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1、上册第上册第1章二次函数章二次函数1.2二次函数的图象二次函数的图象(第第3课时课时)二次函数二次函数yax2bxc(a0)图象的特征图象的特征例例1已知函数 请回答下列问题：(1)函数图象的对称轴、顶点坐标各是什么？(2)函数的图象可以由怎样的抛物线经过怎样的平移得到？21621,2yxx216212yxx解析：解析：(1)求抛物线顶点和对称轴有两种方法：一是通过配方法求解： 二是通过顶点坐标公式求解：即对称轴是直线x6，顶点坐标为(6，3)(2)由(1)可将抛物线化为 它由抛物线 向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到213636)21(6)3;2x21421 366426,3,1124
2、2422bacbaa 21(6)3,2yx212yxxxxxy12(2121)12(2122答案：答案：(1)对称轴是直线x6，顶点坐标是(6，3)；(2)由 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到反思：反思：学会用配方法或顶点坐标公式把二次函数的一般式化为顶点式212yx系数与图象特征的关系系数与图象特征的关系例例2 2已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，有下列结论：abc0；8ac0；9a3bc0，其中正确结论的个数是()A0个 B1个C2个 D3个解解析：析：由抛物线开口向上，得a0，因为抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上，所以c0，又因为对称轴 所以abc0；当x4时
3、，从图象上看y0，此时16a4bc0，而对称轴 即b2a，将b2a代入上式，得8ac0；由函数图象和对称性，可知当x3时，y0，于是有9a3bc0，故应选D.0,2bxa 1,2bxa 答案答案:D反思：反思：抛物线yax2bxc的开口方向由a的正负决定，对称轴在y轴右侧时，a，b异号；对称轴在y轴左侧时，a，b同号当x1时，yabc；当x1时，yabc；当x2时，y4a2bc；当x4时，y16a4bc；解决此类问题，一定要数形结合，结合图象来处理变式：变式：函数yaxb和yax2bxc在同一直角坐标系内的图象大致是()答案答案:C顶点式：已知抛物线顶点顶点式：已知抛物线顶点(1，2)，可设抛
4、物可设抛物线为线为ya(x1)22；交点式：已知抛物线与交点式：已知抛物线与x轴交点为轴交点为(1，0)，(3，0)可设抛物线为可设抛物线为ya(x1)(x3)；一般式：过任意三点一般式：过任意三点，注意与注意与y轴的交点轴的交点 三种解析式的选取三种解析式的选取例例3 3根据下列条件，求二次函数的表达式(1)图象过A(0，1)、B(1，2)、C(2，1)三点；(2)图象经过A(1，0)、B(0，3)，且对称轴是直线x2；(3)抛物线对称轴为直线x2，顶点在直线yx1上，且过点(3，4)；(4)图象顶点是M(1，16)且与x轴交于两点，已知两交点相距8个单位解析：解析：(1)任意三点，宜选一般
5、式，注意A(0，1)，可得c1，设yax2bx1，代入B、C两点坐标得a2，b3，抛物线解析式为y2x23x1；(2)图象过x轴上一点A(1，0)，且知对称轴为直线x2，根据对称性可得与x轴另一交点坐标(3，0)，可设交点式：ya(x1)(x3)过B(0，3)，得a1，y(x1)(x3)；(3)将x2代入yx1得顶点坐标(2，1)，设ya(x2)21，过点(3，4)可得a3，y3(x2)21；(4)顶点是M(1，16)，可设ya(x1)216，又已知两交点相距8个单位，可得与x轴两交点为(3，0)(5，0)，代入其中一个，可得a1，y(x1)216.答案：答案：(1)y2x23x1；(2)y(
6、x1)(x3)；(3)y3(x2)21；(4)y(x1)216.反思：反思：灵活选用三种解析式，如第(2)小题其他两种也可，第(4)小题也可选交点式变式：变式：如图，抛物线过A(2，0)，B(1，0)和C(0，2)三点(1)求这条抛物线的表达式；(2)在这条抛物线上是否存在点P，使AOP45，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由答案：答案：(1)设抛物线的表达式为yax2bxc.抛物线过A(2，0)，B(1，0)和C(0，2)三点 解得yx2x2.420,0,2,abcabcc1,1,2,abc (2)设存在点P(x，y)使AOP45，由点A在x轴的负半轴上，点O为原点，可知x0.如
7、图，过点P作PMAO于点M，由POA45知，OMPM，当点P在第二象限时，yx.由点P在抛物线上，得xx2x2，解得x (正值舍去)x ，yx ，点P1 222(2,2)当点P在第三象限时，yx，得xx2x2，解得x1 (舍去)，x2 .yx 点P2 存在点P使AOP45，点P的坐标为或 313131(31,31)(31,31)(2,2)例例已知二次函数若把它的图象沿x轴翻折，求所得图象的解析式错解：错解：因为开口方向改变，形状不变，所以所以所得图象解析式为正解：正解：开口方向改变，形状不变原来顶点为 翻折后的顶点为所得图象解析式为：2131.2yxx 1,2a 2131,2yxx1,2a 7(3,),27(3, )2217(3).22yx 错因：错因：翻折后的函数开口方向变，顶点也变，应该用新的顶点坐标下的顶点式求解析式