关于强度为3的非对称正交表构造方法的研究.pdf

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1、分 类 号 O212.6 密 级 学 校 代 码 10414 学 号 2013010682 江 西 师 范 大 学 硕 士 研 究 生 学 位 论 文 关于强度为3 的非对称正交表构造方法的研究 Constructions of asymmetric orthogonal arrays of strength three 邓 巧 玲 院 所 ： 数信学院 导师姓名 ： 张天芳 学科专业 ： 统计学 研究方向 ： 试验设计 二零一六年六月 _江西师范大学学位论文独创性声明 本 人 声 明 所 呈 交 的 学 位 论 文 是 我 在 导 师 的 指 导 下 进 行 的 研 究 工 作 及 取 得

2、的 研 究 成 果. 据 我 所 知, 除 文 中 已 经 注 明 引 用 的 内 容 外, 论 文 中 不 包 含 其 他 个 人 已 经 发 表 或 撰 写 过 的 研 究 成 果, 也 不 包 含 为 获 得 江 西 师 范 大 学 或 其 他 教 育 机 构 的 学 位 或 证 书 而 使 用 过 的 材 料. 对本 文 的 研 究 做 出 重要贡献的个人和集体, 均已在文中作了明确说明并表示谢意. 学位论文作者签名： 签字日期： 江西师范大学学位论文使用授权声明 本 人 同 意 在 校 攻 读 学 位 期 间 论 文 工 作 的 知 识 产 权 单 位 属 江 西 师 范 大 学.

3、本 人 保 证 毕 业 离 校 后, 发 表 本 论 文 或 使 用 本 论 文 成 果 时 署 名 单 位 仍 为 江 西 师 范 大 学. 学 校 有 权 保 留 学 位 论 文 并 向 国 家 主 管 部 门 或 其 他 指 定 机 构 送 交 论 文 的 电 子 版 和 纸 质 版; 有 权 将 学 位 论 文 用 于 非 赢 利 目 的 的 少 量 复 制 并 允 许 论 文 进 入 学 校 图 书 馆 、 院 系 资 料 室 被 查 阅; 有 权 将 学 位 论 文 的 内 容 编 入 有 关 数 据库进行检索; 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版. 学位论文作者签名： 导师签名：

4、 签字日期： 签字日期： _摘 要 正 交 表 在 人 类 研 究 的 各 个 领 域 都 非 常 重 要, 其 定 义 简 单, 目 前 已 有 多 种 构 造 方 法. 但 为 实 际 的 应 用 构 造 特 定 的 正 交 表 仍 是 一 个 值 得 深 入 研 究 的 课 题. 本 文 运 用 圆 柱 拉 丁 方 和 替 代 法 构 造 一 系 列 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表. Nguyen(2008) 采 用 拉 丁 方 从 互 补 对 网 格 出 发, 构 造 强 度 为3, 试 验 次 数 是96 的 非 对 称 正 交 表OA(96; 6 4 2 2 k ;3),

5、 1 k 5. 本 文 在 第 二 章 中 提 出 列 互 补 对 概 念, 从 列 互 补 对 出 发 构 造 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2 k ;3), k 3. 这 些 相 关 的 理 论 结 果 更 加 一 般 化. 在 此 基 础 上, 本 文 进 一 步 找 到 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2 5 ;3) 的 存 在 结 果. Suen et al.(2001) 提 出 一 种 因 子 水 平s 是2 的 幂 次 的 替 代 法. 即 从 对 称 正 交 表 出 发, 经 过 一 系 列 替 换 步 骤 构 造 强 度 为3, 试 验 次 数

6、是2s 3 的 紧 的 非 对 称 正 交 表. 本 文 在 第 三 章 中, 我 们 将 这 种 替 代 法 推 广 到 一 般 形 式, 即 从 正 交 表OA(s m ;n;(s r ) s n 1 ;3) (s = p k , p 是 素 数, k 是 整 数) 出 发, 经 过 一 系 列 替 换 步 骤 得 到 非 对 称 正 交 表OA(ps m ;n;(ps r ) s n 1 ;3), 然 后 将 一 个p k - 水 平 因 子 用 一 些p- 水 平 因 子 替 换, 得 到 一 系 列 非 对 称 正 交 表OA(ps m ;t+u+1;(ps r ) s t p u

7、;3), t, u 是 整 数. 这 种 替 代 法 不 影 响 正 交 表 的 正 交 性. 本 文 主 要 考 虑p = 2, 3 的 情 况, 得 到 一 系 列 新 的 非 对 称 正 交 表, 其 中 有 一 些 结 果 是 紧 的. 本 文 在 最 后 还 讨 论 了 一 个3 k - 水 平 因 子 用3- 水 平 因 子 替 换 的 个 数 问 题. 关 键 词: 非 对 称 正 交 表; 圆 柱 拉 丁 方; 列 互 补 对; 有 限 域; 替 代 法 I _II _Abstract Orthogonal arrays are very important in all ar

8、eas of human investigation, the de_nition is simple, and there are many constructions at the present. But constructing particular orthogonal arraysarestilltopicworthyoffurtherresearchforpracticalapplications. Thispaperusescolumnar Latin squares and replacement method to construct a family of asymmet

9、ric orthogonal arrays of strength three. Nguyen (2008) used Latin squares and started from complementary pairs of grids to construct asymmetricorthogonalarraysOA(96;6 4 2 2 k ;3)(1 k 5)ofstrengththree, wherethearrays with run sizes 96. The second chapter of this paper proposes a concept of the compl

10、ementary column pairs, starts from the complementary column pairs to construct asymmetric orthogonal arrays OA(96; 6 4 2 2 k ;3), k 3. The results of the associated theoretical are more general. On the basis of the arrays, this paper further _nd the existence of a symmetric orthogonal array OA(96;6

11、4 2 2 5 ;3). Suen et al. (2001)proposedareplacementmethodforfactorlevelss,wheresisapoweroftwo. That is to say, they started from a symmetric orthogonal array, through a series of replacement procedures to construct a tight asymmetric orthogonal array of strength three, where the array withrunsizes2s

12、 3 . Inthethirdchapterofthispaper,wefurtherexplorethereplacementmethodto general situations, that is to say, we start from orthogonal arrays OA(s m ;n;(s r ) s n 1 ;3) (s =p k , p is a prime, k is an integer), through a series of replacement procedures to construct asymmetric orthogonalarraysOA(ps m

13、 ;n;(ps r ) s n 1 ;3),thenreplacingafactorwithp k -levelbyseveralp-level factors to construct a family of asymmetric orthogonal arrays OA(ps m ;t+u+1;(ps r ) s t p u ;3), t, u are integers. This replacement method without disturbing the orthogonality of the arrays. This paper mainly aims at the cond

14、itions of p = 2, 3, a new family of asymmetric orthogonal arrays are obtained, some of the obtained are tight. Finally, this paper also discusses the problem of the number of replacing a 3 k -level factor by 3-level factors. Key words: Asymmetric orthogonal arrays; Columnar Latin squares; Complement

15、ary col- umn pairs; Galois _eld; Replacement method III _IV _目 录 摘 要 I Abstract III 第 一 章 引 言 1 第 二 章 利 用 圆 柱 拉 丁 方 构 造 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 3 2.1 预 备 知 识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 圆 柱 拉 丁 方 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16、 . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 利 用 圆 柱 拉 丁 方 构 造 非 对 称 正 交 表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.1 构 造 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2;3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3.2 构 造 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2 2 ;3) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.3.3 构 造 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2 k ;

17、3), k 3 . . . . . . . . . . . . . 10 2.4 本 章 小 结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 第 三 章 利 用 替 代 法 构 造 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 13 3.1 替 代 法 的 相 关 基 础 知 识 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.2 替 代 法 . . . . . . . . . . . . . .

18、 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 利 用 替 代 法 构 造 非 对 称 正 交 表 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3.1 关 于s 是2 的 幂 次 的 替 代 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3.2 关 于s 是 奇 素 数 次 幂 的 替 代 法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

19、9 3.4 讨 论 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5 本 章 小 结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 附 录 一 25 附 录 二 29 参 考 文 献 31 致 谢 33 V _硕 士 期 间 研 究 成 果 35 VI _第 一 章 引 言 试 验 是 人 们 认 识 自 然 、 了 解 自 然 的 重 要

20、手 段, 它 在 农 业 、 工 业 、 生 物 、 医 药 、 现 代 通 讯 等 各 个 学 科 领 域 都 有 十 分 广 泛 的 应 用, 许 多 重 要 的 科 学 规 律 都 是 通 过 科 学 试 验 发 现 和 证 实 的, 所 以 科 学 试 验 是 人 类 赖 以 生 存 和 发 展 的 重 要 手 段. 自 从 英 国 统 计 学 家R. A. Fisher 创 立 试 验 设 计 以 来, 试 验 设 计 已 经 成 为 统 计 学 的 一 个 重 要 分 支. 在 实 际 问 题 中, 经 常 需 要 考 虑 多 于 两 个 因 子 对 响 应 变 量 的 影 响.

21、当 各 个 因 子 的 所 有 水 平 组 合 都 做 同 样 次 数 的 试 验, 这 种 试 验 方 法 称 为 全 面 试 验, 其 设 计 称 为 全 因 析 设 计. 试 验 者 只 能 选 取 全 因 析 设 计 的 一 部 分 来 实 施 试 验, 称 为 部 分 因 析 设 计. 试 验 设 计 的 方 法 各 种 各 样, 比 如 单 因 素 试 验 、 双 因 素 试 验 、 区 组 设 计 、 正 交 试 验 设 计 、 最 优 回 归 设 计 、 均 匀 试 验 设 计 、 计 算 机 试 验 、 混 料 试 验 设 计 等. 在 这 些 试 验 设 计 的 方 法 中

22、, 正 交 试 验 设 计 是 实 际 应 用 中 涉 及 面 最 广 的 一 种 方 法. 在 正 交 试 验 设 计 中, 一 般 利 用 正 交 表 来 进 行 试 验 设 计. 正 交 表 不 仅 在 统 计 上 非 常 重 要, 随 着 对 正 交 表 进 行 不 断 深 入 的 研 究, 它 还 被 用 于 物 理 学 、 编 码 学 、 生 物 学 、 计 算 机 科 学 等. 由 于 正 交 表 的 定 义 简 单 而 自 然, 因 此 它 也 是 十 分 优 美 的. 根 据 正 交 表 中 因 子 的 水 平 数 是 否 相 同, 分 为 对 称 正 交 表 和 非 对 称

23、 正 交 表. 因 为 非 对 称 正 交 表 有 较 大 的 灵 活 性, 允 许 试 验 因 子 具 有 不 同 水 平 数, 所 以 非 对 称 正 交 表 得 到 了 越 来 越 多 的 关 注 和 应 用. Rao1 提 出 了 对 称 正 交 表, Rao2 对 对 称 正 交 表 做 了 一 个 概 括, 并 正 式 提 出 了 非 对 称 正 交 表. 正 交 表 的 构 造 方 法 主 要 有: Hadamard 矩 阵 构 造 、 差 集 构 造 、 拉 丁 方 构 造 、 有 限 域 构 造 、 有 限 几 何 构 造 等. 在 正 交 表 的 构 造 方 面, 国 内

24、外 目 前 已 经 有 了 大 量 的 研 究 工 作. 在 对 称 正 交 表 的 构 造 方 面, 可 以 参 考Cheng3, Bulutoglu 和Cheng4, Dey 和Mukerjee5, Hedayat et al.6 等. 在 非 对 称 正 交 表 的 构 造 方 面, Dey 和Mukerjee5, Hedayat et al.6, 7, Wu et al.8, Dey 和Midha9, Suen 和Kuhfeld10, Chen et al.11 等 对 强 度 为2 的 非 对 称 正 交 表 的 构 造 进 行 了 研 究. Hedayat et al.7 用 水

25、平 组 合 技 术 对 试 验 次 数 为2s k 的 非 对 称 正 交 表 进 行 了 构 造; Wu et al.8 从 饱 和 的 对 称 正 交 表 出 发, 用Grouping 替 换 法 构 造 强 度 为2 的 非 对 称 正 交 表. 由 于 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 的 构 造 比 强 度 为2 的 非 对 称 正 交 表 的 构 造 更 难 、 更 复 杂, 从 而 其 理 论 研 究 发 展 相 对 缓 慢. 但 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 相 比 强 度 为2 的 非 对 称 正 交 表 不 仅 可 以 估 计 因 子 的 主 效 应,

26、还 能 估 计 出 某 些2- 因 子 交 互 效 应. 所 以, 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 比 强 度 为2 的 非 对 称 正 交 表 具 有 更 加 广 阔 的 应 用 范 围. Hedayat et al.6, Nguyen12, 13, Suen et al.14, 15, Jiang 和Yin16, Zhang et al. 17 等 对 强 度 大 于2 的 非 对 称 正 交 表 的 构 造 进 行 了 研 究. Nguyen12, 13 用 代 数 法 和 拉 丁 方 构 造 1 _江 西 师 范 大 学 硕 士 学 位 论 文 出 强 度 为3, 试 验 次

27、 数 是96 和80 的 非 对 称 正 交 表. Suen et al.14 提 出 了 一 种 对 于 任 意 强 度t, 正 交 表 的 试 验 次 数 与 因 子 水 平 数 都 是 素 数 或 素 数 次 幂 时 的 构 造 方 法, 构 造 出 一 系 列 强 度 为3 和4 的 非 对 称 正 交 表, 并 且 还 提 出 了 一 种 因 子 水 平s 是2 的 幂 次 的 替 代 法. 这 些 研 究 方 法 各 种 各 样, 理 论 丰 富, 对 非 对 称 正 交 表 的 发 展 起 到 了 很 大 的 推 动 作 用. 随 着 社 会 的 发 展, 还 有 很 多 非 对

28、 称 正 交 表 的 构 造 问 题 需 要 解 决, 特 别 是 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 的 构 造. Nguyen13 根 据Hamming 距 离 将 网 格 分 为A 类 与B 类. 在 用 拉 丁 方 构 造 非 对 称 正 交 表 中, 他 们 从 互 补 对 网 格 出 发, 仅 考 虑A 类 网 格, 构 造 出 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2 k ;3) (k 5). 本 文 从 以 下 两 个 方 面 进 行 改 进: (1) 从 列 互 补 对 出 发 比 从 互 补 对 网 格 出 发 好 很 多; (2) 综 合 考 虑A 类 与B

29、 类 网 格, 构 造 出 更 多 的 非 同 构 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2 k ;3),k 5. Suen et al.14 从 强 度 为3 的 对 称 正 交 表 出 发, 经 过 一 系 列 替 换 步 骤, 最 后 将 一 个2 k - 水 平 因 子 用 一 些2- 水 平 因 子 替 换, 构 造 出 强 度 为3, 试 验 次 数 是2s 3 的 紧 的 非 对 称 正 交 表. 本 文 从 非 对 称 正 交 表OA(s m ;n;(s r ) s n 1 ;3)(s =p k , p 是 素 数,k 是 整 数) 出 发, 经 过 一 系 列 替 换

30、 步 骤 得 到 非 对 称 正 交 表OA(ps m ;n;(ps r ) s n 1 ;3), 然 后 将 一 个p k - 水 平 因 子 用 一 些p- 水 平 因 子 替 换, 构 造 出 一 系 列 强 度 为3 的 新 的 非 对 称 正 交 表, 且 不 影 响 正 交 表 的 正 交 性. 本 文 具 体 安 排 如 下 ： 第 一 章 介 绍 了 正 交 表 的 研 究 现 状. 第 二 章 研 究 了 利 用 圆 柱 拉 丁 方 构 造 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 的 方 法. 首 先 介 绍 预 备 知 识; 第 二, 介 绍 圆 柱 拉 丁 方 法; 第

31、 三, 运 用 圆 柱 拉 丁 方 构 造 非 对 称 正 交 表; 第 四, 本 章 小 结. 第 三 章 研 究 了 利 用 替 代 法 构 造 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 的 方 法. 首 先 介 绍 替 代 法 的 基 础 知 识; 第 二, 介 绍 替 代 法; 第 三, 运 用 替 代 法 构 造 非 对 称 正 交 表; 第 四, 讨 论 一 个3 k - 水 平 因 子 用3- 水 平 因 子 替 换 的 个 数 问 题; 第 五, 本 章 小 结. 附 录 为 了 方 便 读 者, 在 附 录 一 中 给 出A 类 与B 类 网 格, A 类 与B 类 网 格

32、的 重 叠 网 格 形 成 拉 丁 方 和 圆 柱 拉 丁 方 表 以 及 命 题2.1 条 件(2) 中 剩 余 的 情 况 ； 在 附 录 二 中 列 出 因 子 水 平s 是3 的 幂 次 的 替 代 法 可 增 加 的3- 水 平 因 子 个 数. 2 _第 二 章 利 用 圆 柱 拉 丁 方 构 造 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 x2.1 预 备 知 识 定 义 2.1 (14, 21) 设A 是N n 矩 阵, 它 的 第i 列 的 元 素 由m i ( 2) 个 不 同 元 素 构 成, 如 果A 的 任 何N g 的 子 矩 阵 包 含 所 有 可 能 的1 g 行

33、 向 量, 且 这 些 行 向 量 出 现 的 次 数 相 同, 则 称A 为 强 度g 的 正 交 表, 记 为OA(N;n;m 1 m n ;g). 若m 1 = m 2 = = m n = m, 正 交 表 称 为 对 称 正 交 表, 记 为OA(N;n;m;g), 否 则 称 为 非 对 称 正 交 表. 众 所 周 知, 在 正 交 表OA(N;n;m 1 m n ;3) 中, N 1+ n i=1 (m i 1)+(m 1) n i=1 (m i 1) (m 1) ; (2.1) 其 中m = max 1 i n m i . 若 强 度 为3 的 正 交 表 达 到(2.1) 式

34、 下 界, 称 此 正 交 表 为 紧 的. 在 因 析 设 计 中, 我 们 把OA(N;n;m 1 m n ;g) 中 的 行 称 为 试 验 次 数, 列 称 为 因 子, 这 些 因 子 表 示 为L 1 , L 2 , , L n . 设r 1 r 2 r d 是 正 交 表 的 不 同 因 子 水 平, 若 正 交 表 有b i 个 因 子, 每 个 因 子 都 是r i 水 平, 则 m 1 m 2 m n =r 1 b1 r 2 b2 r d b d 称 为 正 交 表 的 设 计 类 型, 其 中 d i=1 b i =n. 比 如, P = 0 2 1 0 0 3 2 2

35、3 1 1 1 3 0 2 3 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 T 是 一 个4 2 3 的 非 对 称 部 分 因 析 设 计. 通 常, 对 一 个 矩 阵A, A T 表 示 它 的 转 置. x2.2 圆 柱 拉 丁 方 法 拉 丁 方 和 圆 柱 拉 丁 方 对 构 造 正 交 表 非 常 重 要, 下 面 介 绍 它 们 的 定 义 和 性 质. 定 义 2.2 (22) 以1, 2, , n 为 元 素, 而 且 每 行

36、以 及 每 列 中 的 元 素 又 都 互 不 相 同 的n 阶 方 阵, 叫 做 一 个n 阶 拉 丁 方. 定 义 2.3 (13) 以1, 2, , n 为 元 素, 而 且 每 列 中 的 元 素 又 都 互 不 相 同 的n 阶 方 阵, 叫 做 一 个n 阶 圆 柱 拉 丁 方. 很 显 然, 拉 丁 方 一 定 是 圆 柱 拉 丁 方. Nguyen13 提 出 了 一 种 用 拉 丁 方 构 造 试 验 次 数 是96, 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表. 关 于 构 造 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2;3), Nguyen13 运 用 互 补 对 网

37、 格, 本 章 运 用 3 _江 西 师 范 大 学 硕 士 学 位 论 文 列 互 补 对. 关 于 构 造 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2 2 ;3), Nguyen13 的 所 有 可 能 结 果 只 由A 类 网 格 组 成, 本 章 中 非 对 称 正 交 表 的 所 有 可 能 结 果 由A 类 与B 类 网 格 共 同 组 成. 首 先 我 们 来 回 顾 本 章 中 要 用 到 的 知 识13. 设d := OA(16;4 2 ;2) 是4 2 的 全 因 析 设 计. 为 了 避 免 混 淆, 我 们 在 一 个4 4 的 矩 阵 中, 把d 的 试 验 次

38、 数 看 成 是 矩 阵 中 的 位 置, 使 得 矩 阵 中 的 行 对 应 因 子X 的 元 素, 列 对 应 因 子Y 的 元 素, 这 样 的 一 个4 4 矩 阵 称 为 一 个 网 格(grid). 网 格 的 元 素 用f ij 表 示(1 i;j 4), 本 章 中f ij 属 于GF(2) 中 的 元 素. 所 有 网 格 中 每 行 以 及 每 列 元 素0 和1 刚 好 出 现 在 两 个 位 置, 用F 表 示 所 有 这 类 网 格 的 集 合. 对 任 何 网 格f F 是 由4 列 组 成, 每 一 列 必 须 是 下 面 三 个 向 量 之 一: u := 0

39、1 1 0 T , v := 0 1 0 1 T , w := 0 0 1 1 T . 根 据Hamming 距 离, Nguyen 13 从 网 格F 中 分 离 出A 类 与B 类 网 格.A 类 网 格 是 选 择 上 述 三 个 向 量 中 的 一 个 作 为 一 列 并 重 复 一 次, 其 余 两 列 是 它 们 的 互 补 列. 比 如, u|u c |u|u c 是A 类 中 的 一 个 网 格. Nguyen(13,p222,Fig.1) 列 出a 1 到a 9 得 到A 类 网 格, 即A = a 1 ; ;a 9 ;a c 1 ; ;a c 9 (A 类 网 格 附 在

40、附 录 一 中). B 类 网 格 中 的 任 一 网 格 是 选 择 上 述 三 个 向 量 中 的 两 个 作 为 两 列, 其 余 两 列 是 它 们 的 互 补 列. 比 如,u|v|u c |v c 是B 类 中 的 一 个 网 格, 这 一 对 向 量 有24 个 网 格. 因 此, B 类 有 ( 3 2 ) 24 = 72 种 不 相 同 的 同 构 网 格. 在 本 章 中, 由 向 量u,v 构 成 的B 类 网 格 集 合 表 示 为B(u;v) = b 1 ; ;b 12 ;b c 1 ; ;b c 12 . 同 理,B(u;w) 和B(v;w) 定 义 为B(u;w)

41、 = b 13 ; ;b 24 ;b c 13 ; ;b c 24 ,B(v;w) = b 25 ; ;b 36 ;b c 25 ; ;b c 36 .(B 类 网 格 附 在 附 录 一 中). 总 之, 在A 类 与B 类 网 格 中 存 在90 个 网 格. 定 义 2.4 对 任 何 网 格f F, 设f 的 第j 列(1 j 4) 用f(j) 表 示, 则 其 互 补 列f c (j) 定 义 为f c (j) =f(j) 1 (mod2), 其 中 表 示Kronecker 和. f(j) 和f c (j) 称 为 列 互 补 对. 下 面 举 例 解 释 列 互 补 对 的 概

42、念. 例2.1 设f 0 = u|w|u c |w c , f 1 = u c |w|u|w c , 则f 0 (1) = u = 0110 T , f 0 (2) = w = 0011 T , f 0 (3) = u c = 1001 T , f 0 (4) = w c = 1100 T , f 1 (1) = u c = 1001 T , f 1 (2) = w = 0011 T , f 1 (3) = u = 0110 T , f 1 (4) = w c = 1100 T . 因 此, f 0 (1) 和f 1 (1), f 0 (3) 和f 1 (3) 是 两 个 列 互 补 对. 定

43、 义 2.5 (13) 对 任 何 网 格f F, 其 互 补 网 格f c 定 义 为f c = f 1 (mod2), 其 中 表 示Kronecker 和. 定 义 2.6 (13) 设f 与h (f;h F) 是 两 个 网 格, 若 它 们 同 位 置 的 元 素f ij , h ij 重 合, 并 且 将 元 素 对00, 01, 10, 11 分 别 换 成0, 1, 2, 3, 则 得 到 一 个4 4 矩 阵, 此 矩 阵 叫 做f 与h 的 重 叠 网 格. 4 _关 于 强 度 为3 的 非 对 称 正 交 表 构 造 方 法 的 研 究 由f 与h 导 出 的 网 格

44、是f h, f h c , f c h, f c h c , 这 些 导 出 网 格 表 示 为Der(f;h) = f h;f h c ;f c h;f c h c . 重 叠 网 格f h 是 拉 丁 方 当 且 仅 当Der(f;h) 也 是 拉 丁 方13. 这 个 性 质 可 以 推 广 到 圆 柱 拉 丁 方. 引 理 2.1 重 叠 网 格f h 是 圆 柱 拉 丁 方 当 且 仅 当Der(f;h) 也 是 圆 柱 拉 丁 方. 证 明: 对 重 叠 网 格f h 中 的 任 意 元 素i (0 i 3), 在f c h 和f c h c 中, 元 素i 分 别 变 成(i+2

45、) mod 4 和(3 i) mod 4. 另 外, f h c 是f c h 的 互 补 网 格, 也 就 是 说00, 0 f h c 11, 3 f c h 和01, 1 f h c 10, 2 f c h. 又f h 是 圆 柱 拉 丁 方, 则f h 中 每 列 的 元 素 都 互 不 相 同 等 价 于f h c , f c h, f c h c 中 每 列 的 元 素 都 互 不 相 同. 故 重 叠 网 格f h 是 圆 柱 拉 丁 方 当 且 仅 当Der(f;h) 也 是 圆 柱 拉 丁 方. 尽 管B 类 网 格 比A 类 网 格 多, Nguyen13 的 目 的 是

46、找 到 新 的 设 计 方 法 构 造 非 对 称 正 交 表, 因 此 只 考 虑 了A 类 网 格( 没 有 在B 类 网 格 进 行 研 究), 并 用A 类 网 格 的 重 叠 网 格 形 成 拉 丁 方. 本 章 研 究A 类 与B 类 网 格, 发 现 在A 类 与B 类 网 格 中, 它 们 的 重 叠 网 格 有 更 多 的 拉 丁 方 和 圆 柱 拉 丁 方. 这 些 结 果 附 在 附 录 一 中. x2.3 利 用 圆 柱 拉 丁 方 构 造 非 对 称 正 交 表 x2.3.1 构 造 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2;3) 在 本 章 中, 我 们 把

47、 网 格f 看 成 是2- 水 平 因 子V, 比 如, f = 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 ; 则 X|Y|V = 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 T 是 一 个 非 对 称 正 交 表OA(16;4 2 2;2). 通 过 并 置 六 个OA(16;4 2 2;2), 我 们 可 以 构 造 非 对 称 正 交 表OA(96;6 4 2 2;3). 很 显 然, OA(96;6 4 2 2;3) 的 形 式 为 Q 1 = Z|X|Y|V = 0 1 2 3 4 5 d d d d d d f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 T ; (2.2) 其 中, d =OA(16;4 2 ;2), f 0 , , f 5 A B. 为 了 使 因 子X, Y, V 满 足 正 交 性, 需 要 保 证 元 素 对(x;y;0), (x;y;1) 都 出 现 三 次. Nguyen13 得 到 的 结 果 是 当 且 仅 当f 0 , , f 5 形 成 5 _江 西 师 范 大 学 硕 士 学 位 论 文 三 对 互 补 网 格, 即f 3 =f c 0 , f 4