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1、-2-问题问题1：要在公路上修建一个泵站C，分别向公路两侧A、B两镇供气，泵站修在什么地方，可使泵站C到A、B两镇所用的输气管线最短?-3-问题问题2：“饮马问题饮马问题”如图，牧马人从如图，牧马人从A地地出发，到一条笔直出发，到一条笔直的的河流河流l边饮马边饮马，然，然后到后到B地，牧马人到地，牧马人到河边的什么地方饮河边的什么地方饮马，可使所走的路马，可使所走的路径最短？径最短？-4-追问追问1 这是一个实际问题，你打算首先做什么？这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 将将A，B 两地抽象为两个点，将两地抽象为两个点，将河流河流l 抽象为一条直抽象为一条直 线线 探索新知探索新知BAl-5
2、-（1）从）从A 地出发，到地出发，到河流河流l边 饮马，然后到饮马，然后到B 地；地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地地 到饮马地点，再回到到饮马地点，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 探索新知探索新知追问追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？并把它抽象为数学问题吗？ （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线短的直线
3、l上的点设上的点设C 为直线上的一个动点，上为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点面的问题就转化为：当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时， AC 与与CB 的和最小（如图）的和最小（如图） -6-思考思考1 1：如何将点：如何将点B转“移移”到到l 的另一侧的另一侧B处，满足直线处，满足直线l 上的任意一点上的任意一点C，都保持，都保持CB 与与CB的长度相等？的长度相等？ 探索新知探索新知如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直 线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小呢？的和最小呢
4、？ BlA思考思考2 2：你能利用轴对称的：你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条有关知识，找到上问中符合条件的点件的点B吗？吗？ -7-作法：作法：（1）作点）作点B 关于直线关于直线l 的对称的对称 点点B；（2）连接）连接AB，与直线，与直线l 相交相交 于点于点C 则点则点C 即为所求即为所求 探索新知探索新知问题问题2 如图，点如图，点A，B 在直线在直线l 的同侧，点的同侧，点C 是直是直线上的一个动点，当点线上的一个动点，当点C 在在l 的什么位置时，的什么位置时，AC 与与CB 的和最小？的和最小？ BlAB C-8-探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学
5、的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABC-9-证明：证明：如图，在直线如图，在直线l 上任取一点上任取一点C（与点（与点C 不不重合），连接重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知，由轴对称的性质知， BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC 在在ABC中中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即即AC +BC 最短最短探索新知探索新知问题问题3你能用所学的知识证明你能用所学的知识证明AC + +BC最短吗？最短吗？ BlABCC-10-若直线若直线l 上任意一点（与点上任意一点（
6、与点C 不重合）与不重合）与A，B 两点的距离两点的距离和都大于和都大于AC + +BC，就说明，就说明AC + + BC 最小最小 探索新知探索新知BlABCC思考：证明思考：证明AC + +BC 最短时，为什么要在直线最短时，为什么要在直线l 上上任取一点任取一点C（与点（与点C 不重合），证明不重合），证明AC + +BC AC+ +BC？这里的？这里的“C”的作用是什么？的作用是什么？ -11-变式变式1：已知直线m、l和点B，在直线m、l上分别取点A、点C，使点B到点C再到点A的距离之和最小。变式练习变式练习-12-变式变式2：如图，有两条直线m、l和一点B，在直线m、l上分别取点A
7、、点C，使BAC的周长最小。 变式练习变式练习-13-变式变式3：如图，有两条直线m、l和点B、点D，在直线m、l上分别取点A、点C，使四边形DACB的周长最小。变式练习变式练习-14- 变式变式4：如图，一个旅游船从大桥：如图，一个旅游船从大桥AB 的的P 处前处前往山脚下的往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河处接游客，然后将游客送往河岸岸BC 上，再返回上，再返回P 处，请画出旅游船的最短处，请画出旅游船的最短路径路径ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥变式练习变式练习-15-由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线，线段段PQ 为旅游船最短路径中的必
8、经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P，Q 在直线在直线BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BC上找到一点上找到一点R，使，使PR与与QR 的和最的和最小小” 同问题同问题2 2是一种类型，自己在练习本上独立完成是一种类型，自己在练习本上独立完成ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥-16-课堂小结课堂小结1通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识通过这节课的学习，你获得了哪些数学知识和方法？和方法？2.轴对称在所研究问题中起什么作用？轴对称在所研究问题中起什么作用？3.这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知这节课你参与了哪些数学活动？谈谈你获得知识的方法和经验。识的方法和经验。-17-推荐作业推荐作业1XOY内有一点内有一点P，在射线，在射线OX上找出一点上找出一点M，在射线，在射线OY上找出一点上找出一点N，使，使PM+MN+NP最短最短 PXOY-18-推荐作业推荐作业2.如图：如图：A为马厩，为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。 -19-