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1、问题问题 ：你知道赵州桥吗：你知道赵州桥吗? ?它是它是13001300多年前我多年前我国隋代建造的石拱桥国隋代建造的石拱桥, , 是我国古代人民勤劳是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形与智慧的结晶它的主桥是圆弧形, ,它的跨度它的跨度( (弧所对的弦的长弧所对的弦的长) )为为37.437.4m m, , 拱高拱高( (弧的中点弧的中点到弦的距离到弦的距离) )为为7.27.2m m，你能求出赵洲桥主桥拱你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？的半径吗？ 赵州桥主桥拱的半径是多少赵州桥主桥拱的半径是多少？ 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，
2、你发现了什径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？么？由此你能得到什么结论？可以发现：可以发现：圆是轴对称图形，何圆是轴对称图形，何一条一条直径直径所在所在直线直线都都是它的对称轴是它的对称轴O如图，如图，ABAB是是O O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CDCD，使，使CDCDABAB，垂足为，垂足为E E（1 1）这个图形是轴对）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2 2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？为什么？OBCDE活活 动动 二二（1 1）圆是轴对称图形直径）圆是轴对称图
3、形直径CDCD所在的直线是它的对称轴所在的直线是它的对称轴（2 2）线段：）线段：AE=BEAE=BEA弧：，弧：，垂径定理：垂径定理：垂直于弦垂直于弦的的直径直径平分平分弦弦，并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧OABCDE结论：结论：AE=BEAE=BE，你能用语言表示上述结论吗？你能用语言表示上述结论吗？已知：已知：ABAB是弦，是弦，CDCD是是直径，直径，CDCDABABAE=BE,n由由 CD是直径是直径 CDAB可推得可推得AD=BD. AC=BC,垂径定理：垂径定理： 老师提示老师提示: : 垂径定理是圆中垂径定理是圆中一个重要的结论一个重要的结论, ,三种语言要相互三
4、种语言要相互转化转化, ,形成整体形成整体, ,才能运用自如才能运用自如. .垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图, ,在下列五个条件中在下列五个条件中: :OABCDM CD是直径是直径, AM=BM, CDAB,AC=BC, AD = BD.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗? ?并证明它。并证明它。OABCDECDAB,n由由 CD是直径是直径 AE=BE AC=BC,AD=BD.可推可推得得平分弦（平分弦（不是直径不是直径）的）的直径垂直于弦，并且平直径垂直于弦，并
5、且平分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧、 如图如图(1)(1)，OO中，弦中，弦ABAB弦弦CDCD于点，于点，则则A A=B=B、 如图如图(2)(2)是直径，是直径， ABAB是弦，是弦，CDCD交交交于点，则交于点，则A A=B=B，A A=B=B、 如图如图(3)(3)，OO中，弦中，弦ABAB直线直线CDCD于于点，则点，则A A=B=B、 如图如图(4)(4)，OO中，弦中，弦ABAB半径半径D D于点，则于点，则A A=B=B，如图（如图（1 1）如图（如图（2 2）如图（如图（3 3）如图（如图（4 4）解得：解得：R279（m）BODACR解决求赵州桥拱半径的问题解决求赵州桥拱
6、半径的问题在在RtOAD中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得即即 R2=18.72+（R7.2）2赵州桥的主桥拱半径约为赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2, 7 .184 .372121ABADAB=37.4，CD=7.2，OD=OCCD=R7.2在图中在图中如图，用如图，用 ABAB 表示主桥拱，设表示主桥拱，设A AB所在圆的所在圆的圆心为圆心为O O，半径为，半径为R R经过圆心经过圆心O O 作弦作弦AB AB 的垂线的垂线OCOC，D D为垂足，为垂足，OCOC与与AB AB 相交于点相交于点C C，根据前面的结论，根据前面的结论，D D 是是AB AB 的中点
7、，的中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CD CD 就是拱高就是拱高例例1 1如图，在如图，在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为8 8cmcm，圆心圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3 3cmcm，求，求O O的半径的半径OABE解：解：222AOOEAE2222= 3 +4 =5cmAOOEAE答：答： O的半径为的半径为5cm.活活 动动 三三118422AEAB 在在Rt AOE 中中 过点过点O O作作OEABOEAB于点于点E,E,连连结结OAOA 2.2.已知：如图，在以已知：如图，在以O O为圆心的两为圆心的两个同心圆中，大圆的弦个同心圆中，大圆的弦ABAB交小圆于交
8、小圆于C C，D D两点。你认为两点。你认为ACAC和和BDBD有什么关系？有什么关系？为什么？为什么？证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AEBE，CEDE。 AECEBEDE 即即 ACBD.ACDBOE1.1.在半径为在半径为3030的的OO中，弦中，弦AB=36AB=36，则，则O O到到ABAB的距离是的距离是= = ， OABP24mm注意：解决有关弦的问题，过圆心作注意：解决有关弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法是一种常用辅助线的添法例例2 2如图，在如图，在O O中，中，ABAB、ACAC
9、为互相垂为互相垂直且相等的两条弦，直且相等的两条弦，ODODABAB于于D D，OEOEACAC于于E E，求证：四边形，求证：四边形ADOEADOE是正方是正方形形DOABCE证明：证明：90 90 90OEAEADODA四边形四边形ADOEADOE为矩形，为矩形，又又AC=ABAC=AB11 22AEACADAB， AE=AD 四边形四边形ADOEADOE为正方形为正方形. .OEOEAC ODAC ODAB ABAB ABACAC4 4、: :如图，如图，CDCD为圆为圆O O的的直径，弦直径，弦ABAB交交CDCD于于E E，CEB=30CEB=30，DE=9DE=9，CE=3CE=3
10、，求弦，求弦ABAB的长。的长。EDOCAB图中相等的线段有图中相等的线段有 :.ACDBO 3 3、已知：如图，在以、已知：如图，在以O O为圆心的两个同心圆中，为圆心的两个同心圆中，大圆的弦大圆的弦ABAB交小圆于交小圆于C C，D D两点，两点，AB=8cm,CD=3cm,AB=8cm,CD=3cm,大大圆的半径为圆的半径为cmcm，求小圆，求小圆的半径。的半径。EM练习练习2:在圆在圆O中，直径中，直径CEAB于于 D，OD=4 ，弦，弦AC= ， 求圆求圆O的半径。的半径。10DCEOAB反思：反思：在在 O中，若中，若 O的半径的半径r、 圆心到弦的距离圆心到弦的距离d、弦长、弦长
11、a中，任中，任意知道两个量，可根据意知道两个量，可根据定理定理求出第三个量：求出第三个量：CBAO练习练习 ：如图，圆：如图，圆O O的弦的弦ABAB8 8 ， DCDC2 2，直径，直径CEABCEAB于于D D， 求半径求半径OCOC的长。的长。DCEOAB垂径垂径小小 结结直径平分弦直径平分弦 直径垂直于弦直径垂直于弦=直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径垂直于弦直径垂直于弦 直径平分弦（不是直径）直径平分弦（不是直径）直径平分弦所对的弧直径平分弦所对的弧 直径平分弧所对的弦直径平分弧所对的弦 直径平分弧直径平分弧 直径垂直于弧所对的弦直径垂直于弧所对的弦=、圆是轴对称图形，何一条圆是轴对称图形，何一条直径直径所在所在直直线线都是它的对称轴都是它的对称轴、垂径定理及其逆定理的图式、垂径定理及其逆定理的图式试一试试一试P93挑战自我挑战自我画一画画一画 如图如图,M,M为为OO内的一点内的一点, ,利用尺规作一利用尺规作一条弦条弦AB,AB,使使ABAB过点过点M.M.并且并且AM=BM.AM=BM.OMA AB B