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1、微分方程数值解微分方程数值解 II2010.1.6 第 8 周起，复习题1.设，。利用三点，构造最高精度的111,iiiiiixxhxxhiihh1),(11iiixxx逼近于的差分逼近式。iixu xu 22 及2.试分析逼近于线性对流方程的蛙跳格式0 xuctu的局部截断误差（精度） ，并用 Fourier 稳定性分析方法，022n 1n 11n1n xuuctuuiiii分析稳定性。设常数。0c 3.对于热传导方程，有差分格式，试22xu tu n 1n 112UUU2UUnnn jjjjjt x 分析精度和稳定性。4.已知对流方程，(1) 试分析特征线的形状；（2）利用网格点02 xq
2、xtq构造差分格式；（3）分析所得格式的局部截断误差及),),),11nininitxtxtx及（稳定性。5.对于线性对流方程,有中心格式00cxuctu，常数,试写出格式的修正方程。xtc ），其中（n 1 - i n 1in i1n iUU2UU6.对于线性对流方程,有 Warming-Beam 格式00cxuctu，常数,试xtc ），其中）（n 2- in 1 - i n i2n 2- in 1 - i n in i1n iUU2U(21UU4U32UU写出格式的修正方程。 7.用类似于 Leveque 书 6.1 节得到 Lax-Wendroff 格式的 Taylor 级数展开，推导
3、变系数对流方程的 Lax-Wendroff 格式。0)(xtqxuq8.对于线性对流方程,有如下格式00cxqctq，常数，n 2n 11n 2n 1n 1n11 iin iiiiin in iQQxtcQQQxxtcQQQQ）（试用 Leveque 书 Fig4.5(a)所示意的 wave propagation 算法推导出上述格式，假设在图Fig.4.5(a)中，时间步长满足.2 xtcx选择题（在选项前头打，每题只选一个） 1. Lax 等价性定理是指: (a)相容性=收敛性；（b）相容性=稳定性；（c） 相容性+稳定性=收敛性；（d）相容性 +收敛性=稳定性。 2. 下述哪个误差是描述
4、数值方法的相容性的： (a) 离散误差；（b）截断误差；（c） 舍入误差；（d）全局误差。 3. 关于 Fourier 稳定性分析方法，下述哪种说法是错误的: (a) 它是 2-范数意义上的判稳方法； (b)它要求放大因子 ;（c）它适用于线性格式；（d）它适用于非线性tx, t,Ctx,G 1) (格式。4. 逼近于微分方程的某个格式的修正方程为0xtquq，其中则正确的说法是：44 3 433 2 3xvxdxvxdxvutv 为不为零的常数。43,dd(a) 右端第一项为耗散误差，第二项为频散误差；（b）频散误差引起数值振荡；（c） 耗散误差引起数值振荡；（d）耗散误差始终起抑制数值振荡
5、的作用。 5. 关于求解扩散方程的 ADI 方法，错误的说法是： (a) ADI 格式属于一种分数步法；（b）每个方向只需要求解一维的方程组；（c）对于二、 三维初边值问题都是无条件稳定的；（d）可能存在因式分解误差。 6. 下列哪个方程不属于双曲型方程？(a) 标量方程；（b）波动方程 ；（c）标量方程0xtquq0cx2 txtqq；（d）方程组。 02xtqq03221 xtqp qp7. CFL 条件是差分格式稳定的必要条件，它可以描述为： (a)数值解的依赖域包含微分方程真解的依赖域；（b）微分方程真解的依赖域包含数值 解的依赖域。8.函数的 Total variation 是: 3
6、 xif 22x1 if 13x2or 1x0 if 13or x 0 xif 1q(x)(a) 1 ； (b) 5； (c) 2； (d) 4。9. 标量守恒律的特征线在解的光滑区为：0)(xtqfq(a) 一般曲线； (b) 直线。10. 标量守恒律的间断解 是：0212 xtqq t xif 2if 4txtxq，(a) 满足 Lax 熵条件的； (b) 不满足 Lax 熵条件的。11. Lax-Wendoroff 定理表明 (a) 守恒型数值方法的数值解收敛到某个函数； (b) 守恒型数值方法的数值解收敛到守 恒律的弱解；(c) 在满足(a)时(b)成立； (d) 非守恒型数值方法的解
7、一定不能收敛到守恒律 的弱解。12. 对于非线性标量守恒律，如果恒小于零， 则初值的0)(xtqfq)(qf i1QQi与Riemann 问题有激波解的情形是：(a) ；(b) 。iiQQ1iiQQ113. 标量守恒律的 Godunov 方法，其中2/12/11 iin in iQAQAxtQQfluctuations 可以定义为 ii-iii- iiiiiiiiiiiiiiQQQfQ QQQQfQf sQQWWsQAWsQA11 112/112/12/12/12/12/12/12/1if (if )()(, ），或者为。 下图为网格界面处的 Riemann 问题解图示， )()()()(12/12/12/12/1iiiiii QfQfQAQfQfQA问哪种情况下，两种定义方式不等价:(a) (b) (c) (d)