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1、3.3.3函数的最大函数的最大（小）值与导数（小）值与导数高二数学高二数学 选修选修1-1 第三章第三章 导数及其应用导数及其应用aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习复习:一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f
2、(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称 为为极值极值. 使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6观察下列图形,你能找出函数的极值吗？135( ), ( ), ( )f xf xf x观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。246( ), ( ), ( )f xf xf x 求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤： （1）确定
3、函数的定义域）确定函数的定义域 （2）求函数的导数）求函数的导数f(x) （3）求方程）求方程f(x)=0的根的根 （4）用方程）用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符号，的根左右的符号，来判断来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为
4、求一个大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？与函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个极值是一个局部局部概念，极值只是某个点的函概念，极值只是某个点的函数值与它数值与它附近点附近点的函数值比较是最大或最小的函数值比较是最大或最小, ,并并不意味不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。着它在函数的整个的定义域内最大或最小。知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实数，如果存在实数
5、M满足：满足： 1最大值最大值: : （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2最小值最小值: 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为I，如果存在实，如果存在实数数M满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xI，都有，都有f(x)M; （2）存在）存在x0I，使得，使得f(x0) = M那么，称那么，称M是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b
6、 y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在开区间内在开区间内的连续函数的连续函数不一定有最不一定有最大值与最小大值与最小值值. 在闭区间在闭区间上的连续函上的连续函数必有最大数必有最大值与最小值值与最小值因此：该函数没因此：该函数没有最值。有最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6如何求出函数在如何求出函数在a,b上的最值？上的最值？一般的如果在区间，一般的如果在区间，a,b上函数上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。必有最大值和最小值。 观察右
7、边一个定义在观察右边一个定义在区间区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象：的图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极是极大值，在区间上的函数的最大值是大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值，最小值是是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x) (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处
8、端点处) 比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)； 新授课新授课注意注意:1.在定义域内在定义域内, 最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.求函数的最值时求函数的最值时,应注意以下几点应注意以下几点:(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言而函数的最值
9、是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论是在整体范围内讨论问题问题,是一个整体性的概念是一个整体性的概念.(2)闭区间闭区间a,b上的连续函数一定有最值上的连续函数一定有最值.开区间开区间(a,b)内的内的可导函数不一定有最值可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值但若有唯一的极值,则此极值必是则此极值必是函数的最值函数的最值.(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而而函数的极值则可能不止一个函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值也可能没有极值,并且极大值并且极大值(极小值极小值)不一定就是最大值不一定就是最大值(最小值最小值).题型：
10、求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值 21233,3fxxx 解：1、求出所有导数为、求出所有导数为0的点；的点；2、计算；、计算；3、比较确定最值。、比较确定最值。3( )6123 3f xxx例1:求函数在， 上的最大值与最小值. 0,22fxxx 令解得：或(2)22( 2)10(3)15,( 3)3ffff 又，3( )6 123310.f xxx函数在，上的最大值为22，最小值为例例2:求函数求函数y=x4-2x2+5在区间在区间-2,2上的最大上的最大值与最小值值与最小值.解解:.443xxy 令令 ,解得解得x=-1,0,1.0 y当当x变化时变化时, 的变化情况如
11、下表的变化情况如下表:yy , x-2(-2,-1) -1 (-1,0) 0(0,1) 1 (1,2) 2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13从上表可知从上表可知,最大值是最大值是13,最小值是最小值是4.题型：求函数的最大值和最小值题型：求函数的最大值和最小值练习：练习：函数函数 y = x + 3 x9x在在 4 , 4 上的最大上的最大值为值为 ,最小值为最小值为 .分析分析: (1) 由由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 区间区间4 , 4 端点处的函数值为端点处的函数值为 f (4) =20 , f (4) =76得得x1=3，x2=1 函数值为函数值为f (3)
12、=27, f (1)=576-5当当x变化时，变化时，y 、 y的变化情况如下表：的变化情况如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4y+0-0+0y2027-576比较以上各函数值，比较以上各函数值，可知函数在可知函数在4 , 4 上的最大上的最大值为值为 f (4) =76，最小值为，最小值为 f (1)=5练习：练习：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 12,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 42, 2x54-5422-102-18aa
13、-40典型例题典型例题 322( )262 2371a2( )2 2f xxxaf x例题 ：已知函数在， 上有最小值求实数 的值；求在， 上的最大值。反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 21( )612f xxx解:(）( )002fxxx令解得或( 240,fa 又）40373aa 由已知得解得(2)(1)( )2, 2fx由知在的 最 大 值 为 3.(0),fa(2)8fa 拓展提高拓展提高1、我们知
14、道，如果在闭区间【、我们知道，如果在闭区间【a，b】上函数】上函数y=f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；那么把和最小值；那么把闭区间【闭区间【a，b】换成开区间（】换成开区间（a,b）是否一定有最值呢？是否一定有最值呢？ 如下图：如下图：不一定不一定2、函数、函数f(x)有一个极值点时，极值点必定是最值点。有一个极值点时，极值点必定是最值点。 3、 如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极值点，）上只有一个极值点，那么这个极值点必定是最值点。那么这个极值点必定是最值点。有两个极值点时，函数有无最
15、值情况不定。有两个极值点时，函数有无最值情况不定。21x402fxx3讨论函数（ ）=4x在， 的最值情况。动手试试动手试试2( )1281(21)(61)fxxxxx 1( )( )6f xf最大值没有最小值4、函数、函数y=x3-3x2，在，在2，4上的最大值为（上的最大值为（ )(A) -4 (B) 0 (C) 16 (D) 20C C1. 求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内的极值与最值内的极值与最值 故函数故函数f(x) 在区间在区间1，5内的极小值为内的极小值为3，最大值，最大值为为11，最小值为，最小值为2 解法二解法二:f (x)=2x-4令令f (x)=0
16、，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1，2）2（2，5）5y，0y-+3112选做题：解法一解法一:将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用二次函配方，利用二次函数单调性处理数单调性处理2 2、。1 1求求f(x)xsinxf(x)xsinx在在区区间间00，2 2 上上的的最最值值2 2最最小小值值是是0 0. .是是 , ,函函数数f f( (x x) )的的最最大大值值xxfcos21)(0)( xf34,3221xx )(xf )(xf323423423234322332332解令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0 应用应用( 2009年天津（文）2
17、1T )处的切线的斜率；设函数 其中 ,131223Rxxmxxxf. 0m（1）当 时，求曲线 在点 1m xfy 1, 1 f（2）求函数 的单调区间与极值。 xf答:（1）斜率为1; .1 ,1,1,1内是增函数减函数，在内是，在mmmmxf ;313223mmxf极小 313223mmxf极大(2)（0404浙江文浙江文2121）（本题满分）（本题满分1212分）分）已知已知a a为实数，为实数，（）求导数）求导数 ；（）若）若 ，求，求 在在-2-2，22上的上的最大值和最小值；最大值和最小值；（）若）若 在（在（-，-2-2和和22，+）上）上都是递增的，求都是递增的，求a a的取值范围。的取值范围。)(4()(2axxxf )(xf 0)1( f)(xf)(xf2( )324fxxax12a maxmin9450( 1),( )2327ffff 2( )32402,2fxxax两个根在22a 一一. .是利用函数性质是利用函数性质二二. .是利用不等式是利用不等式三三. .是利用导数是利用导数 求函数最值的一般方法求函数最值的一般方法小结：小结：