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1、高三数学总复习第高三数学总复习第2轮轮立体几何专题复习立体几何专题复习立体几何复习提要立体几何复习提要1、线面关系中的平行与垂直、线面关系中的平行与垂直2、空间中的角与距离、空间中的角与距离3、高考题型分类解析、高考题型分类解析平行与垂直平行与垂直平平行行线线平行线线平行线面平行线面平行面面平行面面平行线线平行判定线线平行判定线面平行判定线面平行判定线面平行性质线面平行性质面面平行判定面面平行判定面面平行性质面面平行性质（1）定义：如果两条直线在同一平面内，且没有公共）定义：如果两条直线在同一平面内，且没有公共 点，则这两条直线平行。点，则这两条直线平行。（2）初中所学的判定方法（两条直线在同
2、一平面内）初中所学的判定方法（两条直线在同一平面内）（3）平行公理）平行公理4（4）线面平行的性质定理）线面平行的性质定理:线线平行判定线线平行判定如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，则这条平面和这个平面相交，则这条直线与交线平行直线与交线平行。（5）面面平行的性质）面面平行的性质如果两个平面和第三个平面相交，则如果两个平面和第三个平面相交，则交线平行交线平行。（6）线面垂直性质）线面垂直性质如果两条直线同时垂直于同一个平面，那么这两条如果两条直线同时垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。直线平行。（7）利用距离）利用距离 如
3、果一条直线上的所有点到另一条直线的距如果一条直线上的所有点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线平行。离相等，那么这两条直线平行。（8）利用所成角）利用所成角如果两条直线与一个平面所成角相等且方向相如果两条直线与一个平面所成角相等且方向相同，那么这两条直线平行。同，那么这两条直线平行。（1）定义：）定义：直线和平面没有公共点。直线和平面没有公共点。（2）判定定理：平面外一条直线和平面）判定定理：平面外一条直线和平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面内一条直线平行，则这条直线和这个平面平行。平行。（3）面面平行的性质：两个平面平行，）面面平行的性质：两个平面平行，则其中一个平面内的直线必平行于
4、另一则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。个平面。线面平行判定线面平行判定（4）利用垂直）利用垂直如果一条直线和一个平面分别与另一个平面垂如果一条直线和一个平面分别与另一个平面垂直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这直，且直线不在这个平面内，则这条直线和这个平面平行。个平面平行。（5）利用平行）利用平行如果一条直线与两个平行平面中的一个如果一条直线与两个平行平面中的一个平行且不在另一个平面内，则这条直线平行且不在另一个平面内，则这条直线与另一个平面平行。与另一个平面平行。（6）利用距离）利用距离一条直线垂直于一个平面，同时垂直于另一条直线垂直于一个平面，同时垂直于另一条直线，则另一条直线
5、平行于这个平面。一条直线，则另一条直线平行于这个平面。 线面平行的性质线面平行的性质（1）性质定理：如果一条直线与一个平）性质定理：如果一条直线与一个平面平行，过这条直线的平面与已知平面相面平行，过这条直线的平面与已知平面相交，那么这条直线与交线平行。交，那么这条直线与交线平行。（2）如果一条直线与一个平面平行，那么）如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这条直线与 这个平面没有公共点。这个平面没有公共点。（3）如果一条直线与两个相交的平面都）如果一条直线与两个相交的平面都平行，那么这条直线与交线平行。平行，那么这条直线与交线平行。（4）如果一条直线与一个平面平行，另）如果一条直线与一个平
6、面平行，另合乎合乎一条直线与这个平面垂直，那么这两一条直线与这个平面垂直，那么这两天天天天条直线垂直。条直线垂直。（5）如果一条直线与一个平面平行，）如果一条直线与一个平面平行，事事实不实不则这条直线与平面所成的角为零度。则这条直线与平面所成的角为零度。（6）如果一条直线与一个平面平行，则这）如果一条直线与一个平面平行，则这 就日就日条直线上的所有的点到这个平面的距条直线上的所有的点到这个平面的距各各个个离相等。离相等。面面平行判定面面平行判定（1）定义：）定义：如果两个平面没有公共点，则这两个平面平如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行。行。（2）判定定理：）判定定理：如果一个平面内的两条
7、相交直线与另一个平面平如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。行，那么这两个平面平行。（3）推论：）推论：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面的如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面的两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。两条相交直线分别平行，那么这两个平面平行。（4）利用线面垂直：）利用线面垂直：如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两如果两个平面分别垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。个平面平行。（5）利用面面平行：）利用面面平行：如果两个平面都平行于第三个平面，那么这两个如果两个平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行。平面平行。（6）利用距离：
8、）利用距离：如果一个平面上的所有点到另一个平面的距离相如果一个平面上的所有点到另一个平面的距离相等，那么这两个平面平行。等，那么这两个平面平行。面面平行的性质面面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么这两个平面没有公共点。）如果两个平面平行，那么这两个平面没有公共点。（2）如果两个平面平行且都与第三个平面相交，则）如果两个平面平行且都与第三个平面相交，则 交线平行。交线平行。（3）如果两个平面平行，则其中一个平面内的所有）如果两个平面平行，则其中一个平面内的所有 直线与另一个平面平行。直线与另一个平面平行。（4）如果两个平面平行，且其中一个平面与一条直线）如果两个平面平行，且其中一个平面与一条
9、直线 垂直，则另一个平面与这条直线也垂直。垂直，则另一个平面与这条直线也垂直。（5）如果两个平面平行，那么这两个平面所成）如果两个平面平行，那么这两个平面所成的角为零度。的角为零度。（6）如果两个平面平行，则其中一个平面内的所有）如果两个平面平行，则其中一个平面内的所有 点到另一个平面的距离相等。点到另一个平面的距离相等。（7）夹在两个平行平面间的平行线段相等夹在两个平行平面间的平行线段相等。平行与垂直平行与垂直垂垂直直线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直线线垂直判定线线垂直判定线面垂直判定线面垂直判定线面垂直性质线面垂直性质面面垂直判定面面垂直判定面面垂直性质面面垂直性质线线垂直
10、判定线线垂直判定（1）利用线线平行：一条直线垂直于两条）利用线线平行：一条直线垂直于两条平行线中的一条，则垂直于另一条平行线中的一条，则垂直于另一条（2）利用勾股定理逆定理）利用勾股定理逆定理（3）利用等腰三角形性质）利用等腰三角形性质（4）利用平面图形性质）利用平面图形性质(5)线面垂直的性质：线面垂直的性质：ab ab(6)利用线面垂直、利用线面垂直、 线面平行：线面平行：abab(7)利用三垂线定理：利用三垂线定理：aCBA在平面内的一条直线，在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直。也和这条斜线垂直。（反之也成
11、立）（反之也成立）线面垂直判定线面垂直判定（1）判定定理）判定定理1如果两条如果两条平行线平行线中的中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面。这个平面。（2）判定定理）判定定理2如果一条直线和一个如果一条直线和一个平面内的平面内的两条相交直线两条相交直线都垂直，则直线与都垂直，则直线与平面垂直。平面垂直。（3）面面垂直的性质：如果两个平面垂直，）面面垂直的性质：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面垂直于另一个平面（4）面面垂直推论）面面垂直推论:如果两个相交平面都与另如果两个相交平
12、面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线一个平面垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于垂直于另一个平面另一个平面（5）面面平行性质：一直线垂直于两个平行）面面平行性质：一直线垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面平面中的一个，则它也垂直于另一个平面线面垂直性质线面垂直性质（1）定义）定义如果一条直线和一个平面垂直如果一条直线和一个平面垂直则这条直线垂直于平面内的则这条直线垂直于平面内的任意一条任意一条直线直线（2）性质定理）性质定理如果两条直线同垂直于一如果两条直线同垂直于一个平面，则这两条直线个平面，则这两条直线平行平行。（3）一直线垂直于两个平行平面中的一个，）一直线垂直于两个平
13、行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面则它也垂直于另一个平面（6）如果一个平面经过另一个平面的一条垂）如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直线，则这两个平面互相垂直（7）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，）如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直则这两个平面互相垂直如果一个平面经过另一个平面的一如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直条垂线，则这两个平面互相垂直推论推论:如果一个平面与另一个平面的垂如果一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面互相垂直线平行，则这两个平面互相垂直面面垂直判定面面垂直判定如果两个平面垂直，则在一个平面内垂
14、直如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面于它们的交线的直线垂直于另一个平面推论推论:如果两个相交平面都与另一个平面如果两个相交平面都与另一个平面垂直，则这两个平面的交线垂直，则这两个平面的交线 l 垂直于另一垂直于另一个平面个平面面面垂直性质面面垂直性质垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系：转化关系：1.平行转化平行转化2.垂直转化垂直转化每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的向另一垂直或平行最终达到目的.例如：有两个
15、平面垂直时，一般要用性质定理，在一例如：有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直一步转化为线线垂直. 1、已知、已知a、b、c是三条不重合的直线，是三条不重合的直线，、是三个不重合的平面，试判断下面六个命题的是三个不重合的平面，试判断下面六个命题的正误：正误：(1) ac , bc a b(2)a , b a b(3)c , c (4) , (5)a c , c a (6)a , a (1) (4)2、如果直线、如果直线l、m与平面与平面、满足：满足：=l， ml,m ,则必有（则
16、必有（ ） A、l B、 C、 m 且且m D、 m 或或m D例例3.已知已知PA平面平面ABCD，四边形四边形ABCD是矩形，是矩形，M、N分别是分别是AB、PC的中点的中点. (1) 求证：求证：MN平面平面PAD； (2)求证：求证：MNCD； PABCDNM(3)若平面若平面PCD与平面与平面ABCD所成二面角为所成二面角为，问能问能否确定否确定的值，使得的值，使得MN是异面直线是异面直线AB与与PC的公的公垂线垂线. 例例4、在正四棱柱、在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，中，2AA1= AB，点点E、M分别为分别为A1B、C1C的中点，过的中点，过A1，B，M三点的平面交三点
17、的平面交C1D1于点于点N。(1)求证：求证：EM平面平面A1ND1；(2)求二面角求二面角B-A1N-B1的正切值的正切值 ABC1A1D1CB1EMN例例5、正三棱柱正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都相等，的各棱长都相等，D、E分别是分别是CC1和和AB1的中点，点的中点，点F在在BC上且上且满足满足BF FC=1 3.(1)若若M为为AB中点，求证：中点，求证：BB1平面平面EFM；(2)求证：求证：EFBC；(3)求二面角求二面角A1B1DC1的大小的大小 N(1)若若D是是BC的中点，求证：的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面过侧面BB1C1C的对角线的对角线BC1的平面交的平面
18、交侧棱于侧棱于M，若若AM=MA1，求证：截面求证：截面MBC1侧面侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面是截面MBC1平面平面BB1C1C的充要条件吗？的充要条件吗？请你叙述判断理由请你叙述判断理由.例例6、在斜三棱柱在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三中，底面是等腰三角形，角形，AB=AC，侧面侧面BB1C1C底面底面ABC.(1)若若D是是BC的中点，求证：的中点，求证：ADCC1；(2)过侧面过侧面BB1C1C的对角线的对角线BC1的平面交的平面交侧棱于侧棱于M，若若AM=MA1，求证：截面求证：截面MBC1侧面侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面是截面MBC1平面平
19、面BB1C1C的充要条件吗？的充要条件吗？请你叙述判断理由请你叙述判断理由.例例6、在斜三棱柱在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三中，底面是等腰三角形，角形，AB=AC，侧面侧面BB1C1C底面底面ABC.例例7 7如图，在底面是菱形的四棱锥如图，在底面是菱形的四棱锥P PABCDABCD中，中，ABC=60ABC=60o o,PA=AC=,PA=AC=a a,PB=PD= ,PB=PD= a a, ,点点E E在在PDPD上，且上，且PEPE：ED=2ED=2：1 1。（1 1）证明证明PAPA平面平面ABCDABCD；（2 2）求二面角求二面角E-AC-DE-AC-D的大小；的大小
20、；（3 3）在棱）在棱PCPC上是否存在一点上是否存在一点P P，使使BFBF平面平面AECAEC。 2 PABCDE空间中的角与距离空间中的角与距离 立体几何专题复习立体几何专题复习 之二之二空间中的角空间中的角abbmbaABP0090000 90000 1800三种角的定义三种角的定义两异面直两异面直线所成角线所成角直线与平直线与平面所成角面所成角二面角二面角空间角的计算步骤：一作、二证、三算空间角的计算步骤：一作、二证、三算 空间中的角解法小结空间中的角解法小结1、异面直线所成角的方法、异面直线所成角的方法 （1）平移法（）平移法（2）补形法）补形法2、直线与平面所成角的方法、直线与平
21、面所成角的方法关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内的射影。关键：抓垂足、斜足，找斜线在平面内的射影。当二面角的棱已知时：当二面角的棱已知时：（1）定义法）定义法 (2)垂面法垂面法（3）三垂线定理法）三垂线定理法寻找平行平面，将问题转化寻找平行平面，将问题转化3、二面角、二面角找二面角的找二面角的棱棱,进而找棱的两条进而找棱的两条垂线垂线 当二面角的棱未知时：当二面角的棱未知时：利用射影面积公式利用射影面积公式S=Scos例在棱长为例在棱长为a的正方体的正方体ABCDABCD中，中，E、F分别是分别是BC、AD的中点的中点.( 1 ) 求 证 ： 四 边 形求 证 ： 四 边 形BEDF是菱形；
22、是菱形；(2)求直线求直线AC与与DE所所成的角；成的角；(3)求直线求直线AD与平面与平面BEDF所成的角；所成的角；(4)求面求面BEDF与面与面ABCD所成的角所成的角. (1)证 明 ： 如 上 图 所 示 ， 由 勾 股 定 理 ， 得证 明 ： 如 上 图 所 示 ， 由 勾 股 定 理 ， 得BE=ED=DF=FB= a,下证下证B、E、D、F四点共四点共面，取面，取AD中点中点G，连结连结AG、EG，由由EG AB AB知，知，BEGA是平行四边形是平行四边形.BEAG,又又AF DG,AGDF为平行四边形为平行四边形AGFD，B、E、D、F四点共面四点共面 故四边形故四边形B
23、EDF是菱形是菱形. 25(1)求证：四边形求证：四边形BEDF是菱形是菱形(2)求直线求直线AC与与DE所成的角所成的角(2)解：如图所示，在平面解：如图所示，在平面ABCD内，过内，过C作作CPDE，交直线交直线AD于于P，则则ACP(或补角或补角)为异面直线为异面直线AC与与DE所成角所成角.在在ACP中，易得中，易得AC= a，CP=DE= a,AP= a由余弦定理得由余弦定理得cosACP=故故AC与与DE所成角为所成角为arccos 32521315151515(3)求直线求直线AD与平面与平面BEDF所成的角所成的角 (3)解：解：ADE=ADF,AD在平面在平面BEDF内的内的
24、射影在射影在EDF的平分线上的平分线上.如图所示如图所示.又又BEDF为菱形，为菱形，DB为为EDF的平分线，的平分线，故直线故直线AD与平面与平面BEDF所成的角为所成的角为ADB在在RtBAD中，中，AD= a，AB= a,BD= a则则cosADB=故故AD与平面与平面BEDF所成的角是所成的角是arccos . 2333322(4)求面求面BEDF与面与面ABCD 所成的角所成的角再作再作HMDE，垂足为垂足为M，连结连结OM，则则OMDE，故故OMH为二面角为二面角BDEA的平面角的平面角.在在RtDOE中，中，OE= a, OD= a,斜边斜边DE= a,则由面积关系得则由面积关系
25、得OM= a在在RtOHM中，中，sin OMH=故面故面BEDF与面与面ABCD所成的角为所成的角为arcsin 2223251030DEOEOD630OMOH630作作OH平面平面ABCD，则则H为正方形为正方形ABCD的中心，的中心，1. 在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，中，M为为DD1的中的中点，点，O为底面为底面ABCD的中心，的中心，P为棱为棱A1B1上任意一上任意一点，则直线点，则直线OP与直线与直线AM所成的角是所成的角是( )A. B.C.D.6432ABDCA1B1D1C1OMPABDCA1B1D1C1OME2.已知已知AOB=90,过过O点引点引AOB所在平面
26、的斜所在平面的斜线线OC，与与OA、OB分别成分别成45、60，则以，则以OC为棱的二面角为棱的二面角AOCB的大小为的大小为_. CABO33arccos -3 3、如图，在底面是直角梯形的四棱锥、如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCDS-ABCD中，中，ABC=90ABC=90，SASA面面ABCDABCD，SA=AB=BC=1SA=AB=BC=1，AD=1/2 AD=1/2 ，则面则面SBASBA与面与面SCDSCD所成的二面角的大小是所成的二面角的大小是 。 sABCDsABCDEMNABCDSEFGABCDSP如图如图,四棱锥四棱锥P-ABCD的底面是正方形的底面是正方形,PA底
27、底面面ABCD,AEPD,EFCD,AMEF(1)证明证明MF是异面直线是异面直线AB与与PC的公垂线；的公垂线；(2) 若若PA= 3AB,求二面角求二面角EABD平面角的正弦值平面角的正弦值. (3)若若PA=3AB,求直线求直线AC与与平面平面EAM所成角的正弦值所成角的正弦值.PABCDEFM（1）证明：因证明：因PA底面底面,有有PAAB,又知又知ABAD,故故AB面面PAD,推得推得BAAE,又又AMCDEF,且且AM=EF,证得证得AEFM是矩形是矩形,故故AMMF.又因又因AEPD,AECD,故故AE面面PCD,而而MFAE,得得MF面面PCD,故故MFPC,因此因此MF是是A
28、B与与PC的公垂线的公垂线. PABCDEFMPABCDEFM（2）由（）由（1）知知AEAB,又又ADAB,故故EAD是二是二面角面角EABD的平面角的平面角.设设AB=a,则则PA=3a.因因RtADERtPDA,故故EAD=APD因此因此22sinsin(3 )ADaEADAPDPDaa221010(3 )aaaPABCDEFM(3)(3)若若PA=3AB,PA=3AB,求直线求直线ACAC与平面与平面EAMEAM所成角的正弦值所成角的正弦值. .(3)(3)若若PA=3AB,PA=3AB,求直线求直线ACAC与平面与平面EAMEAM所成角的正弦值所成角的正弦值. .PABCDEFM解：
29、连结解：连结BD交交AC于于O,连结连结BE,过过O作作BE的垂线的垂线OH,垂足垂足H在在BE上上. 易知易知PD面面MAE,故故DEBE,又又OHBE,故故OH/DE,因此因此OH面面MAE.连结连结AH,则则HAO是所要求是所要求的线的线AC与面与面NAE所成的角所成的角,设设AB=a,则则PA=3a, 因因RtADERtPDA,故故 OHaACAO2221222210(3 )ADaaEDPDaa122 10aOHED空间中的距离主要指以下七种：空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离两点之间的距离.(2)点到直线的距离点到直线的距离.(3)点到平面的距离点到平面的距离.(4)两
30、条平行线间的距离两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离平面的平行直线与平面之间的距离(7)两个平行平面之间的距离两个平行平面之间的距离 空间中的距离空间中的距离重点重点难点难点考纲要求：会计算已考纲要求：会计算已给出公垂线时的距离给出公垂线时的距离 求点到平面的距离：求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法体积法 求异面直线的距离：求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的
31、长定义法，即求公垂线段的长.(2)转化成求直线与平面的距离或平面与平面的距离转化成求直线与平面的距离或平面与平面的距离空间中的距离解法小结空间中的距离解法小结例例如图，已知如图，已知ABCD是矩形是矩形 ，AB=a,AD=b, PA平面平面ABCD，PA=2c,Q是是PA的中点的中点. 求：求：(1)Q到到BD的距离；的距离；(2)P到平面到平面BQD的距离的距离 PE22222a bQEcab如图，已知如图，已知ABCD是矩形，是矩形，AB=a,AD=b,PA平面平面ABCD，PA=2c,Q是是PA的中点的中点. 求：求：(1)Q到到BD的距离；的距离；(2)P到平面到平面BQD的距离的距离
32、 PEF22222()abcAFab ca b 1. 正方形正方形ABCD边长为边长为2，E、F分别是分别是AB和和CD的的中点，将正方形沿中点，将正方形沿EF折成直二面角，折成直二面角，M为矩形为矩形AEFD内一点，如果内一点，如果MBE=MBC，MB和平面和平面BCF所成角的正切值为所成角的正切值为 0.5，那么点，那么点M到直线到直线EF的距离为的距离为 。N2.如图，直三棱柱如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面的底面ABC为为等腰直角三角形，等腰直角三角形，ACB=900，AC=1，C点点到到AB1的距离为的距离为CE= ，D为为AB的中点的中点.23ABCDA1EB1C1（1）求
33、证：）求证：AB1平面平面CED（2）求异面直线求异面直线AB1与与CD之间的距离；之间的距离；（3）求二面角求二面角B1ACB的的平面角平面角. (1)求点求点E到平面到平面ABD的距离：的距离：(2)求二面角求二面角ABDC的正切值的正切值 3.如图，正三棱柱如图，正三棱柱A1B1C1-ABC中，底面边长中，底面边长和侧棱长都是和侧棱长都是1，D、E分别是分别是C1C和和A1B1的中的中点点4 4、在直三棱柱、在直三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1中，底面是等腰直角三角中，底面是等腰直角三角形，形，ACB=90ACB=90o o，侧棱侧棱AAAA1 1=2=2，D D、
34、E E分别是分别是CCCC1 1与与A A1 1B B的的中点，点中点，点E E在平面在平面ABDABD上的射影上的射影G G是是ABDABD的重心。的重心。（1 1）求）求A A1 1B B与平面与平面ABDABD所成角的大小；所成角的大小；（2 2）求点）求点A A1 1到平面到平面AEDAED的距离。的距离。ABB1A1C1CDEGA1B与平面与平面ABD所成的角是所成的角是arcsin 23A1到平面到平面AED的距离为的距离为 2 63高考题型分类解析高考题型分类解析 立体几何专题复习立体几何专题复习 之三之三命题走势是命题走势是：稳定稳定:1.:1.主干内容没有大变主干内容没有大变
35、 2. 2.考查的方向没有大变，考查的方向没有大变，( (大题仍然是以多大题仍然是以多 面体为载体，着重考查直线与平面的位置面体为载体，着重考查直线与平面的位置 关系，以及角度、距离的计算关系，以及角度、距离的计算) ) 3. 3.考查的难度也基本稳定考查的难度也基本稳定变化变化:1.:1.课程内容的变化，导致立几的题量减少课程内容的变化，导致立几的题量减少 2. 2.新课程理念的渗透，导致开放性、探究性新课程理念的渗透，导致开放性、探究性 问题出现。问题出现。1 1掌握直线与平面的位置关系。掌握直线与平面的位置关系。 2 2掌握空间的角和距离的计算掌握空间的角和距离的计算 。3 3了解多面体
36、、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、了解多面体、凸多面体、正多面体、棱柱、棱锥、 球的概念，了解多面体的欧拉定理。掌握棱柱、球的概念，了解多面体的欧拉定理。掌握棱柱、 正棱锥的性质，及球的表面积、体积公式。正棱锥的性质，及球的表面积、体积公式。 4 4画图、读图、想图的要求。画图、读图、想图的要求。 5 59 9（A A）还包括，会用反证法证明简单的问题还包括，会用反证法证明简单的问题7 7能力要求：以空间想象能力为基础，运用能力要求：以空间想象能力为基础，运用 思维能力、运算能力等，对具体的空间图形思维能力、运算能力等，对具体的空间图形 进行位置关系的判断、证明和计算进行位置关系的判断、证明和
37、计算 1 1占分比重占分比重 20032003年前一般有三小题（二个选择、一个填空）一大年前一般有三小题（二个选择、一个填空）一大题，约题，约2626分，占全卷的分，占全卷的17.4%17.4%。20042004年江苏省考题中仅年江苏省考题中仅一小题一大题共一小题一大题共1717分，而全国绝大多数省份是两小题分，而全国绝大多数省份是两小题一大题一大题21-2221-22分，占全卷的分，占全卷的14%14%左右。左右。 2 2考查重点考查重点 仍然是直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距仍然是直线与平面的位置关系判定、证明及角度与距离的计算。直线平面的平行、垂直作为知识体系的轴离的计算。直线平
38、面的平行、垂直作为知识体系的轴心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算心，在考查中地位突出，贯穿整个大题。角度的计算线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面线线角、线面角、二面角是必考内容，线面角、二面角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距角的出现频率更高些。距离以点面距、异面直线的距离为主，前者的出现频率更高。离为主，前者的出现频率更高。 3 3考查方式考查方式(1)(1)大题以考查直线与平面的位置关系的证大题以考查直线与平面的位置关系的证明，角度与距离计算为主。大题通常以多明，角度与距离计算为主。大题通常以多面体为载体，如正方体、长方体、三棱柱、面体为载体，如正方体、长
39、方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥，四棱柱、三棱锥、四棱锥，0404年全国大部年全国大部分试卷中立几以四棱锥为载体；有时出现分试卷中立几以四棱锥为载体；有时出现不规则几何体，或改变常用几何体的放置不规则几何体，或改变常用几何体的放置方式，这些变化提高了空间想象的要求。方式，这些变化提高了空间想象的要求。 位置关系位置关系 5 5全国全国理理5 ,5 ,上海上海13,13,北京北京3 ,3 ,重庆重庆8,8,福建福建6 6 角度距离角度距离 5 5辽宁辽宁15,15,天津理天津理6,6,文文8,8,湖北理湖北理1111* *, ,浙江浙江11,1511,15 体积体积 表面积表面积 7 7 全
40、国全国文文3 3天津天津11,11,广东广东7,15(7,15(类比类比), ), 湖南文湖南文5,5,广东广东15,15,全国全国9 9 球球 4 4全国全国文文11,11,辽宁辽宁10,10,福建福建10,10,江苏江苏4 4 空间想象空间想象 3 3全国全国16,16,天津文天津文8,8,重庆重庆1212* * 综合问题综合问题 3 3轨迹轨迹: :重庆重庆4 4* *, ,北京北京4 4 排列组合排列组合: :湖南湖南1010 (2)(2)小题类型大体有：直线与平面的位置关系的判定，小题类型大体有：直线与平面的位置关系的判定，角度、距离的计算（用于覆盖大题未考查到的内容），角度、距离的
41、计算（用于覆盖大题未考查到的内容），球的问题，体积、表面积问题，空间想象能力，与其它球的问题，体积、表面积问题，空间想象能力，与其它知识综合的问题（如排列组合等），如：知识综合的问题（如排列组合等），如：0404年各卷情况年各卷情况统计，其中加统计，其中加* *者为较难题。者为较难题。4 4考查难度考查难度立体几何大题一般出现在试卷中第立体几何大题一般出现在试卷中第1818、1919题，难度中等，少数省份出现在题，难度中等，少数省份出现在2020、2121或或1717题位置，难度中等偏上或偏下。题位置，难度中等偏上或偏下。小题通常为容易题、中等题，中上难度小题通常为容易题、中等题，中上难度的题
42、也时有出现。的题也时有出现。 C A G D B H E F1 1能力题型能力题型 （1 1）空间想象能力）空间想象能力 既是解决立几问题的前提，又既是解决立几问题的前提，又是考查的重是考查的重 点。点。 例例1 021 02年春上海，年春上海，1010题题如图表示一个正方体表面如图表示一个正方体表面的一种展开图，的一种展开图，图中四条线段图中四条线段ABAB、CDCD、EFEF和和GHGH在原正方体中相互异在原正方体中相互异面的有面的有 对对。只有只有AB与与CD,EF与与GH,AB与与GH三对三对 例例2 2（0000年全国，年全国，1616题）题）如图，如图，E E，F F分别为正方体的
43、面分别为正方体的面ADDADD1 1A A1 1、面面BCCBCC1 1B B1 1的中心，则四边形的中心，则四边形BFDBFD1 1E E在该在该正方体的面上的射影可能是图正方体的面上的射影可能是图 （把可能的图的序号都填上）（把可能的图的序号都填上） D1 C1A1 B1 E F D C A B 例例3 3（0404年重庆文年重庆文1212题）题）如图，棱长为如图，棱长为5 5的立方体无论从哪一面看，都有两个的立方体无论从哪一面看，都有两个直通的边长为直通的边长为1 1的正方形孔，则这个立方体表面积的正方形孔，则这个立方体表面积（含孔内各面）是（含孔内各面）是A A258 B258 B23
44、4 C234 C222 D222 D210210（2 2）迁移能力）迁移能力例例4 4（9797年全国理年全国理1515题）题）四面体的顶点和各棱中点共四面体的顶点和各棱中点共1010点，在其中取点，在其中取4 4个不共面个不共面的点，不同的取法有的点，不同的取法有A A150150种种 B B147147种种 C C143143种种 D D141141种种例例5 5例例6 6（0404年重庆理年重庆理1212题）题）若三棱锥若三棱锥A ABCDBCD侧面侧面ABCABC内一动点内一动点P P到底面到底面BCDBCD的距离与到的距离与到棱棱ABAB的距离相等，则动点的距离相等，则动点P P的轨
45、迹与的轨迹与ABCABC组成的图形可组成的图形可能是能是 （ ） A A A A P P P PB C B C B C B CABCD 例例7 7（0404年湖北年湖北1111题）题）已知平面已知平面与与所成的二面角为所成的二面角为8080o o，P P为为、外一定点，外一定点，过点过点P P的一条直线与的一条直线与、所成的角都是所成的角都是3030o o，则这样的直则这样的直线有且仅有线有且仅有A A1 1条条 B B2 2条条 C C3 3条条 D D4 4条条 A C P D B2 2研究型、探索型、开放型问题研究型、探索型、开放型问题例例8 8（0303年全国年全国1515题）题）在平
46、面几何里，有勾股定理：在平面几何里，有勾股定理：“设设ABCABC的两边的两边ABAB、ACAC互相垂直，则互相垂直，则ABAB2 2+AC+AC2 2=BC=BC2 2”。拓展到空间，类比平面拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥设三棱锥A ABCDBCD的三个侧面的三个侧面ABCABC、ACDACD、ADBADB两两相互垂直，两两相互垂直，则则 ”。SDBC2=SDAB2+SDAC2+SABC2. 例例9 9（0404年广东年广东1515题）题
47、）由图（由图（1 1）有面积关系：）有面积关系： ，则由图（则由图（2 2）有体积关系）有体积关系 。 PA BPABSPAPBSPA PB B B/ P A/ A B B/ C C/ P A/ A判断是非：判断是非：(1)a,a,(2),=L,aLa,(3)a,a (4)ab,a,b(5)a,a或或a (6)ab,a,b b 3 3辨析型理论问题辨析型理论问题 如果直线如果直线l 平面平面 ，（1）若直线）若直线m l ,直线直线m平面平面 ；（2）若直线）若直线m平面平面 ，则，则ml；（3）若直线若直线m平面平面 ，则，则m l；（4）若直线若直线ml，则则m 平面平面 。以上判断正确的
48、是以上判断正确的是 直线直线L平面平面,直线直线m 平面平面，以以下四个命题正确的命题是下四个命题正确的命题是 Lm Lm Lm Lm , (A).与与 (B). 与与 (C). 与与 (D).与与 设设m,n是两条不同的直线，是两条不同的直线， , , 是三个是三个不同的平面。给出如下命题不同的平面。给出如下命题设设m,n是两条不重合的直线，是两条不重合的直线， , 是两是两个不同的平面。给出如下命题个不同的平面。给出如下命题2，44 4计算型小题计算型小题1. 1. 侧棱长为侧棱长为1 1的正三棱锥三条侧棱两两垂直，的正三棱锥三条侧棱两两垂直，它的顶点都在同一球面上，此球的体积它的顶点都在
49、同一球面上，此球的体积为为 。2. 2. 常见的地球仪的轴与水平桌面成常见的地球仪的轴与水平桌面成66.566.5o o角角, ,那么那么, ,地球仪表面距离桌面最近的点总在地球仪表面距离桌面最近的点总在 A. A. 南纬南纬23.523.5o o圈上圈上 B. B. 南纬南纬66.566.5o o圈上圈上 C. C. 南极上南极上 D. D. 赤道上赤道上 3445、在棱长为、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 （ ）6 夯实基础，熟练掌握通性通法夯实基础，熟练掌握通性通法 （1 1）首先应注重提高空间想象能力，）首先应注重提高空间想象能力，为解决立体几何问题打下基础。为解决立体几何问题打下基础。（2 2）注意揭示解决立几问题的一般思）注意揭示解决立几问题的一般思维程序。维程序。（3 3）熟练掌握通性通法）熟练掌握通性通法