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1、第第8 8课时随机变量及其概率分布、超几何分布课时随机变量及其概率分布、超几何分布了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念了解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念/了解分布列对于刻画了解分布列对于刻画随机现象的重要性随机现象的重要性/理解超几何分布及其导出过程理解超几何分布及其导出过程【命题预测】【命题预测】 随机变量在各地高考试题中有填空题，但更多的是解答题随机变量在各地高考试题中有填空题，但更多的是解答题【应试对策】【应试对策】 1掌握离散型随机变量的分布列的两个性质，会用两个性质解决以下两类问掌握离散型随机变量的分布列的两个性质，会用两个性质解决以下两类问题：题：(1)通过性
2、质建立关系，求得参数的取值范围，进一步求得概率，得出通过性质建立关系，求得参数的取值范围，进一步求得概率，得出分布列；分布列；(2)求对立事件的概率或判断某概率的成立与否求对立事件的概率或判断某概率的成立与否2理解超几何分布及其导出过程，掌握理解超几何分布及其导出过程，掌握01分布，超几何分布的分布列，随机分布，超几何分布的分布列，随机变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面进行判断：一是超几何分布变量是否服从超几何分布，可以从以下两个方面进行判断：一是超几何分布描述的是不放回抽样；二是随机变量为抽到的某类个体的个数描述的是不放回抽样；二是随机变量为抽到的某类个体的个数【知识拓展】【知识拓展
3、】求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列应应按下述三个步骤进行：按下述三个步骤进行：明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；利用概率的有关知识，求出随机变量每个取值的概率；按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证按规范形式写出分布列，并用分布列的性质验证1离散型随机变量的分布列及性质离散型随机变量的分布列及性质(1)离离散型随机变量的分布列散型随机变量的分布列假定随机变量假定随机变量X有有n个不同的取值，它们分别是个不同的取值，它们分别是x1，x2，xi，xn，且且P
4、(Xxi)pi，i1,2，n，则称则称为随机变量为随机变量X的的 ，简称为简称为X的分布列的分布列，X的分布列用表格表示的分布列用表格表示为：为：概率分布概率分布Xx1x2xixnPp1p2pipn(2)离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质 pi 0，i1,2，n； ；P(xixxij)pipi1 .1pij.2常见离散型随机变量的分布列常见离散型随机变量的分布列(1)两两点分布点分布若随机变量若随机变量X服从两点分布服从两点分布，则其分布列为则其分布列为 X01P1pp(2)超几何分布超几何分布在含有在含有M件次品的件次品的N件产品中，任取件产品中，任取n件，其中恰有件，其中
5、恰有X件次品数，则件次品数，则事件事件Xr发生的概率为发生的概率为P(Xr) ，r0,1,2，l，其，其中中lminM，n，则称，则称X服从超几何分布，其分布列也可写成：服从超几何分布，其分布列也可写成：X01mP记为记为XH(n，M，N)，并将，并将P(Xr) 记为记为H(r；n，M，N)1下列变量中随机变量的个数为下列变量中随机变量的个数为_某人射击一次中靶的环数；某人射击一次中靶的环数；函数函数yf(x)中的自变量；中的自变量；某人经过某人经过3个路口个路口所遇到红灯的次数；所遇到红灯的次数；从从20张已编号的卡片张已编号的卡片(从从1号到号到20号号)中任取一张中任取一张 ，被取，被取
6、出的卡片的号数出的卡片的号数解析：解析：中的变量是随机变量，中的变量是随机变量，中的变量不是随机变量中的变量不是随机变量答案：答案：32抛抛掷两枚骰子，所得点数之和为掷两枚骰子，所得点数之和为X，则，则X3表示的结果是表示的结果是_答案：答案：两两枚骰子中一枚的点数为枚骰子中一枚的点数为1，另一枚的点数为，另一枚的点数为23随机变量随机变量X的分布列为的分布列为则则X为奇数的概率为为奇数的概率为_解析：解析：X为奇数的概率为为奇数的概率为答案：答案：4设某项试验的成功率是失败率的设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量倍，用随机变量X描述描述1次试验的成功次数，次试验的成功次数，则则X的分
7、布列为的分布列为_解析：解析：X0表示试验失败，表示试验失败，X1表示试验成功，由题知表示试验成功，由题知P(X1)2P(X0)，又又P(X1)P(X0)1，P(X0) ，P(X1) .答案：答案：P(X0) ，P(X1)X012345P54件产品中含有件产品中含有1件次品，从中抽取件次品，从中抽取2件检查，则查得次品数件检查，则查得次品数X的分布列为的分布列为_答案：答案：随机变量是用来表示不同试验结果的数，试验结果和实数之间存在着对应关系，随机变量是用来表示不同试验结果的数，试验结果和实数之间存在着对应关系，随机变量每取一个确定的值都对应着试验的结果，每一个试验的结果也都对应着随机变量每取
8、一个确定的值都对应着试验的结果，每一个试验的结果也都对应着随机变量的值随机变量的值【例【例1】写写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果果(1)一个口袋中装有一个口袋中装有2个白球和个白球和5个黑球，从中任取个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为个，其中所含白球的个数为；(2)投掷两枚骰子，所得点数之和为投掷两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数的最大值为，所得点数的最大值为Y.思路点拨：思路点拨：(1)3个球中，可能有个球中，可能有1个白球，也可能有两个，还可能没有个白球，也可能有两个，还可能没
9、有(2)投掷结果投掷结果为为(i，j)，其中，其中1i6,1j6且且i，jN.利用投掷结果确定利用投掷结果确定X，Y.解：解：(1)可可取取0,1,2.0表示所取表示所取3个球中没有白球个球中没有白球1表示所取表示所取3个球中有个球中有1个白球个白球，2个黑球个黑球2表示所取表示所取3个球中有个球中有2个白球个白球，1个黑球个黑球(2)X的可能取值有的可能取值有2,3,4,5，12.Y的可能取值为的可能取值为1,2,3，6.若以若以(i，j)表示先表示先后投掷的两枚骰子出现的点数后投掷的两枚骰子出现的点数则则X2表示表示(1,1)，X3表示表示(1,2)，(2,1)，X4表示表示(1,3)，(
10、2,2)，(3,1)，X12表示表示(6,6)，Y1表示表示(1,1)，Y2表示表示(1,2)，(2,1)，(2,2)，Y3表示表示(1,3)，(2,3)，(3,3)，(3,1)，(3,2)，Y6表示表示(1,6)，(2,6)，(3,6)，(6,6)，(6,5)，(6,1)变式变式1：写写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果：验的结果：(1)一袋中装有一袋中装有5只同样大小的白球，编号分别为只同样大小的白球，编号分别为1,2,3,4,5.现从袋中随机取出现从袋中随机取出3只球，被取出的球的最大号码数只球
11、，被取出的球的最大号码数X.(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y.解：解：(1)X可取可取3,4,5.X3，表示取出的，表示取出的3个球的编号分别为个球的编号分别为1,2,3；X4，表示取出的，表示取出的3个球的编号分别为个球的编号分别为1,2,4或或1,3,4或或2,3,4；X5，表示取出的，表示取出的3个球的编号分别为个球的编号分别为1,2,5或或1,3,5或或1,4,5或或2,3,5或或2,4,5或或3,4,5.(2)Y可取可取0,1，n，.Yi表示被呼叫表示被呼叫i次，其中次，其中i0,1,2，.1离散型随机变量的分布列常用表格表
12、示，也可以用等式表示离散型随机变量的分布列常用表格表示，也可以用等式表示求出每个值对应的概率求出每个值对应的概率求出每个值对应的概率求出每个值对应的概率列成表格列成表格【例【例2】 袋袋中装着标有数字中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各的小球各2个个，从袋中任取从袋中任取3个小球，个小球，按按3个小球上最大数字的个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用用X表示取出的表示取出的3个小球上的最大数字个小球上的最大数字，求求：(1)取出的取出的3个小球上的数字互不相同的概率个小球上的数字互不相同的概率；(2)随机变量随机变量X的概率分布列的
13、概率分布列；(3)/20分到分到40分之间的概率分之间的概率思路点拨：思路点拨：(1)是古典概型；是古典概型；(2)关键是确定关键是确定X的所有可能取值；的所有可能取值；(3)计分介于计分介于20分到分到40分之间的概率等于分之间的概率等于X3与与X4的概率之和的概率之和解：解：(1)方法一：方法一：“一一次取出的次取出的3个小球上的数字互不相同个小球上的数字互不相同”的事件记为的事件记为A，则则P(A) 方法二方法二：“一一次取出的次取出的3个小球上的数字互不相同个小球上的数字互不相同”的事件记为的事件记为A.“一次取出的一次取出的3个小球个小球上有两个数字相同上有两个数字相同”的事件记为的
14、事件记为B，则事件，则事件A和事件和事件B是对立事件是对立事件因为因为P(B) 所以所以P(A)1P(B)(2)由题意，由题意，X所有可能的取值为所有可能的取值为2,3,4,5.P(X2) P(X3) P(X4)P(X5) 所以随机变量所以随机变量X的概率分布列为：的概率分布列为：X2345P(3)“一次取球所得计分介于一次取球所得计分介于20分到分到40分之间分之间”的事件记为的事件记为C，则，则P(C)P(X3或或X4)P(X3)P(X4)【例【例3】 某某校高三年级某班的数学课外活动小组中有校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，名男生，4名女生，从中选出名女生，从中选出4人人参加
15、数学竞赛考试，用参加数学竞赛考试，用X表示其中的男生人数，求表示其中的男生人数，求X的分布列的分布列思路点拨：思路点拨：X服从超几何分布服从超几何分布解：解：依依题意随机变量题意随机变量X服从超几何分布，所以服从超几何分布，所以P(Xk k) (k k0,1,2,3,4)P(X0) ；P(X1) ；P(X2 ；P(X3) ；P(X4) X的分布列为：的分布列为： X01234P变式变式2：一一批零件中有批零件中有10个合格品，个合格品，2个次品，安装机器时从这批零件中任选个次品，安装机器时从这批零件中任选1个，个，取到合格品才能安装；若取出的是次品，则不再放回取到合格品才能安装；若取出的是次品
16、，则不再放回(1)求最多取求最多取2次零件就能安装的概率；次零件就能安装的概率；(2)求在取得合格品前已取出的次品数求在取得合格品前已取出的次品数X的分布列的分布列解：解：(1)取一次就能安装的概率：取一次就能安装的概率： ；第二次就能安装的概率：；第二次就能安装的概率： 最多取最多取2次零件就能安装的概率为次零件就能安装的概率为 (2)由于随机变量由于随机变量X表示取得合格品前已取出的次品数，所以可能的取值为表示取得合格品前已取出的次品数，所以可能的取值为0、1、2；P(X0) P(X1) P(X2)X的分布列为：的分布列为：X012P变式变式3：一一袋中装有袋中装有6个同样大小的黑球，编号
17、为个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出，现从中随机取出3个球，个球，以以X表示取出球的最大号码，求表示取出球的最大号码，求X的分布列的分布列解：解：随随机变量机变量X的取值为的取值为3,4,5,6.从袋中随机地取从袋中随机地取3个球，包含的基本事件总数为个球，包含的基本事件总数为 ，事件事件“X3”包含的基本事件总数为包含的基本事件总数为 ；事件；事件“X4”包含的基本事件总数为包含的基本事件总数为 事件事件“X5”包含的基本事件总数为包含的基本事件总数为 ；事件；事件“X6”包含的基本事件总数包含的基本事件总数为为 ；从而有；从而有P(X3) ，P(X4) ，P(X
18、5) ，P(X6) .随机变量随机变量X的分布列为：的分布列为：X3456P【规律方法总结【规律方法总结 】1所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概率所谓随机变量，就是试验结果和实数之间的一个对应关系，这与函数概率本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数的自变量是实数x，而在，而在随机变量的概念中，随机变量随机变量的概念中，随机变量X是试验结果是试验结果2对于随机变量对于随机变量X的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某的研究，需要了解随机变量将取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于
19、离散型随机变量，它的分布正是指出了随机一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量变量X的取值范围以及取这些值的概率的取值范围以及取这些值的概率3求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率取各个值的概率4掌握离散型随机变量的分布列，须注意：掌握离散型随机变量的分布列，须注意：(1)分布列的结构为两行，第一行为随机变量分布列的结构为两行，第一行为随机变量X所有可能取得的值；第二行是所有可能取得的值；第二行是对应于随
20、机变量对应于随机变量X的值的事件发生的概率看每一行，实际上是：上为的值的事件发生的概率看每一行，实际上是：上为“事事件件”，下为事件发生的概率，只不过，下为事件发生的概率，只不过“事件事件”是用一个反映其结果的实数表是用一个反映其结果的实数表示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率示的每完成一列，就相当于求一个随机事件发生的概率(2)要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误5离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和之和6处理有关离散型随
21、机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随处理有关离散型随机变量的应用问题，关键在于根据实际问题确定恰当的随机变量机变量 【错因分析】【错因分析】本题将随机变量的分布列与等差数列联系起来，知识跨度大，考生往往审本题将随机变量的分布列与等差数列联系起来，知识跨度大，考生往往审题不清，不能从分布列的性质以及等差数列的性质入手解题，或者考虑问题不清，不能从分布列的性质以及等差数列的性质入手解题，或者考虑问题不全面而导致错解题不全面而导致错解 【答题模板】【答题模板】由由已知，得已知，得abc1，而，而2bac，所以，所以3b1，b .又又a d，c d，根据分布列的性质，得，根据分布列的性质
22、，得0 d1,0 d1，所以所以 d ，此即为公差，此即为公差d的取值范围的取值范围 【例【例4】 已已知随机变量知随机变量X的概率只能取三个值的概率只能取三个值a、b、c，其概率依次成等差数列，则其概率依次成等差数列，则公差公差d的取值范围是的取值范围是_. 【状元笔记状元笔记 】在离散型随机变量的分布列中，随机变量取每一个值时的概率在离散型随机变量的分布列中，随机变量取每一个值时的概率p1，p2，pn，都应满足，都应满足0pi1(i1,2，n)，且，且 pi1，这些分布列的性质往往，这些分布列的性质往往是解题的重要依据是解题的重要依据. 某校高三年级某班的数学课外活动小组中有某校高三年级某班的数学课外活动小组中有6名男生，名男生，4名女生，从中选出名女生，从中选出4人参加数学人参加数学竞赛，用竞赛，用X表示其中的男生人数，求表示其中的男生人数，求X的分布列的分布列解：解：依依题意随机变量题意随机变量X服从超几何分布，服从超几何分布，即即P(Xk k) (k k0,1,2,3,4)P(X0) ，P(X1) ，P(X2) ，P(X3) ，P(X4) .X的分布列为的分布列为X01234P点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册