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1、第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题(第2课时)学习目标1.理解并掌握如何根据在一条平行河岸的两边的两个点的位置来确定两岸边的位置使路径最短的问题.2.能利用轴对称和平移解决实际问题中路径最短的问题.3.在运用轴对称和平移知识解决问题的过程中,进一步培养和发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力.学习过程一、自主学习1.如图(1).要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A,B两镇供气.泵站修在管道的什么地方,可使所用的输气管线最短?图(1)问题:(1)此问题转化成数学问题是:.(2)如何找到泵站的位置P?(3)为什么在P点的位置修建泵站,就能使所用的输气管线最短呢?二、深化探究问题1:如图,A
2、和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.)思考:1.这是个实际问题,你打算首先做什么呢?将A,B两地抽象成两个点,将河流抽象为两条平行的直线.这个问题实际上就变成了什么问题呢?就是在河两岸分别选两点M,N,使得AM+MN+NB的和最小的问题.同时MN与河岸是垂直的.2.“如何找到M,N这两个点就是我们要研究的问题了?那如何使这个和最短呢,如果不是中间有条河隔着,直接连接AB就可以了!由于河两岸平行,故桥长MN是一个定值,无论桥架在何处,MN是必经路线,要使从A到B的折线最短,只需AM+BN最短即可.为
3、此我们不妨先走一个桥的宽度,沿什么方向呢?3.请在下图中完成作图.问题2:你能证明一下如果在不同于MN的位置造桥M1N1,距离是怎样的,能证明我们的做法AM+MN+NB的和是最短距离吗?利用下图试一下.问题3:还有其他的方法选两点M,N,使得AM+MN+NB的和最小吗?试一试.三、练习巩固问题:如何在四边形ABCD内取一点O,使得点O到四边形四个顶点的距离和最小.证明:尝试另取不同于O的一点P,证明一下.四、反思小结1.通过这节课的学习,你获得了哪些数学知识和方法?学到哪些解决问题的思路.2.你还有什么疑惑?在小组内提出来共同解决,解决不了的小组提出来全班解决.3.这节课你参与了哪些数学活动?
4、谈谈你获得知识的方法和经验.参考答案一、自主学习答案:(1)直线l同侧有2个点A,B,在直线l上求作一个点C,使AC+BC最短.(2)作A关于直线l的对称点D,连接BD交直线l于C,连接AC,BC,则AC+BC最短.(3)理由是:在直线l上任取一点E,连接AE,BE,DE,A,D关于直线l对称,AC=DC,同理AE=DE.AC+BC=DC+BC=BD,AE+BE=DE+BE,BE+DEBD,AC+BCA1B,所以,AM1+N1BAM+NB.所以,AM1+N1B+M1N1AM+NB+MN.问题3:从B沿与河岸垂直的方向走一个河岸的距离作BB1垂直于直线a,并且使得BB1等于河的宽度,连接B1A与直线a交于点N,过点N作MN垂直于直线a,交直线b于点M.三、练习巩固O是线段AC,BD的交点.证明:假设存在不同于点O的交点P,连接PA,PB,PC,PD,那么PA+PCAC,即PA+PCOA+OC,同理,PB+PDOB+OD,PA+PB+PC+PDOA+OB+OC+OD,即点O是线段AC,BD的交点时,OA+OB+OC+OD之和最小.