC、BD互相垂直吗？为什么？互相垂直吗？为什么？ （2）四边形）四边形ABCD是菱形吗？为什么？是菱形吗？为什么？ABCDO四边形四边形ABCD是菱形是菱形.OA = OC = 4 OB = OD = 3解：解： AB = 5 ACBD AOB = 90（2） 四边形四边形ABCD是是， ACBD（1） 四边形四
8、边形ABCD是平行四边形是平行四边形 AB2 = OA2 + OB25431、一边长为一边长为5cm平行四边形的两条对角平行四边形的两条对角 线的长分别为线的长分别为6cm和和8cm，那么平行，那么平行 四边形的面积是四边形的面积是 。 练习练习: :24 ABCDO543 2、 ABCD的对角线的对角线AC与与BD相交于点相交于点O，（1）若）若AB=AD，则，则ABCD是是 形；形；（2）若）若AC=BD，则，则ABCD是是 形；形；（3）若）若ABC是直角，则是直角，则ABCD是是 形；形；（4）若）若BAO=DAO，则，则ABCD是是 形。形。ABCDO矩矩菱菱矩矩菱菱请你动脑筋请你动
9、脑筋把两张把两张等宽等宽的纸条交叉重叠在一起，你的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分能判断重叠部分ABCD的形状吗？的形状吗？ACDB思考:ADCBEF把两张把两张等宽等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分重叠部分ABCDABCD的形状吗？的形状吗？思考:请你动脑筋请你动脑筋例例2：已知：如图已知：如图, ABCD的对角线的对角线AC的垂的垂 直平分线与边直平分线与边AD，BC分别交于分别交于E，F 求证：四边形求证：四边形AFCE是菱形是菱形ABFCDEOAOE COF例例3：如图，顺次连接如图，顺次连接矩形矩形ABCD各边各边 中点，得到四边形中点，得到
10、四边形EFGH， 求证：四边形求证：四边形EFGH是是菱形菱形。HGFEDCBA例例4：如图，如图，CD为为RtABC斜边斜边AB上的高上的高,BAC 的平分线交的平分线交CD于于E，交，交BC于于F，FGAB于于G 求证：四边形求证：四边形EGFC为菱形为菱形 ACBDEFG12345例例5：如图，如图，RtABC中，中，ACB=900，BAC=600 ，DE垂直平分垂直平分BC，垂足为，垂足为D，交，交AB于于E，又，又 点点F在在DE的延长线上，且的延长线上，且AF=CE。 求证：四边形求证：四边形ACEF是菱形。是菱形。ABCDEF603060三个角是直三个角是直角角四条边都相四条边都相等等一个角是直一个角是直角角对角线相对角线相等等一组邻边相一组邻边相等等对角线互相垂对角线互相垂直直两组对边分别平两组对边分别平行行一组对边平行且相等一组对边平行且相等两组对边分别相等两组对边分别相等两组对角分别相等两组对角分别相等对角线互相平分对角线互相平分课堂小结 平行四边形平行四边形 矩形矩形 菱形菱形 四边形四边形 作业作业