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1、角的平分线的性质（一）角的平分线的性质（一）AOBC活活 动动1（对折）（对折）情景问题1、如图，是一个角平分仪，、如图，是一个角平分仪，其中其中AB=AD,BC=DC。将点将点A放在角的顶点放在角的顶点,AB和和AD沿着角的两边放下沿着角的两边放下,沿沿AC画一画一条射线条射线AE,AE就是角平分线，就是角平分线，你能说明它的道理吗你能说明它的道理吗?活活 动动2ADBCE 如果前面活动中的纸片换成木板、如果前面活动中的纸片换成木板、钢板等没法折的角，又该怎么办呢？钢板等没法折的角，又该怎么办呢？证明： 在ACDACD和和ACBACB中中 AD=ABAD=AB（已知）（已知） DC=BCDC
2、=BC（已知）（已知） CA=CACA=CA（公共边）（公共边） ACDACD ACBACB（SSSSSS） CAD=CAD=CABCAB（全等三角形的（全等三角形的 对应角相等）对应角相等） ACAC平分平分DABDAB（角平分线的定义）（角平分线的定义）ADBCE 根据角平分仪的制作原理怎样作一个角根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCE活活 动动3NOMCENM新知探究1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通过上面的步骤，得到射线通过上面的步骤，得到射线OCOC以后，以后，把它反向延长得到直线把它反向延长得到直线C
3、DCD，直线，直线CDCD与直线与直线ABAB是什么关系？是什么关系？ 3 3结论：作平角的平分线即可平分平角，结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。线的方法。活活 动动4ABOCD (1)(1)实验实验：将：将AOBAOB对折，再折出一个直角三角对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？活活 动动5 (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的距角的平分线上的点
4、到角的两边的距离相等离相等. .证明：证明：OCOC平分平分 AOB AOB （已知）（已知） 1= 1= 2 2（角平分线的定义）（角平分线的定义） PD PD OA OA，PE PE OB OB（已知）（已知） PDO= PDO= PEOPEO（垂直的定义）（垂直的定义） 在在PDOPDO和和PEOPEO中中 PDO= PDO= PEOPEO（已证）（已证） 1= 1= 2 2 （已证）（已证） OP=OP OP=OP （公共边）（公共边） PDO PDO PEOPEO（AASAAS） PD=PEPD=PE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等） P PA AOOB BC CE
5、 ED D12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分AOBAOB，点，点P P在在OCOC上，上，PDOAPDOA于点于点DD，PEOBPEOB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE验证猜想 利用此性质怎样书写推理过程利用此性质怎样书写推理过程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的对应边相等）角形的对应边相等）P PA AOOB BC CE EDD12（4）得到角平分线的性质）得到角平分线的性质 如图：在如图：在ABC中，中，C=90 AD是是BAC的平分线，的平分线，DEAB于于E，F在在AC上，上，BD=DF； 求证：求证：C
6、F=EBACDEBF 分析分析:要证要证CF=EB,首先我们想到的是要证它首先我们想到的是要证它们所在的两个三角形全等们所在的两个三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 现已有一个条件现已有一个条件BD=DF(斜边相等斜边相等),还需要我们还需要我们找什么条件找什么条件DC=DE (因为角的平分线的性质因为角的平分线的性质) 再用再用HL证明证明.实践应用实践应用知识小结：知识小结：本节课学习了那些知识？有哪些运用？你本节课学习了那些知识？有哪些运用？你学了吗？做了吗？用了吗？学了吗？做了吗？用了吗？ 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：在角平分线上的点到角的两边的距离相等在角平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角平分线的性质定理角平分线的性质定理是证明角相等、线段是证明角相等、线段相等的新途径相等的新途径.三、作业：三、作业： 课本习题课本习题11.3 2、3、4、5