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1、二次函数系数二次函数系数 a a、b b、c c 与图像的关系与图像的关系知识要点知识要点2二次函数 y=ax +bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则 a0；否则 a0（2） b 由对称轴和 a 的符号确定：由对对称轴公式称轴公式 x=x=判断符号判断符号（3） c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交交点在点在 y y 轴正半轴，则轴正半轴，则c c0 0；否则c0（4）b2-4ac 的符号由抛物线与 x 轴交点的个数确定：2 2 个交点，个交点，b b2 2-4ac-4ac0 0；1 1 个交点，个交点， b2-4ac=0b2-4ac=0； 没有交点，没有
2、交点， b b2 2-4ac-4ac0 0（5）当x=1 时，可确定a+b+c 的符号，当 x=-1 时，可确定 a-b+c 的符号（6） 由对称轴公式 x=的符号， 可确定 2a+b5 （2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=1，且过点（3，0）下列说法：abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若（5，y1） ， （2，y2）是抛物线上的两点，则 y1y2其中说法正确的是（）ABCD6 （2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（2m）x+m3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴在 y 轴的右侧，则 m 的取值范围是（）一选择题（共一选择题（
3、共 9 9 小题）小题）1 （2014?威海） 已知二次函数 y=ax2+bx+c （a0）的图象如图，则下列说法：c=0； 该抛物线的对称轴是直线x=1； 2当 x=1 时，y=2a；am +bm+a0（m1） 其中正确的个数是（）123ABC2 （2014?仙游县二模）已知二次函数2y=ax +bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论： a+b+c0； ab+c0； b+2a0；abc0其中所有正确结论的序号是（）ABC3 （2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：a0； c0； b24ac0； 正确的结论有（）A1 个B2
4、个0 中，C3 个4DDD4 个4 （2014?襄城区模拟） 函数 y=x2+bx+c 与 y=x的图象如图，有以下结论：b24c0；cb+1=0；3b+c+6=0；当 1x3 时，x2+（b1）x+c0其中正确结论的个数为（）123ABC4DAm2Bm3Cm37 （2014?玉林一模）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分， 图象过点 A （3， 0） ，对称轴为 x=1给出四个结论：b24ac； 2a+b=0； 3a+c=0； a+b+c=0其中正确结论的个数是（）A1 个B2 个C3 个8 （2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，
5、0） ，顶点坐标为（1，n） ，与y 轴的交点在 （0， 2） 、（0， 3） 之间 （包含端点） 有下列结论：当 x3 时，y0；3a+b0；1a； n4其中正确的是（）ABC9 （2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（1，0） ， （x1，0） ，且 1x12，下列结论正确的个数为（）b0；c0；a+c0；4a2b+c0A1 个B2 个C3 个10 、（ 2011? 重 庆 ） 已 知 抛 物 线y=ax2+bx+c（a0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a0 B、b0 C、c0 D、a+b+c011 、 （
6、 2011? 雅 安 ） 已 知 二 次 函 数y=ax2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果b24ac；abc0；2a+b=0；a+b+c0；a-b+c0，则正确的结论是（）A、 B、 C、 D、12、 （2011?孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象与 y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（ 12，1） ，下列结论：ac0；a+b=0；4ac-b2=4a；a+b+c0其中正确结论的个数是（）A、1 B、2 C、3 D、4答案答案一选择题（共一选择题（共D2m9 9 3小题）小题）1 （2014?威海）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，则下列说法：
7、c=0；该抛物线的对称轴是直线x=1；D4 个当 x=1 时，y=2a；am2+bm+a0（m1） 其中正确的个数是（）A1D B2C3D考二次函数图象与系数的关系点：分由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系， 然后根据对称析： 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断D4 个解解：抛物线与 y 轴交于原点，答： c=0， （故正确） ；该抛物线的对称轴是：，直线 x=1， （故正确） ；（4）当 x=1 时，可以确定y=a+b+c 的值；当 x=1 时，可当 x=1 时，y=a+b+cb+c 的值 对称轴是直线 x=1，3 （2014?南阳二模）二次函数y=ax2+bx+c 的图
8、 b/2a=1，b=2a，象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结又 c=0，论： y=3a， （故错误） ；a0； c0； b24ac0； 0 中，2x=m 对应的函数值为 y=am +bm+c，正确的结论有（）x=1 对应的函数值为 y=ab+c，A1 个B2 个C3 个D4 个又 x=1 时函数取得最小值， ab+cam2+bm+c，即 abam2+bm，考二次函数图象与系数的关系 b=2a，点：2 am+bm+a0（m1） （故正确） 专数形结合故选：C题：2点本题考查了二次函数图象与系数的关系二次函数+bx+c（a0）系分 y=ax由抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线
9、与 y 轴的评： 数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点、抛物线与 x析： 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行轴交点的个数确定对所得结论进行判断2解解： 图象开口向下， a0；故本选项正确；2（2014?仙游县二模） 已知二次函数 y=ax +bx+c答： 该二次函数的图象与y 轴交于正半轴， c0；故本选（a0） 的图象如图所示， 给出以下结论： a+b+c0；ab+c0；b+2a0；abc0其 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个不相同交点中所有正确结论的序号是（）式=b24ac0；故本选项正确；ABCD 对称轴 x=0，0；故本选项
10、正确；考二次函数图象与系数的关系综上所述，正确的结论有4 个点：故选 D专数形结合点本题主要考查了二次函数的图象和性质，解答本题关键是掌题：评： y=ax2+bx+c 系数符号的确定，做题时要注意数形结合思想的分由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符们加强训练即可掌握，属于基础题析： 号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结4 （2014?襄城区模拟）函数y=x2+bx+c 与 y=x论进行判断解解：当 x=1 时，y=a+b+c=0，故错误；的图象如图，有以下结论：b2答： 当 x=1 时，图象与 x 轴交点负半轴明显大于1，4c0；
11、cb+1=0；3b+c+6=0；当 1x3 时，x2+（b1）x+c0 y=ab+c0，其中正确结论的个数为（）故正确；1234ABCD由抛物线的开口向下知a0， 对称轴为 0 x=1，考二次函数图象与系数的关系点： 2a+b0，分由函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点，可得 b24c0；当 x=故正确；析： b+c0；当 x=3 时，y=9+3b+c=3；当 1x3 时，二次函数对称轴为 x=0，a0函数值，可得 x2+bx+cx，继而可求得答案解解： 函数 y=x2+bx+c 与 x 轴无交点， a、b 异号，即 b0，答： b24ac0；由图知抛物线与 y 轴交于正半轴， c0故正
12、确； abc0，当 x=1 时，y=1b+c0，故错误；故错误； 正确结论的序号为 当 x=3 时，y=9+3b+c=3，故选：B 3b+c+6=0；点二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号的确定：正确；评： （1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a0；否则 a0； 当 1x3 时，二次函数值小于一次函数值，（2）b 由对称轴和 a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号； x2+bx+cx，2 x+（bx+c0（3）c 由抛物线与 y 轴的交点确定：交点在 y 轴正半轴，则 c10）；否则故正确c0；故选 C解得 m3，点主要考查图象与二次函数系数之间的关系此题难度适中，注意掌握数
13、 对称轴在 y 轴的右侧，评： 形结合思想的应用 x=，5 （2014?宜城市模拟）如图是二次函数y=ax2+bx+c 图象的一部分，其对称轴为x=1，解得 m2，且过点（3，0）下列说法： 2m3abc0；2ab=0；4a+2b+c0；若故选：D点此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是利用对称（5，y1） ， （2，y2）是抛物线上的两点，则y1评： 图象与 y 轴的交点解决问题y2其中说法正确的是（）7（2014?玉林一模） 如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分，图象过点ABCDA（3，0） ，对称轴为 x=1给出四个结论：考二次函数图象与系数的关系b24ac； 2a+b
14、=0； 3a+c=0； a+b+c=0点：其中正确结论的个数是（分根据抛物线开口方向得到a0，根据抛物线的对称轴得b=2a0，则 2a）A1 个x 轴下方得到B2C3 个D析： b=0，则可对进行判断；根据抛物线与 y 轴的交点在c个0，则 abc0，于是可对进行判断；由于 x=2二次函数图象与系数的关系时，y0，则得到考4a2b+c0，则可对进行判断；通过点（ 点 5， ： y1）和点（2，y2）离对称轴的远近对进行判断分由抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴解解： 抛物线开口向上，析： 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进答： a0，对所得结论进行
15、判断解解： 抛物线的开口方向向下， 抛物线对称轴为直线 x=1，答： a0； b=2a0，则 2ab=0，所以正确； 抛物线与 x 轴有两个交点， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， b24ac0，即 b24ac，正确； c0，由图象可知：对称轴 x=1， abc0，所以正确； x=2 时，y0， 2a=b，2a+b=4a， 4a+2b+c0，所以错误； a0， 点（5，y1）离对称轴要比点（2，y2）离对称轴要远， 2a+b0，错误； 图象过点 A（3，0） ， y1y2，所以正确 9a3b+c=0，2a=b，故选 D29a6a+c=0，c=3a，正确；所以点本题考查了二次函数图象与系数
16、的关系：二次函数y=ax +bx+c（a0） ，时，抛物线向上开抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上，评： 二次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，当a0 c0口；当 a0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数 a 共同决由图象可知：当 x=1定对称轴的位置：当 a 与 b 同号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴左； 当 a时 y=0， a+b+c=0，正确与 b 异号时（即 ab0） ，对称轴在 y 轴右 （简称：左同右异） 抛物线与 y 轴交于（0，c） 抛物线与 x 轴交点个数： =b2故选4acC0 时，抛物点x 轴有考查了二次函数图象与系数的关系，解答本题关键是
17、掌握线与 x 轴有 2 个交点； =b24ac=0 时， 抛物线与1 个交点； =b2评： y=ax2+bx+c（a0）系数符号由抛物线开口方向、对称轴、4ac0 时，抛物线与 x 轴没有交点的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定6 （2014?莆田质检）如图，二次函数y=x2+（28 （2014?乐山市中区模拟）如图，抛物线m）x+m3 的图象交 y 轴于负半轴，对称轴y=ax2+bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） ，顶点坐在 y 轴的右侧，则 m 的取值范围是（）标为（ ， ） ，与Am2Bm3Cm3D12nm3y 轴的交点在 （0， 2） 、（0， 3） 之间 （包含端点） 有考二
18、次函数图象与系数的关系下列结论：点：当 x3 时，y0；m3a+b0；1a分由于二次函数的对称轴在y 轴右侧，根据对称轴的公式即可得到关于n4析： 的不等式，由图象交 y 轴于负半轴也可得到关于；m的不等式，再求两个不等式的公共部分即可得解其中正确的是（）解解： 二次函数 y=x2+（2m）x+m3 的图象交 y 轴于负半轴，AB答： m30，考二次函数图象与系数的关系CD点：考二次函数图象与系数的关系分由抛物线的对称轴为直线x=1，一个交点A（点： 1，0） ，得到另一个交析： 点坐标，利用图象即可对于选项作出判断；分由抛物线的开口方向判断a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的根据抛物线开
19、口方向判定a 的符号，由对称轴方程求得析： 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与b 与 a 的关系x 轴交点情况进行是 b=2a，将其代入（3a+b） ，并判定其符号；对所得结论进行判断解c 的取值范围利用不等解： y=ax2+bx+c（a0）的图象与x 轴交于点（1，根据两根之积 =3，得到 a=，然后根据答：且 1x12，式的性质来求 a 的取值范围； 对称轴在 y 轴的右侧，把顶点坐标代入函数解析式得到n=a+b+c= c， 利用 c 的取值范围可以即：0，求得 n 的取值范围 a02解解： 抛物线 y=ax +bx+c 与 x 轴交于点 A（1，0） b，对称轴直线是0，故正确；答
20、： x=1，显然函数图象与 y 轴交于负半轴， 该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（3，0） ， c0 正确； 根据图示知，当 x3 时，y0 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（故正确； ab+c=0，根据图示知，抛物线开口方向向下，则a0即 a+c=b， b0， 对称轴 x=1， a+c0 正确； b=2a， 二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象与x 轴交于点（ 3a+b=3a2a=a0，即 3a+b00，故错误； 当 x=2 时，y=4a2b+c0， 抛物线与 x 轴的两个交点坐标分别是（1，0） ， （3，0） ，故正确， 13=3，故选 D点主要
21、考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的=3，则 a=评： b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的 抛物线与 y 轴的交点在（0，2） 、 （0，3）之间（包含端点） ， 2c3， 1，即1a故正确；根据题意知，a= b=2a=，=1， n=a+b+c= c 2c3，4， n4故正确综上所述，正确的说法有故选 D点本题考查了二次函数图象与系数的关系 二次函数 y=ax2+bx+c 系数符号评： 由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y 轴的交点抛物线与 x 轴交点的个数确定9 （2014?齐齐哈尔二模）已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与 x 轴交于点（1，0） ， （x1，0） ，且 1x12，下列结论正确的个数为（）b0；c0；a+c0；4a2b+c0A1 个B2 个C3 个D4 个