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1、探究特殊二次函数四边形存在性问题1如图，抛物线 yx22x3 经过点 A （2，3），与 x 轴负半轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，且OC3OB.(1)求点 B，C 的坐标；(2)若点 D 在 y 轴上，且BDOBAC，求点 D 的坐标；(3)若点 M 为抛物线上一点，点N 在抛物线的对称轴上，是否存在以点A、B、M、N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点M 的坐标，若不存在，请说明理由第 1 题图解：(1)令 x0 得 y3，C(0，3)，OC3，OC3OB，OB1，B(1，0)，把 A(2，3)，B(1，0)分别代入 yax2bx3 得：ab30a1，解得，4a2
2、b33b2抛物线的解析式为 yx22x3；(2)如解图，过点 B 作 BEAC，交 AC 延长线于点 E.第 1 题解图C(0，3)，A(2，3)，ACx 轴，BE3， 1 1 又OB1，AE3，AEBE，BAE45，BDOBAC45，OBOD，D 点的坐标为(0，1)或(0，1)，(3)存在如解图.第 2 题解图当 ABMN 时，由 ABMN3 2，可知点 M 与对称轴的距离为 3，由 yx22x3 可得对称轴为直线 x1，点 M 的横坐标为 4 或2，把 x4 和2 分别代入 yx22x3 可得点 M 坐标，把 x2 代入 yx22x3 得 y4435，M1(2，5)把 x4 代入 yx2
3、2x3 得 y16835，M2(4，5)，当 MN 与 AB 互相平分时，四边形AMBN 是平行四边形，由 ACBN2，可知点 M 与点 C 重合，点 M3坐标为(0，3)，M 的坐标为(2，5)或(0，3)或(4，5)2如图，抛物线顶点 P(1，4)，与 y 轴交于点 C(0，3)，与 x 轴交于点 A，B.(1)求抛物线的解析式；(2)Q 是抛物线上除点 P 外一点，BCQ 与BCP 的面积相等，求点Q 的坐标；(3)若 M，N 为抛物线上两个动点，分别过点M，N 作直线 BC 的垂线段，垂足分别为D，E，是否存在点 M，N 使四边形 MNED 为正方形？如果存在，求正方形MNED 的边长
4、；如果不存在，请说明理由第 2 题图解：(1)设抛物线解析式为：ya(x1)24(a0)抛物线过点 C(0，3)，a43，a1. 2 2 y(x1)24x22x3；(2) 由(1) 得，抛物线的解析式为 yx22x3，令 y0，解得 x11，x23，A(1，0)，B(3，0)，C(0，3)，直线 BC 的解析式为 yx3，SBCPSBCQ，点 P、Q 到 BC 的距离相等当点 P、Q 位于 BC 的同侧时，如解图，过点P 作 PQ BC 交抛物线于 Q ，又P(1，4)，直线 PQ 的解析式为 yx5，yx5，联立2yx 2x3.x11x22解得(舍去)，y14y23Q1(2，3)第 2 题解
5、图当点 P、Q 位于 BC 的异侧时，设抛物线的对称轴交BC 于点 G ，交 x轴于点 H ，G (1，2)，此时点 P、H 到 BC 的距离相等，H (1，0)，PG GH 2，如解图，过点 H 作 Q2Q3BC 交抛物线于点 Q2，Q3.直线 Q2Q3的解析式为yx1，yx1，联立2yx 2x3.3 173 17x x 22解得，1 171 17y y 2212123 171 173 171 17Q2(，)，Q3(，)2222 3 3 3 171 173 171 17综上所述，满足条件的点Q 的坐标为(2，3)或(，)或(，)；2222第 2 题解图(3)存在满足条件的 M，N.如解图，过
6、点 M 作 MFy 轴，过点 N 作 NFx 轴交 MF 于点 F，过点 N 作 NHy 轴交 BC 于点 H.则MNF 与NEH 都是等腰直角三角形设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 MN 的解析式为 yxb.yxb，2yx 2x3，x23x(b3)0.NF2|x1x2|2(x1x2)24x1x2214b.MNF 为等腰直角三角形，MN22NF2428b.直线 MN 与 y 轴交点(0，b)到点 C(0，3)的距离为|b3|，NH2(b3)2，NE2NH，21NE2 (b3)2.2如果四边形 MNED 为正方形，NE2MN2，1428b (b26b9)2b210b750，b115，b25.正方形边长为 MN 428b，MN9 2或 2，正方形 MNED 的边长为 9 2或 2. 4 4