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1、任意角的三角函数任意角的三角函数教学案例设计教学案例设计 1 1一、教学内容分析一、教学内容分析：高一年普通高中课程标准教科书数学（必修 4） （人教版 A 版）第 12 页 1.2.1 任意角的三角函数第一课时。本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。在课程标准中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。 课程标准还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。在本模块中，学生将通过实例学习三角函数及其基本性质
2、，体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。二、学生学习情况分析二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程，以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣。我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。所以如何进行普通高中数学课程标准(实验)(以下简称课程标准)的教学设计就很值得思考探索。如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中？普通高中数学课程标准(实验)解读中在三角函数的教学
3、中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象） ，解决一些实际问题，这也是课程标准在三角函内容处理上的一个突出特点。根据课程标准的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二：借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号
4、。三、设计理念：三、设计理念：本节课通过多媒体信息技术展示摩天轮旋转及生成的图像，让学生感受到数学来源于生活，数学应用于生活，激发同学们学习的乐趣。并通过问题的探究，体验“数学是过程的思想” ，改变课程实施过程于强调接受学习，死记硬背，机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，培养学生学生收集和处理信息的能力，获得新知识的能力，分析与解决问题的能力以及交流合作的能力。四、教学目标：四、教学目标：1.借助摩天轮的情景问题很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很
5、好理解任意角的三角函数的定义；2.从任意角的三角函数的定义认识其定义域、函数值的符号；3.能初步应用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。五、教学重点和难点：五、教学重点和难点：1.教学重点：任意角三角函数的定义.2.教学难点：正弦、余弦、正切函数的定义域.具体设计如下：六、教学过程六、教学过程第一部分第一部分情景引入情景引入问题问题 1:1:如图是一个摩天轮，假设它的中心离地面的高度为，它的直径为 2R，逆时针方向匀速转动，转动一周需要 360oh秒，若现在你坐在座舱中，从初始位置 OA 出发（如图 1 所示） ，OAP图 1 过了 30 秒后，你离地面的高度 为多少？过了 45 秒
6、呢？过了h秒呢？t【设计意图设计意图】：高中学生已经具有丰富的生活经验和一定的科学知识，因此选择感兴趣的、与其生活实际密切相关的素材，此情景设计应该有助于学生对知识的发生发展的理解。这个数学模型很好融合初中对三角函数的定交，也能放在直角坐标系中，很好地将锐角三角函数的定义向任意角三角函数过渡，揭示函数的本质。第二部分第二部分复习回顾锐角三角函数复习回顾锐角三角函数让学生自主思考如何解决问题：“过了 30 秒后，你离地面的高度为多少？”【分析分析】：作图如图 2 很容易知道：从起始位置 OA 运动 30 秒后到达 P 点位置，由题意知，作 PH 垂直地面交 OA 于 M，又知030AOPMH，所
7、以本问题转变成求 PH 再次转变为求ohPM。要求 PM 就是回到初中所学的解直角三角形的问题即锐角的三角函数。问题问题 2 2：锐角的正弦函数如何定义？【学生自主探究学生自主探究】：学生很容易得到RMP OPMP| |sinsin|RMP sin|0RhPHhsin0Rh a OMPOAPHBNM图 2 所以学生很自然得到“过了 30 秒后，过了 45 秒,你离地面的高度 为多少？”h0 0130sinRhh0 0245sinRhh【教师总结教师总结】：在锐角的范围中，0t0 0sintRhh第三部分第三部分引入新课引入新课问题问题 3 3：请问 的范围呢？随着时间t的推移，你离地面的高度
8、为多少？能不能猜想？h0 0sintRhh【分析分析】：若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。今天我们就要来学习任意角的三函数角函数。问题问题 4 4：如图建立直角坐标系，设点，能你用直角),(PPyxP坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角的正弦函数的定义吗？能否也定义其它函数（余弦、正切）？【学生自主探究学生自主探究】：|sinOPMPRyP，Rx OPOMP|cosPP xy OMMP|tan问题问题 5 5：改变终边上的点的位置，这三个比值会改变吗？为什么？【分析分析】：先由学生回答问题，教师再引导学生选几个点，计算比值，获得具体认识，并由相似三角形的性质证明。【设计意图
9、设计意图】：让学生深刻理解体会三角函数值不会随着YXOAPBM终边上的点的位置的改变而改变，只与角有关系。通过摩天轮的演示，让学生感受到第一象限角的正弦可以跟锐角正弦的定义一样。问题问题 6 6：大家根据第一象限角的正弦函数的定义，能否也给出第二象限角的定义呢？【学生自主探究学生自主探究】：学生通过上面已知知识得到|sinOPMPRyP学生定义好第二象限角后，让学生自己算出摩天轮座舱在第 150 秒时，离地面的高度 ？h通过摩天轮知道：0 0150sinRhh0 0130sinRhh由此得到：21150sin0【设计意图设计意图】：通过这个，让学生检验在第|sinOPMPRyP二象限角是否正确
10、？问题问题 7 7：在第三象限角或第四象限能成立吗？|sinOPMP【设计意图设计意图】：让学生通过模型，检验定义是否正确，从中让学生自己发现正、负符号的偏差。（可以让学生取，从而得到210t,210sin0 0Rhh0210sin，发现这与不相符，实际上是）21|sinOPMP|sinOPMP【教师总结教师总结】：我们通过个模型知道如何在某些范围内如OPxy图 3何计算自已此时离地面的高度，用数学模型来表示，0 0sintRhh当摩天轮转动，角度的概念也不知不觉地推广到任意角，对于任意角的正弦不能只是依赖于角所在的直角三角形中的对边的长度比斜边长度了，我更应该用点 P 的横坐标来代替或| M
11、P，那么这样就能够很好表示出正弦的函数任意角的定义。| MP第三部分第三部分给出任意角三角函数的定义给出任意角三角函数的定义如图 3,已知点为角终边上的点，点到顶点 的距),(yxPPO离为 R，则（）RysinR（）RxcosR（）xytank2【分析分析】：让学生通过刚才的模型进一步体验任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离。问题问题 8 8：当摩天轮的半径 R1 时，三角函数的定义会发生怎样的变化。【学生自主探究学生自主探究】：，。ysinxcosxytan教师引导学生进行对比，学生通过对比发现取到原点的距离为 1 的点可以使表达式简化。教师进一步给出单位圆的定义给出下列
12、表格，让学生自己补充完整。三角函数定义一：1|OP定义二：ROP |定义域sinyRy RcosxRx Rtanxy xyk2及时归纳总结有利学生对所学知识的巩固和掌握。第三部分第三部分例题讲解例题讲解例例 1.1.（课本 P14 例 2）已知角终边经过点，求角)4, 3(0P的正弦、余弦和正切值。【分析分析】：让学生现学现卖，得用上面的定义二就可以得到答案。例例 2.2.（课本 P14 例 1）求的正弦、余弦和正切值。35【学生自主探究学生自主探究】：让学生自己思考并独立完成。然后与课本的解答相对比一下，发现本题的难点。【教师讲解教师讲解】：本题题意很简单，但是如何入手却是难点，关键是对本节
13、课的三角函数定义的要点有没有领会清楚（任意角三角函数的定义要点：点、点的坐标、点到顶点的距离） ，因此本题的重点之处是如何利用单位圆找到这个点 P，如图 4 可以知道，又点 P 在第四象限，得到，这样就可以很3POM)23,21(P容易得到本题答案。不妨让学生取，能否也得到点 P 的坐标，得到的4| OPROPMxy图 4三角函数值是否与单位圆的一样。这样可以让学生更深刻体验三角函数的定义。第四部分第四部分巩固练习巩固练习练习练习 1 1.例 2 变式求的正弦、余弦和正切值。67练习练习 2.2.问题问题 9 9：通过观察摩天轮的旋转，三角函数的角的终边所在象限不同，请说说三角函数在各个象限内
14、的三角函数值的符号?独立完成课本 P15 的“探究” 。【设计意图设计意图】：练习 1、练习 2 的设计与例 2、例 3 衔接，主要目的是帮助学生巩固三角函数的本质特征，引导学生从定义出发利用坐标平面内的点的坐标特征自主探究三角函数的有关问题的思想方法。并在特殊情形中体会数形结合的思想方法。第五部分第五部分小结与作业小结与作业学生自我总结作业：P23 习题 1.2A 组 1,2,3七、教学反思七、教学反思上述教学设计及具体教学实施过程我认为有以下几点意义：1.教学设计紧扣课程标准的要求，重点放在任意角的三角函数的理解上。背景创设是学生熟悉的摩天轮，认知过程符合学生的认知特点和学生的身心发展规律
15、具体到抽象，现象到本质，特殊到一般，这样有利学生的思考。2.情景设计的数学模型很好地融合初中对三角函数的定义，也能很好引入在直角坐标系中，很好将锐角三角函数的定义向任意角的三角函数过渡，同时能够揭示函数的本质。3.通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，让学生在情境中活动，在活动中体验数学与自然和社会的联系、新旧知识的内在联系，在体验中领悟数学的价值，它渗透了蕴涵在知识中的思想方法和研究性学习的策略，使学生在理解数学的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。这和课程标准的理念是一致的。4.标准把发展学生的数学应用意识和创新意识作为其目标之一, 在教学中不仅要突出知
16、识的来龙去脉还要为学生创设应用实践的空间, 促进学生在学习和实践过程中形成和发展数学应用意识,提高学生的直觉猜想、归纳抽象、数学地提出、分析、解决问题的能力, 发展学生的数学应用意识和创新意识,使其上升为一种数学意识,自觉地对客观事物中蕴涵的一些数学模式作出思考和判断。在解答问题的过程中体验到从数学的角度运用学过的数学思想、数学思维、数学方法去观察生活、分析自然现象、解决实际问题的策略, 使学生认识到数学原来就来自身边的现实世界, 是认识和解决我们生活和工作中问题的有力武器, 同时也获得了进行数学探究的切身体验和能力。增进了他们对数学的理解和应用数学的信心。点评点评本节课以新颖背景“摩天轮”引课，从直角三角形的锐角入手，引导学生尝试探究，逐次深入引出任意角的三角函数的定义，以问题形式巩固深化任意角三角函数值的计算，结合平位图直观作用，使学生经历了由浅入深，由易到难，清楚展现了任意角三角函数的生成过程，加深了对任意角三角函数的认识。新课程教材强调了学生的探究能力的培养，但不意味着每个知识点都需要人为创设情景加以探究，现实的教学由于受教学时数限制，总是希望课堂教学效率高些，任意角的三角函数的定义是否一定要创设情景让学生探究？只要让学生理解有必要引入任意角三角函数概念，然后直接下定义，从课堂教学效率而言，可能会更好些。