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1、数学小课题研究教学案例最大公约数最大公约数七、课题的布置与指导七、课题的布置与指导 3 3学生在研究用分解质因数的方法求最小公倍数时，个别学生根据公倍数和最小公倍数的概念，结合自己的理解谈了“什么是公约数？什么是最大公约数？”然后，我布置同学们课下研究如何求两个数的最大公约数？学生因为有了前面的研究基础，在研究中能很快找到突破口。课下研究时，有的同学亟不可待地向我汇报研究出的方法。学生们研究的兴趣越来越高，研究也越来越轻松。下一节课的教学目标是：概括出公约数、最大公约数的概念，然后进一步研究如何求两个数的最大公约数，并能选择较为简便的方法。八、课堂教学实录八、课堂教学实录 3 3(一)游戏引入
2、新课 抢数游戏：两个学生每人各拿 10 和 12。另找一部分学生各拿 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。游戏规则：比赛双方各为 10 和 12 抢约数，抢得又多又快为胜。（游戏开始后不久，数子卡片很快就抢完，当场就有人说不公平。原因是其中的 1、2 既是 10 的约数又是 12 的约数。 ）师：上节课刘航同学在用分解质约数的方法求最小公倍数时，发现也可以从中求出两个数的最大公约数。有同学问他：“什么是公约数？什么是最大公约数？”当时他根据自己的理解谈了看法，大家也表示认同。现在谁来说说什么叫公约数和最大公约数？生 1：两个数公有的最大的约数叫做他们的最大公约数。生 2：两个
3、数共同的约数叫他们的公约数，其中最大的一个叫最大公约数。（教师出示概念。 ）【评析：评析：教师设计的游戏独具匠心，旨在通过游戏让学生找 10 和 12 的约数，发现了他们共有的约数是 1、2。既为学习有困难的同学做好铺垫，又能尽快集中学生的注意力。学生已经有了最小公倍数的认知基础，很容易通过迁移实现对最大公约数这一概念的自主建构。在此基础上，教师引出概念：公约数和最大公约数，就比较自然。 】(二)汇报交流师：昨天老师布置同学们自己试着研究一下，如何求两个数的最大公约数。现在请同学们在小组内交流自己的研究发现，然后每组选出两名代表一起汇报。教师巡视并参与到他们的讨论中。组 1：（学生在说的同时，
4、他的合作伙伴在黑板上配合板书）我们用列举法求的：12 的约数有：1、2、3、4、6、1218 的约数有：1、2、3、6、9、1812、18 的公约数有：1、2、3、6组 2：我们是用集合圈图示法找出两个数的最大公约数。我们也以 12 和 18 为例组 3：我们用分解质因数的方法找最大公约数。如：45=335，90=233512、18 的最 大公约数1、 2 4 3、 12 69 1818 的约数12 的约数 他们公有的质约数同时也是它们的公有的约数，其中最大的 5 就是它们的最大公约数。这时有同学反驳：不对，5 并不是它们的最大公约数，9才是它们的最大公约数呢。又有学生反驳：还不对，45 才是
5、它们的最大公约数。本组的学生马上有人明白过来：最后这个同学说得对，45 和 90 的公约数，要能整除 45，同时又能整除90，5、9、45 都是这两个数的公约数，最大公约数是公约数中最大的，看来它必须包含有 45 和 90 的全部公有的质因数：3、3、5，所以 335=45 才是它们的最大公约数。另一学生补充道：因为公约数不仅只有质因数，如果只找质因数，就有可能漏掉一些不是质因数的公约数，它们中的最大约数如果是合数的话就被分解成了两个或几个数相乘的形式，如果用上面同学的列举法就很容易看出来了，所以就得把它们乘起来。组 5：我们是用短除法求最大公约数的。12 和 18 的公约数 2 和 3，它们
6、的乘积 23=6 就是它们的最大公约数。6 92 312 1823师：你们认为你们的方法和刚才同学用的分解质约数的方法哪个更好？（本小组同学异口同声的答道：我们的方法好。 ）师：为什么？生：分解质因数的方法虽然也能找到，但相同的那些质因数不一定在一块还得到处找。弄不好还会落下。我们的方法只看左边公共的质因数就可以了，一目了然。【评析：评析：从学生的汇报情况来看，学生们在课下进行了认真地研究。学生们研究的方法各不相同，但他们在研究中已经准确地理解了公约数与最大公约数的意义。学生们在汇报时思路清晰，语言表达能力得到锻炼。特别值得欣喜的是学生不是旁听者，他们在主动思考。当三组学生提出 45 和 90
7、 的最大公约数是 5 时，学生们纷纷质疑，认为公约数不一定是质数，但一定包含了两个数公有的质因数，他们对问题做了深入分析，提高了认识。如果教师能够再举几个例子，学生们将会有更深入地理解。 】组 6：我们两个人发现，象 9 和 10，3 和 5 这类的数，也就是互质数，它们的公约数只有 1，所以最大公约数可能也就是这个“1”吧？（师征求同学们的意见，互质数的公约数除了“1”还有别的数吗？）生：没有。师：那么我们就可以说互质数的最大公约数就是“1” 。组 4：我们发现成倍数关系的两个数最大公约数是较小的那个数。 （学生一致同意。 ）组员 1：我们发现当两个数中较小的数是质数时，可用除法来求。用较大
8、的数除以较小的数，如果能够整除，则较小数就是这两个数的最大公约数。 （这时有学生说其实就是前面同学说的倍数关系。这组学生有点不好意思。 ）师：他们的发现和前面同学的发现有异曲同工之妙，因为质数的约数特别，他们能从质数这个角度去考虑两个数的最大公约数也说明他们有自己独特的想法呢！组员 2：如果两个数没有倍数关系，可以用较小的数依次除以 2、3、4直到求得商是较大数的约数为止，这时的商就是两个数的最大公约数。如，30 和 24，244=6，6 是 30 的约数，所以 6 是 30和 24 的最大公约数。 组员 3：如果两个数相差不大，可以用大数减去小数，所得差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大
9、公约数。如求 78 和 60 的最大公约数，7860=18，18 和 60 的最大公约数是 6，所以 6 是 78 和 60 的最大公约数。刘航：老师，我发现，求两个数的最小公倍数时，可以用它们的乘积除以他们的最大公约数，得到的商就是最小公倍数。师：（对刘航）这是个很有意思的问题，看来你动了不少脑筋。下节课我们就来研究你提出的问题。【评析：评析：学生已经研究出求最大公约数的基本方法，他们思考的脚步并没有停下，他们又对一些特殊的两个数，如两个数是互质数、两个数成倍数关系等，研究得出了一些简便的方法。学生对自己的研究发现印象特别深刻，比老师单纯举例讲解效果好得多。有一个同学发现如果两个数相差不大，
10、可以用大数减去小数，所得差与小数的最大公约数就是原来两个数的最大公约数。这个方法是不是对所有的数都可以，教师可以把它作为子课题继续研究。 】师：刚才同学们用了很多方法来求两个数的最大公约数，大家会求两个数的最大公约数了吗？既然你们认为用短除法来求两个数的最大公约数比较简便，你们会吗？（三）课堂练习1、试一试：用短除法求下列每组数的最大公约数。10 和 25 24 和 182、说出下列各组数的最大公约数。 （抢答后说一说为什么判断的这么快？）7 和 21 8 和 15 9 和 14 4 和 283、判断。如果两个数是互质数，它们没有公约数和最大公约数。（ ）如果较小数是较大数的约数，那么较小数就
11、是这两个数的最大公约数。 （ ）所有非零自然数的公约数 1。 （ ）4、老师有一间厨房需要铺地砖，长 30 分米，宽 24分米，请同学们帮助老师选一选用多大的正方形地砖铺地，才能铺得既整齐又节约呢？告诉老师正方形的边长是多少？如果老师想尽快铺完，你认为应该用边长多大的正方形地砖呢？（四）布置作业刘航同学的问题涉及到最小公倍数和最大公约数的关系问题，我们下节课讨论，请同学们先思考也可以和小组内的同学一起研究这个问题。【评析：评析：考虑到学生的差异，设计的练习题既有基础性的，又有开放性的。既重视基本知识基本能力的训练，同时还将知识性、趣味性有机地结合起来。通过比较、判断、生活问题等不同坡度、不同类
12、型的练习，既巩固了知识，又使全体学生不同程度地得到发展，更为后继学习打下了基础。】九、教学反思九、教学反思我的单元教学研究，总的来看，达到了预期的目的，取得了较好的教学效果，对小课题研究单元教学也有了更多的体会和认识，具体来说有如下几点：1、运用“结构分组法” 。每个组里都有骨干力量、中间力量，也有学习经验不足的学生。在研究过程中，各部分力量都能发挥各自的优势，特别是研究能力比较强的学生，能带动大家进入研究味浓的氛围，使个人优势转化为群体优势。对于中等生，他们提出问题和解决问题的能力可能比研究能力强的学生稍逊色一些，但由于在课下进行研究，他们获取信息的途径并不少，研究能力也很强。研究能力弱的学
13、生在本小组研究成员的带动下，也会越来越主动地参与学习研究活动。这样，能从不同角度，引发不同难度的问题，使研究趣味横生。2、老师指导“吊胃口法” 。学生研究以后往往急不可待地想和老师交流汇报，或者想尽快得到老师的指点。我的方法是，对瓶颈问题略指一二，学生稍有想法，我就打住，让他们自己去想。我从不将问题在课前和学生过多研究。其实，就如同生活中常说的吊胃口，如果学生的研究兴趣被激发起来，你不让他们去继续思考，拦都拦不住的。学生常常有空就凑在一起讨论。有时回家和家长研究，打破了一节课四十分钟的界限，学生的空间和时间就扩大了，他们有了强烈的兴趣，就有了巨大的能量。3、学生的研究让我深深领悟到，我们的学生
14、不可小瞧！真的，他们在研究问题时所迸发出的思维火花，常常让我和听课的老师都发出感叹！现在的孩子从小接触的信息量大，思维活跃，只要引领得法，孩子的小脑袋，能研究出很多我们意想不到的结果。4、这个单元用六课时就结束了教学任务，我深深体会到：学生主动提出问题，思考和研究这些知识内容，与被动的接受相比，学生的学习兴趣与学习效果大相径庭。特别是思维活跃的孩子，他们的研究能力确实得到了很大提高，他们在展现自己研究成果时，往往很有成就感，大大增强了孩子们对数学的兴趣。学生把学习当做一件“美差”去做，这不正是我们想看到的吗？【评析：评析：纵观本单元教学，教师科学的教育理念和大胆创新的探索值得肯定。1、动态生成
15、研究问题，科学指导研究过程。教师在开展本单元小课题研究时，大胆细致，独具匠心。采用倒叙的手法，从“最小公倍数”开始进行学习研究。由于研究的问题是学生自己提出来的，或是在解决问题的过程中产生的新问题，而不是教师或书本给定的。这样的学习，可以使学生一开始就处于积极状态，使学生对学习充满着兴趣，学生乐于研究，而无须教师强迫学生学习，真正做到了“要我学”向“我要学”的转变。2、对于小课题研究单元教学的指导，教师的作用是不容忽视的。教师能宏观把握研究内容、研究进程及教学目标的落实情况。在学生课下研究时，教师能恰当引领，不包办代替。在课堂上研究小组汇报时，教师能创设宽松、和谐、民主的氛围，鼓励学生相互质疑，并采取恰当的措施点拨、梳理、总结，使学生在获得数学知识的同时，不断提高数学能力，不断提升数学素养。3、 课时数虽然减少了，由于课前学生们认真参与了研究，学生学习能力特别是研究能力却大大提高了。按照教师用书的参考建议，应该用 12 课时。在这里只用了 6 课时，教学效率大大提高了。 】