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1、偏微分方程在计算流体中的应用pb06001032 张凌肖这学期我选了一门研究生课计算流体力学，在学习这门课的过程中，我 充分感觉到了偏微分方程的重要，因为无论哪一章，都渗透着偏微分方程的思 想，没有偏微分方程，计算流体这门课显得支离破碎。下面我就拿一个特殊的 计算流体方程举例子。因为计算流体这门课的教材是英文的，所以有些专有名 词我将只写出英文，还请多包涵。我要说的是 Shallow-water equation，它是典型的双曲线方程，它是源于 Navier-Stokes equation，形如（1.1）和（1.2） ，（1.1）12120dUdUd txx1111 1222 1210gU U
2、UUUUUgfUtxxxC d（1.2）2222 1212 1220gU UUUUUUgfUtxxxC d它模拟了海峡，湖泊，河流以及海水中水流的流动形式。大气和海洋中的流体 的核心模型是由 Shallow-water equation 组成的。 接下来我将分六个方面说明偏微分方程在 Shallow-water equation 中的应用。一、Shallow-water equation 中的控制方程对于一维的 Shallow-water equation 来说（1.1）和（1.2）可以简化成（1.3） 和（1.4） 。（1.3）0ddU tx（1.4）20gU UdHUUUgtxxC dU
3、是流体的平均深度，d 是水深，g 表示重力加速度，H 是底部的高度，而 C 是 Chezy 摩擦系数。二、Shallow-water equation 的分类（1.3）和（1.4）可以转化成（1.5） ，（1.5） ，其中，WWFQtxdWUUdFgU20 QU UHggxC d 而（1.5）的性质体现在特征值问题（1.6） 。（1.6）010n In F W 我们有 (1.7)，如果（1.8）成010n In F01,1nCUCgdn立。由于我们已经找到两个实线性独立向量，系统（1.5）是双曲线型的。01,n n而且，特征向量可以通过线性运算简化成（1.9）CWg三、Shallow-wate
4、r equation 的特征线在 the frozen coefficient 的情形下，有 wave-like solution ，其中,iw t xWW e 和0WnCUt 11Wnx由于沿着曲线，且，时，W=const。而上 tt s xx s1dt dsdxUCds面的曲线就是特征线，这与偏微教材第一章所介绍的特征线在概念和性质上是 统一的。四、Shallow-water equation 的对角化我们先引入新的变量 Z，使得，我们令，则（1.5）变 WW ZWBZ形成（2.1） ，（2.1）11ZZB FBB Qtx 这样，是一个对角阵，使得（2.1）变成一个独立的方程组。我们在选1
5、B FB取矩阵 B 是有技巧的，令 B 等于 F 的特征向量的组合，ccBgg，而且 Z 满足等式，进111 1 112cgBcg 10 0UCB FBUC1jij jzBw而，我们得到，（2.2） ，所以（2.1）变形成11 22UzC21 2UzCg（2.3） 1111zzUCB Qtx（2.3）1222zzUCB Qtx五、Shallow-water equation 的波动性我们先假设 H 是恒定的，并忽略摩擦力作用，这样（2.3）就变成了（2.4） 110zzUCtx（2.4）220zzUCtx因此沿着特征线，=const，而且沿着特征线，1dt dsdxUCds1z1dt ds，=
6、const。我们称变量和是黎曼不变量。我们不妨把和dxUCds2z1z2z1z看作拥有速度和的信号。是由重力引起的。其中，2zUCUCC叫做 celerity，叫做 Froude number。CgdrUFC接下来，我们来考虑调和波，=const,这是（2.5）的解，如果iw kx wtWW eW。如果，那么存在非零0iwIikFG W 220ikUiwikUiwrk C解。之后，引入了很多波动性的新的概念，解释起来很麻烦，就不在这里一一 介绍了。六、Shallow-water equation 的初边值条件Shallow-water equation 的初边值条件的讨论与偏微分方程中第四十页到 第四十一页所讨论的内容是完全一致的，在那里，引入了“影响区域” ， “决定 区域” ，还有“依赖区域”的概念，本文就不一一介绍了。其实，关于 Shallow-water equation 的内容并没有介绍完，因为后面的内容涉 及到偏微分方程数值解和有限元的理论，所以，就不在这里详细阐述。不过， 由上面的六个方面可以看出，Shallow-water equation 的基础是建立在偏微分方 程知识的熟练掌握之上的，可想而知，偏微分方程的重要性。 无论是我们大四所要修的课程，还是研究生课程，偏微分方程几乎是无处不 在的，不难看出，学好偏微分方程对我们今后的发展是至关重要的。