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1、教师资格证考试数学学科知识与教学能力(高级中学)教学技能第四章 教学技能第一节 教学设计（江南博哥）1 单选题 在讲解“垂线”一课时，教师自制教具，将两根木条钉在一起并固定其中一根木条a，转动木条b，让学生观察，从而导入新课。这种导入方式属于（ ）。A.实例导入B.直观导入C.悬念导入D.故事导入正确答案：B 参考解析：直观导入是指在学习新课题之前，教师先让学生观察实物、标本、模型、图标、幻灯片、投影或电影录像等，引起学生的兴趣。学生通过直观形象演示操作，感知数学知识，从而导入新课。题干所述即为直观导入法。2 简答题简述高中数学课程设计的依据。 参考解析：(1)依据高中数学课程理念，实现“人人
2、都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，促进学生数学学科核心素养的形成和发展。(2)依据高中课程方案，借鉴国际经验，体现课程改革成果，调整课程结构，改进学业质量评价。(3)依据高中数学课程性质，体现课程的基础性、选择性和发展性，为全体学生提供共同基础，为满足学生的不同志趣和发展提供丰富多样的课程。(4)依据数学学科特点，关注数学逻辑体系、内容主线、知识之间的关联，重视数学实践和数学文化。3 简答题简述数学问题设计的原则。 参考解析：可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择
3、在学生能力的“最近发展区”内的问题。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过一定的努力或小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。渐进性原则。渐进性原则要求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的
4、认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中就要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂教学中的实践环节，重视培养学生用数学的意识和用数学的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。4 简答题请谈谈数学
5、问题设计应遵守哪些原则。 参考解析：数学问题设计应遵守以下几个原则。 可行性原则。在设计数学问题时，教师首先要细致地钻研教材，研究学生的思维发展规律和知识水平，提出既有一定难度又是学生力所能及的问题，也就是说，要选择在学生能力的“最近发展区”内的问题。教师应走在学生发展的前面，创造“最近发展区”，并注意适时、适度地创设实际情境，培养学生的创新意识和实践能力；根据学生年龄特点、学生已有的认知结构、教材及学生的生活实际，设计适当的数学问题。这些问题既能有效地激发学生的求知欲望，又能使学生积极主动地去寻求解决问题的策略，并通过小组讨论、探究，最后归纳出具有一般规律性的结果。 渐进性原则。渐进性原则要
6、求问题设计要有层次性，要由浅入深，由易到难。人类认识数学对象的过程，是一个渐进过程，是从认识最简单的对象开始，逐步发展到对数学对象之间的相互关系及它们的内部结构的认识。人们对于数学问题的认识，如同对数学对象的认识一样，也是一个渐进的过程。因此，在数学问题的设计中要遵循由浅入深，由易到难，有层次、循序渐进的原则，使学生在问题的探究中不断获得成功，逐步树立起学好数学的自信心，培养勇于探索、敢于攀登的精神。 应用性原则。随着数学的发展，它的应用越来越广泛，世界各国都在数学课程中增加现代数学中具有广泛应用性的内容，注重从生活实际和学生知识背景中提出问题，结合生活中的具体实例进行数学知识的教学，增强课堂
7、教学中的实践环节，重视培养学生的数学意识和用数学解决问题的能力，使学生能主动尝试用数学知识和思想方法寻求解决问题的途径。在数学问题的设计中，要考虑能将数学思想方法和数学模型用于探究所提出的问题。5 简答题案例：阅读下列三位教师关于“直线与平面垂直的判定”的教学片段。教师甲的引入：教师甲：同学们，空间直线与平面有哪几种位置关系?学生边演示边叙述，得到直线与平面的三种位置关系。教师：直线在平面内直线与平面的平行已研究过，直线与平面相交成为今天要研究的问题。在日常生活中，你见过哪些情景可以抽象成直线与平面相交?举例说明。学生：日光灯的掉线与天花板相交；房子的柱子与天花板相交：插在碗里的筷子与平的碗底
8、相交。教师：想象力丰富。生活中确实有很多例子。例如，墙角与地面(图片展示)，小区的建筑，竹竿与水平面以及古诗词中的自然景观“大漠孤烟直”，“一行白鹭上青天”。在直线与平面相交的模型中，你认为哪种相交最特殊?学生：直线与平面垂直。教师：今天我们就研究这种关系。(板书课题)教师乙的引入：教师：(用PPT呈现龙卷风图片)同学们刚进教室看到这样的壮丽图片，联想起“大漠孤烟直”的美景，大家欣赏完之后是否想到立体几何中什么与什么的关系?学生：线面垂直。教师：很好，那生活中有没有这样的例子?学生：看电视时，视线与画面；电线杆与地面垂直。教师：这样的例子很多。比如，大桥桥柱与水面。正因为生活中有很多线与面垂直
9、关系，所以几何中有必要对此进行研究。这堂课就学习直线与平面垂直。(板书课题)教师丙的引入：教师：前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系。(展示天安门广场上的国旗与旗杆)先请大家看一幅图：天安门广场的红旗迎风飘扬。再看另一幅图：一桥飞架南北，天堑变通途。请大家回答下面的问题。问题：请同学们观察图片，说出旗杆与地面，大桥桥柱与水平面是什么位置关系?学生：垂直。教师：从教学的角度看，就是什么与什么垂直。学生：线与面。教师：你还能举出一些类似的例子吗?想一想。(同时出示课题)学生1：箱的边缘与地面。学生2：立竿见影，竿与地面垂直。教师又展示跨栏跳高架的图片，说
10、明跨栏的支架与地面，跳高架立竿与地面是垂直关系，请大家参照旗杆与地面这种关系画出相应的几何图形。学生画图教师在黑板上画出图。教师：为什么画成这样呢?这样直观性强，将直线画得与表示平面的平行四边形的一边垂直。教师：接着前面的内容的学习，下面我们要学习直线与平面垂直的定义、判定与性质。问题：(1)三种引入方式各有什么特点?(10分)(2)在(1)的基础上，给出你对课题引入的观点。(10分) 参考解析：(1)三位教师的引入各有特色。教师甲在直线与平面位置关系的数学中，以“在这些相交关系中，你认为哪种相交最特殊?”引出课题，并伴以学生的动手操作、举例、想象和语言叙述。这一设计的特点是：注意知识的系统与
11、联系；强调学生生活经验的作用。这样容易唤起在“直线与平面平行”的学习中形成的经验，从而明确“研究什么”和“怎样研究”，使学习的自觉性得到提高。教师乙利用一张生活图片提出“是否想到在立体几何中的什么与什么的关系”，由于“诱导”过分明显，学生就不假思索地齐声回答“线面垂直”。虽然有后面的师生分别举例，但课题引人任务由这一句话已经完成。虽然这一引入有单刀直入、开门见山的特点，但学生对看图片的意图、当前学习内容与已有知识与方法的联系与借鉴等都很难觉察到。另外，“线面垂直”的说法不好。至少提出得太早。另外，甲、乙两位老师用的“大漠孤烟直”的情景不能很好地反映当前学习内容的本质，不是一个好情景。教师丙的引
12、导语“前面我们研究了直线与平面平行的判定与性质，今天我们要研究直线与平面的其他位置关系”以及图片，目的都是直指“要研究直线与平面垂直”。这样引入也稍嫌太快，学生对于“要学什么”“为什么要学”和“如何学”等的感知都不充分，要学的内容与已有经验的衔接不够自然。(2)良好的开端是成功的一半，课题引入是课堂教学的重要一环。教学设计中，应当重点考虑：如何利用新旧知识的联系与发展，以及学生相关的生活经验，创设问题情境，自然、亲切地引出学习内容；如何在课题引入中融入“学什么、为什么、怎么学”的成分。6 简答题案例：某学校高二年级数学备课组针对“随机事件的概率”，经过讨论，拟定了如下教学目标：通过试验，形成对
13、随机事件发生的可能性大小做定性分析的能力，了解影响随机性事件发生的可能性大小的因素：了解事件的种类，对事件发生的概率有初步认识。为落实教学目标，针对“随机事件的概率”一课教师甲、乙分别提出了不同的引入方法。【教师甲】师：大家请看这个例子，一个袋子中有大小相同的5个球，其中，4个黄球，1个红球。从中任意摸取一球。请大家思考一下，摸出白球的可能性大小，摸出黄球的可能性大小；如果袋子中大小相同的球全部换成红色，则摸出红色球的可能性大小。(学生讨论，师生互动)师：袋子中没有白球，所以摸出白球的可能性为0，我们称此为不可能事件；摸出黄球的可能性比摸出白球的可能性大，但不能确定，摸出黄球可能发生也可能不发
14、生，我们称此类事件为随机事件；如果袋中球全部为红色，那么必然摸出红球，不可能有其他情况，我们称此事件为必然事件。不可能事件和必然事件是可以确定其发生还是不发生的，所以统称为确定事件。【教师乙】师：同学们，想一想老师说的下面这几句话。“明天一定下雨”“北方冬天的气温是30摄氏度”“在地球上掷一个石块会下落”。(学生讨论，师生互动)师：明天可能下雨也可能不下雨，即这件事可能发生也可能不发生，所以称此事件为随机事件；北方冬天的气温不可能为30摄氏度，所以这件事不可能发生，我们称此事件为不可能事件；由于地心引力，掷一个石块绝对会下落，所以这件事必然发生，我们称此事件为必然事件。不可能事件和必然事件是可
15、以确定其发生还是不发生的，所以统称为确定事件。问题：(1)对该备课组拟定的教学目标进行评析并给出你设计的教学目标；(2)分析甲、乙教师课程不同引入方式的优点和不足。 参考解析：(1)对该备课组拟定的教学目标的评析如下。该目标目的明确，贴合高中阶段概率知识的教学内容，目标主体明确，行为动词恰当。就知识与技能目标而言，上述目标还存在一些不足。概率知识学习之前，教师首先介绍事件的定义并引入频数、频率的概念，以此为基础引入概率知识。此目标没有对频数和频率的阐述。教学目标还包括过程与方法目标和情感态度与价值观目标，而备课组拟定的教学目标中对这两方面的内容没有具体体现。教学目标知识与技能目标：了解事件的种
16、类，了解影响随机性事件发生的可能性大小的因素；了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解频率的意义及频率与概率的区别。过程与方法目标：理解概率的统计定义在实际生活中的作用，初步掌握利用数学知识思考和解决实际问题的方法。情感态度与价值观目标：感受理论和实践的关系，体会数学来源于生活；引导学生用随机的观点看世界，使学生了解偶然性与必然性的辩证统一。(2)教师甲在课堂开始前给学生预设了摸球的情境，以一种情境导入的方式引入新知。这种引入方式激发了学生学习新知的兴趣，培养学生独立思考的学习习惯。但是，由于学生此前没有接触过这种摸球可能性的问题，所以这种导入方式较难引起学生的共鸣，与学生的思维转
17、换没有达到很好的契合，同时割裂了数学学习与生活之间的联系。教师乙将生活中的事例与新知相结合，运用事例导入法巧妙引出新知。这种导入强调了实践性，能使学生产生亲切感，起到触类旁通的效果，同时让学生感到生活处处有数学。但是，这种导入方式只是单方面让学生知道不同种事件的定义，没有让学生感受到影响事件可能性大小的因素。7 简答题下列是普通高中课程标准实验教科书必修数学第二册(人教版)关于“平面与平面垂直的性质”的部分教学内容，阅读并按要求作答。(1)写出该教学内容的教学目标、重点和难点。(9分)(2)就该内容设计一份教学过程教案。(15分)(3)证明：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
18、面垂直。(6分) 参考解析：(1)教学目标：知识与技能目标：进一步巩固和掌握面面垂直的定义、判定，理解和掌握面面垂直的性质定理；能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题，运用定理解决相关问题，进一步培养空间观念。过程与方法目标：通过对定理的探究和证明，向学生渗透从特殊到一般、类比与转化等数学思想，培养学生观察、比较、想象、概括等逻辑推理能力及学生转化的思想。能够通过实验提出自己的猜想并能进行论证，灵活运用知识学会分析问题、解决问题。情感、态度与价值观目标：通过对空间直线与平面、平面与平面位置关系的判断，学生发展合情推理能力和空间想象力，培养质疑思辨、创新的精神：学生亲身经历数学研究的过程，
19、体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。教学重难点：重点：理解掌握面面垂直的性质定理和推导；难点：运用性质定理解决实际问题。(2)教学设计一、复习回顾1面面垂直的定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。2面面垂直的判定：一个乎面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。二、引入新课思考1(情境导入)教室的黑板所在的平面与地面是什么关系?能否在黑板上画一条直线与地面垂直?当平面a内直线b满足什么条件时b?1创设情境将面面垂直的判定定理的条件和结论互换，得到的新命题是否还成立。结合黑板面与地面垂直，你能在黑板面内找到一条直线与地面平行、相交或垂直吗。这样的直线分别有什么
20、性质?试说明理由。2新课教学由前面小实验。学生体会由特殊到一般的数学思想，并总结出直观结论：面面垂直的性质定理：两平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。符号语言表述注：学习自然语言转化为数学语言：符号化。揭示定理的内涵：在面内作交线的垂线，体现“平面化”的数学思想。我们知道，面面垂直也可通过线面垂直来证明，这种互相转换的证明方法是常用的数学思想方法。3巩固练习已知a，a=，判断下列命题的正误。平面a内的任意一条直线必垂直于平面。()垂直于交线z的直线必垂直于平面。()过平面a内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面。()四、课堂小结平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则
21、一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。证明线面垂直的两种方法：线线垂直一线面垂直：面面垂直一线面垂直线线、线面、面面之间的关系的转化是解决空间图形问题的重要思想方法。(3)证明：设平面M垂直于平面N，交线为c，在平面M内作直线ac，垂足为O，在平面N内过O点作c的垂线b，则a，b所成的角就是二面角M-c-N，从而ab，又b，c是平面N内的相交线，所以a垂直于平面N。8 简答题高中数学“函数的单调性”(第一课时)设定的教学目标如下：1从形与数两方面理解函数单调性的概念。会根据函数图像的单调性指出函数的单调区间。2能够根据函数单调性定义证明函数在指定区间上的单调性。3引导学生参与课堂练习，进
22、一步养成严谨的思维习惯。完成下列任务：(1)根据目标1列举判断函数的单调性，函数的单调区间的实例，并写出设计意图。(9分)(2)根据目标2设计出证明函数在指定区间上的单调性实例，并写出设计意图。(9分)(3)写出 “函数的单调性”的教学重点和难点。(6分)(4)分析 “函数的单调性”在教材中的地位和作用。(6分) 参考解析：(1)例：如图是定义在区间-5，5上的函数y=(x)，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上它是增函数还是减函数?，答案：单调减区间：(-5，-2)，(1，3)；单调增区间：(-2，1)，(3，5)。设计意图：从图像感知函数单调性，使学生理解函数单调性与图像的关系
23、。设计意图：初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。(3)教学重点：函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性。教学难点：根据定义证明函数的单调性，利用函数图像证明单调性。(4)函数的单调性是对函数概念的延续和拓展，也是后续研究几类具体函数的单调性的基础。在比较数的大小、函数的定性分析以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用。在方法上。教学过程中还渗透了数形结合、类比化归等数学思想方法。它是高中数学中的核心知识之一。在函数教学中起着承上启下的作用。9 简答题参数方程的教学要求是：把向量转化为坐标，获得了直线的参数方程，在此基础上分析直线参数方程的特点，体会参数的几何意义。在此基础上完成下列教学
24、任务：(1)设计参数方程的三维教学目标；(9分)(2)设计两种参数方程的引入方法；(15分)(3)分析两种方法的优点。(6分) 参考解析：(1)三维教学目标：知识与技能：通过分析抛射物体运动中时间与物体位置的关系，了解一般曲线的参数方程， 体会参数的意义。过程与方法：选取适当的参数，求简单曲线的参数方程。情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。(2)复习导入法：回忆旧知，导入新课，教师提出问题：在平面直角坐标系中，确定一条直线的几何条件是什么?根据直线的几何条件，你认为应当怎样选择参数，如何建立直线的参数方程?情景导入法：引例1：一架救援飞机在离灾区地面500 m高
25、处以100 ms的速度作水平直线飞行为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢?救援物资做何运动?你能用物理知识解决这个问题吗?有几个变量?x，y都可以用什么来表示?给定t的一个值，方程中x，y的值确定吗?(3)情景引入法的优点：通过创设情景激发学生兴趣，提高学生学习的积极性，并且在创设情景的过程中有利于利用一个熟悉的参照物，帮助学习者将一个要探索的概念与熟悉的经验联系起来，并建立生活与数学之间的联系，引导他们利用这些经验来解释、说明，形成自己的知识。创设的情景好，吸引学生积极的参与和主动的学习，他们会体味到数学的美和趣味。复习引入方法的优点：承上启下，
26、使学生有准备、有目的地进入新课的学习，对于接下来的学习有很大的帮助，也为引导学生从几何条件思考参数的选择，为学生推导直线的参数方程做好准备。10 简答题请以“直线与平面平行的判定”为课题，完成下列教学设计。(1)设计本节课的教学目标；(9分)(2)设计本节课的教学重、难点；(6分)(3)写出新课引入和新知探究、巩固应用等及设计意图。(15分) 参考解析：(1)教学目标知识与技能：理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法，并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。过程与方法：通过直观感知-观察-操作确认的认识方法，在过程中逐渐培养观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻
27、辑思维能力。情感、态度与价值观：在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信息，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。(2)教学重点与难点重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。(3)教学过程设计知识准备、新课引入提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和a平面有哪几种位置关系?学生小组内讨论后，得出结论。提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行，你认为方便吗?谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。(设计意图：通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系而引入本节课题，并为探
28、寻直线与平面平行判定定理做好准备。)判定定理的探求过程1)直观感知提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?生1：日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。2)动手实践教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置，给人以平行的感觉，而当把直角所在的腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面，给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师与
29、左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)。(设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。)3)探究思考上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢?通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：第一，平面外一条线；第二，平面内一条直线；第三，这两条直线平行。如果平面外的直线。与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗?4)归纳确认：(多媒体幻灯片演示)直
30、线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。简单概括：(内外)线线平行线面平行。作用：判定或证明线面平行。关键：在平面内找(或作)出一条直线与面外的直线平行。思想：空间问题转化为平面问题定理运用，问题探究(多媒体幻灯片演示)判断下列命题的真假?说明理由：1)如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行。()2)过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行。()3)一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行。()设a、b是二异面直线，则过a、b外一点P且与a、b都平行的平面存在吗?若存在请画出平面，不存在说明理由?先由学生讨论交流，教师提问
31、；然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程。最后借多媒体展示作图的动画过程。(设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。)总结先由学生口头总结，然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示)：1)线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。2)定理的符号表示：简述：(内外)线线平行则线面平行。3)定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。11 简答题高中“方程的根与函数的零点”(第一节课)设定的教学目标如下：通过对二次函数
32、图像的描绘，了解函数零点的概念，渗透由具体到抽象思想，领会函数零点与相应方程实数根之间的关系，理解提出零点概念的作用，沟通函数与方程的关系。通过对现实问题的分析，体会用函数系统的角度去思考方程的思想，使学生理解动与静的辩证关系。掌握函数零点存在性的判断。完成下列任务：(1)根据教学目标，设计一个问题引入，并说明设计意图；(6分)(2)根据教学目标 ，设计问题链(至少包含三个问题)，并说明设计意图；(6分)(3)根据教学目标 ，给出至少一个实例和三个问题，并说明设计意图；(6分)(4)确定本节课的教学重点；(3分)(5)作为高中阶段的基础内容，其难点是什么?(3分)(6)本节课的教学内容对后续哪
33、些内容的学习有直接影响?(6分) 参考解析：(1)问题引入：求方程3x2+6x-1=0的实数根。变式：解方程3x5+6x-1=0的实数根。(一次、二次、三次、四次方程的解都可以通过系数的四则运算，乘方与开方等运算来表示但高于四次的方程不能用公式求解。大家课后去阅读本节后的“阅读与思考”，还有如lnx+2x-6=0的实数根很难下手，我们寻求新的角度函数来解决这个方程的问题。)设计意图：从学生的认知冲突中，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步的探究。通过简单的引导，让学生课后自己阅读相关内容培养他的自学能力和更广泛的兴趣。开门见山地提出函数思想解决方程根的问题，点明本节课的目标。(2)问题：求
34、方程x2-2x-3=0的实数根，并画出函数y=x2-2x-3的图像；问题：观察形式上函数y=x2-2x-3与相应方程x2-2x-3=0的联系。问题：由于形式上的联系，则方程x2-2x-3=0的实数根在函数y=x2-2x-3的图像中如何体现?设计意图：以学生熟悉二次函数图像和二次方程为平台，观察方程和函数形式上的联系，从而得到方程实数根与函数图像之间的关系。理解零点是连接函数与方程的结点。(3)实例：如果把函数比作一部电影，那么函数的零点就像是电影的一个瞬间，一个镜头。有时我们会忽略一些镜头。但是我们仍然能推测出被忽略的片断。现在我有两组镜头(图略)，哪一组能说明他的行程一定曾渡过河?设计意图：
35、从现实生活中提出的问题让学生体会动与静的关系，系统与局部的关系。问题：将河流抽象成x轴，将前后的两个位置视为A、B两点。请问当A、B与x轴是怎样的位置关系时，AB间的一段连续不断的函数图像与x轴一定会有交点?设计意图：将现实生活中的问题抽象成数学模型，进行合情推理，将原来学生只认为静态的函数图像，理解为一种动态的过程。问题：A、B与x轴的位置关系，如何用数学符号(式子)来表示?设计意图：由原来的图像语言转化为数学语言。培养学生的观察能力和提取有效信息的能力。体验语言转化的过程。问题：满足条件的函数图像与x轴的交点一定在(a，b)内吗?即函数的零点一定在(a，b)内吗?设计意图：让学生体验从现实
36、生活中抽象成数学模型时，需要一定修正。加强学生对函数动态的感受，对函数的定义有进一步的理解。(4)教学重点：了解函数零点的概念，体会方程的根与函数零点之间的联系，掌握函数零点存在性的判断。(5)教学难点：准确认识零点的概念，在合情推理中让学生体会到判定定理的充分非必要性，能利用适当的方法判断零点的存在或确定零点。(6)本节课是在学生学习了基本初等函数(I)的基础上，学习函数与方程的第一课时，本节课中通过对二次函数图像的绘制、分析，得到零点的概念，从而进一步探索函数零点存在性的判定。这些活动就是想让学生在了解初等函数的基础上，利用计算机描绘函数的图像，通过对函数与方程的探究，对函数有进一步的认识
37、，解决方程根的存在性问题，为下一节用二分法求方程的近似解做准备。12 简答题以普通高中课程标准实验教科书数学1(必修)第一章“集合与函数概念”的设计为例，回答下列问题：(1)从分析集合语言的意义入手，说明为什么把它安排在高中数学的起始章；(6分)(2)说明高中阶段对函数概念的处理方法；(4分)(3)给出本章课程的学习目标；(8分)(4)简要给出集合主要内容的教学设计思路与方法。(12分) 参考解析：(1)集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容。本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的
38、能力。在高中数学课程中，它也是学习、掌握和使用数学语言的基础，因此把它安排在了高中数学的起始章。(2)函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言来刻画函数，函数的思想方法将贯穿于高中数学课程的始终。(3)本章的课程学习目标：本章中，学生将学习集合与函数概念。通过本章的学习，学生：了解集合的含义与表示，理解集合间的关系和运算，感受集合语言的意义与作用；了解函数的构成要素，会求简单函数的定义域和值域，会根据实际情境的不同需要选择恰当的方法表示函数。体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，会用集合与对应的语言描述函数，体会对应
39、关系在刻画函数概念中的作用。通过已学过的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶性的含义，会用函数图象理解和研究函数的性质。根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物(开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等)的有关资料，了解函数概念的发展历程。(4)从学生熟悉的集合(有理数的集合、直线或圆上的点集等)出发，结合学生身边的实例引出元素、集合的概念，介绍表示集合的列举法和描述法及Venn图；可以类比实数间的相等、大小关系，通过对具体实例共性的分析，概括出集合间的相等、包含关系；针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引出集合间“并”的运
40、算，并在此基础上进一步扩展，介绍“交”的运算和“补”的运算。这里采用类比的方式处理集合间的关系和运算的目的在于体现知识之间的联系，渗透数学学习方法。13 简答题“不等式”是高中数学必修5的内容。普通高中数学课程标准(实验)要求学生能“通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式(组)对于刻画不等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能解决一些实际问题；能用二元一次不等式组表示平面区域，并尝试解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应用；体会不等式、方程及函数之间的联系”。(1)请设计一道利用不等式知识解决的实际问题并求解；(20分)(要
41、求：给出问题情境；抽象出数量关系；建立数学模型；写出解答过程、讨论和反思)(2)根据上面的问题隋境设计一道开放题或探索题。(10分) 参考解析：(1)问题情境：某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现有增加22，人均粮食产量比现在提高10，如果人口年增长率为1，那么耕地每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)?分析：此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景，给出两组数据，要求考生从两条线索抽象数列模型，然后进行比较与决策。读题：问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食占有量、总人口数及三个百分率，其中人均粮食占有量P=粮食单产耕地面积总人口数，主要关系是：P实际P规划。建模：设耕地面
42、积平均每年减少x公顷，现在粮食单产为a吨公顷，现在人口数为m，则现在占有量为评价：答案x4公顷符合控制耕地减少的国情，又验算无误，故可作答。讨论与反思：本题主要是抓住各量之间的关系，注重3个百分率。其中耕地面积为等差数列，总人口数为等比数列模型，问题用不等式模型求解。本题的解法是建立不等式模型，要求对指数函数、不等式、增长率、二项式定理应用于近似计算等知识熟练。此种解法可以解决有关统筹安排、最佳决策、最优化等问题。此种题型属于不等式模型，也可以把它作为数列模型，相比之下，主要求解过程是建立不等式模型后解出不等式。在解答应用问题时，我们强调“评价”这一步不可少!它是解题者的自我调节，比如本题求解
43、过程中若令101101，算得结果为x98公顷，自然会问：耕地减少这么多，符合国家保持耕地的政策吗?于是进行调控，检查发现是错在10110的近似计算上。(2)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数(x)，g(x)以及任意的x0，当甲公司投入x万元做宣传时，若乙公司投入的宣传费小于(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元做宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险。试解释(0)=10，g(0)=20的实际意义；司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能
44、少地投入宣传费用，问甲、乙两公司各应投入多少宣传费?14 简答题“几何概型”是高中阶段学生的必修内容，被安排在“古典概型”内容之后学习。在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用“古典概型”来解决了。在特定情形下，可以用“几何概型”来解决此类问题。请完成下列任务：(1)请设计高中“几何概型”这一内容的教学目标；(2)请结合教学目标，类比“古典概型”设计“几何概型”的主要教学过程；(3)设计下述习题的变式题(写出答案)，并总结出求解几何概型问题的步骤。习题：在等腰直角三角形ABC中，B=90，在线段AC上任取一点P，求APAB的概率。 参考解析：(1)教学目标知识与技
45、能目标：正确理解几何概型的概念，掌握几何概型的概率计算公式，会根据古典概型和几何概型的区别与联系来判别某种概型是古典概型还是几何概型。过程与方法目标：在探究学习的过程中，体会数学知识的形成，数学知识与现实世界的联系；学会应用数学知识来解决实际问题，提高逻辑推理能力；情感态度与价值观目标：在学习的过程中，培养严谨的学风，感受数学来源于生活，应用于生活。(2)教学过程一、旧知回顾带领学生回顾古典概型的旧知内容。二、引入新知问题1：若x的取值是区间0，5中的整数，任取一个x的值，求“取得值不小于3”的概率。(古典概型)问题2：若x的取值是区间0，5中的实数，任取一个x的值，求“取得值不小于3”的概率
46、。(几何概型)学生自主讨论、比较问题1，2的不同，引入新知“几何概型”。三、新知探究1试验：取一个边长为8 cm的正方形及其内切圆，随机向其中丢一粒黄豆，那么黄豆落入圆内的概率有多大?学生利用模具自主探究，教师指导，最终形成下表。2几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：3活动：让学生对比古典概型，找出古典概型和几何概型之间的区别和联系。学生讨论、教师指导后形成下表。引入部分问题探究：让学生自主探究课堂开始的两个问题，形成答案后汇报，教师点评、指导，订正答案：
47、问题1古典概型中的6个基本事件为“取得值为0”“取得值为1”“取得值为2”“取得值为3”“取得值为4”“取得值为5”，“取得值不小于3”包含3个基本事件，为“取得值为3”“取得值为4”“取得值为5”，故P(取得值不小于3)=问题2为几何概型，区域D的长度为5，区域d的长度为2，故P(取得值不小于3)=5拓展延伸：上述边长为8 cm的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒黄豆，求黄豆落入圆心的概率。学生讨论，教师总结：概率为0。如果随机事件所在区域是一个单点，则它出现的概率为0，但它不是不可能事件；如果随机事件所在区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但它不是必然事件。(3)习题变式题：在等腰直角三角形ABC中，B=90，在ABC内作射线BP交线段AC于点P，求使得