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1、1高三数学教案：轨迹问题一、教学目标： 1、掌握求轨迹方程的一般方法，并能较熟练地解决实际问题； 2、培养学生的逻辑推理能力进一步提高运算能力，分析问题和解决问题能力。 二、教学重、难点： 1、重点：利用求轨迹方程的一般方法解决实际问题？ 2、难点：如何选取合适的方法、简捷准确地化简方程； 三、教学方法：引导启发、合作探究法 四、教具：三角板、圆规、投影仪 五、教学过程： （一）复习引入：设置情景 1、求曲线轨迹方程的步骤是什么： 生：建系、设点给出点的集合列出方程化简方程证明。 （二）探索研究：思维拓展 学生探究例题 1：已知直角坐标平面上一点 Q（2，0）和圆 C：,动点 M 到 C 的切
2、221xy线长等于圆 C 的半径与|MQ|的和，求动点 M 的轨迹方程。 生 1：解：设 MN 切圆于 N,又圆半径为|ON|=11122OMMNMNOM已知|MN|=|MQ|+1设则平方得( , )M x y2222121xyxy ，即22232xxy22338502xyxx教师议评：本题关键在于求出切线长，可由 M 点和圆心距离、半径、切线长的 关系得出等量关系比较直接，或利用平面解析几何知识推出等量关系，故 采用直接法求轨迹方程。 师生互动例题 2：给出抛物线，其焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和一条准282yx线，求椭圆的短轴的端点的轨迹方程。解：抛物线的焦点为（0，0） ，准线方程由题
3、可知是椭圆282yx4x 4x 的左准线，设椭圆的端点为( , )B x y21）若点（0，0）为椭圆左焦点，则,|cx by，由定义得 22cxeaxy 22224xyx xxy化简得：240yx x2）若点（0，0）为椭圆右焦点，则,|cx by ，而左焦点为,由定义得 22cxeaxy 2 ,0x22224xyx xxy 化简得：221102yxy教师评议本题利用椭圆第二定义求解.如果动点轨迹满足某种已知曲线的定义， 则可用曲线定义写出方程，这种方法称为定义法。例题 3：P 在以为焦点的双曲线上运动求的重心 G 的轨12,F F22 1169xy12FF PA迹方程。生 2：解：设 P由
4、,则有00,( , )xyG x y12-4 0F 4 0F，即代入得0044 3 (00) 3xxyy 0033xxyy 22 001169xy22991169xy即由于 G 不在上，所以.2 2116 9xy12,F F0y 师：如果轨迹点 P依赖于另一动点 Q,而 Q 点在已知曲线上，则可以, x y, a b列出关于的方程组，利用表示把代入已知方程便得, , ,x y a b, x y, a b, a b出所求轨迹方程。此为代入法。 深入探究例题 4：已知点 M 在圆上点 N 在射线 OM 上，且满足22131315360xyxy|OM|ON|=12，求动点 N 的轨迹方程。 教师分析
5、：点 N 在射线 OM 上，而同一条则是坐标原点为端点的射线上两点坐标关系为与大家发现，我们引入了参数., x y,0kx kyk k3师生整理：设 N则,0kx kyk , x y由|OM|ON|=12 得2222212kxyxyA又点 M 在已知圆上，2212k xy2222131315360k xk ykxky由、式消去,得22xy512520xy教师点评如果轨迹动点的坐标没有相关的点可用或关系不易找到时，可考虑( , )P x y引进参数来表示。再消去参数可得轨迹方程，这种方法称为参数法。 （三）练习巩固：采用上面学习过的方法，求下列各题的轨迹方程。1、求经过抛物线的焦点弦的中点的轨迹
6、方程。24yx2、已知 M（-2，0） ，N（2，0） ，|PM|-|PN|=4，求动点 P 的轨迹方程。3、求与已知曲线关于点 M（3，5）对称的曲线的方程。2244xy学生完成、教师点评。 (四)教师小结： 求轨迹方程的常用方法：直接法、定义法、代入法、参数法 思考：综合创新：1、两条互相垂直且相交于抛物线，过顶点的直线与抛物线相20yaxa交于 A、B（非顶点） 。 1）求弦 AB 中点 M 的轨迹方程； 2）证明：AB 过一个定点，并求这个定点的坐标。教师点拔：有关轨迹综合问题经常与最值及分类讨论的思想结合在一起。注意 对方程中的参数进行分类讨论。（五）作业布置：复习资料 2、4 6、7142P（六）板书设计：轨迹问题一、求轨迹方程的常 例 1 例 3 用方法 例 2 例 4 1、2、3、4 练习 练习