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1、补讲：导数及其应用（单调性、极值与最值）补讲：导数及其应用（单调性、极值与最值）一选择题：一选择题：(1) 已知函数y f (x)在区间(a,b)内可导， 且x0(a,b)， 则limh0f (x0 h) f (x0 h)()h(A)f (x0)(B)2 f (x0)(C) 2 f (x0)(D)0(2) 函数y xln x在区间 ()(A)(0, )上单调递减(B)( ,)上单调递减(C)(0,)上单调递减(D)(0,)上单调递增321e1e(3) 函数y 2x 3x 12x 5在0,3上的最大值和最小值依次是()(A)12,15(B)5,15(C)5,4(D) 4,1532(4) 已知函数
2、f (x) x ax (a 6)x 1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是 ()(A)1 a 2(B)3 a 6(C)a 3或a 6(D)a 1或a 23(5) 设点P是曲线y x 3x 上的任意一点，P点处切线倾斜角为，则角的取值范围是 ()3222，)(B)(， 32325(C)0,),)(D)0,),)2326(A)32(6) 方程x 6x 9x 10 0的实根个数是 ()(A)3(B)2(C)1(D)0二填空题：二填空题：2(7) 函数f (x) x(x c)在x 2处有极大值，则实数c 32(8) 已知曲线C：y x 3x 2x，直线l：y kx，若l与C相切于点(x0, y0)(
3、x0 0)，则切点坐标是3(9) 函数f (x) x bx(b R)在区间(0,1)上单调递增，且关于x的方程f (x) 0的根都在区间2,2内，则实数b的取值范围是323上有最小值3，则在3， 3上，f (x)的最大值是(10) 已知f (x) x 3x a(aR)在3，三解答题：三解答题：(11) 函数f (x) x 3ax b(a 0)的极大值为 6，极小值为 2，求实数a，b的值.33-1(12) 已知函数f (x) ln(x 1) x. 求函数f (x)的单调区间； 若x 1，证明：11 ln(x 1) x.x 1(13)(全国卷)设 a 为实数,函数f (x) x x x a.32
4、()求f (x)的极值.()当 a 在什么范围内取值时,曲线y f (x)与x轴仅有一个交点.14 ( 全国卷III)用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转 90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?(15) 设x1,x2是函数f (x) 且| x1| | x2| 2.a3b2x x a2x(a 0)的两个极值点，32 证明：0 a 1 证明：|b |4 39 若函数h(x) f (x) 2a(x x1)，证明：当x1 x 2且x1 0时，| h(x) | 4a.16.（山东卷） 已知x 1
5、是函数f (x) mx 3(m1)x nx 1的一个极值点， 其中m,nR,m 0，32（I）求m与n的关系式；3-2（II）求f (x)的单调区间；（III） 当x1 ,函数y f (x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m， 求m的取值范围.时，(全国卷)设 a 为实数,函数f (x) x3 x2 x a.()求f (x)的极值.()当 a 在什么范围内取值时,曲线y f (x)与x轴仅有一个交点.解：(I)f (x)=3x22x1若f (x)=0，则x=1，x=13当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表：111x(，)(，1)1333f (x)+00f (x)极大值极小值15f
6、 (x)的极大值是f ( ) a，极小值是f (1) a1327(1，+)+(II)函数f (x) x3 x2 x a (x 1)2(x 1) a 1由此可知，取足够大的正数时，有f (x)0，取足够小的负数时有f (x)0，所以曲线y=f (x)与x轴至少有一个交点结合f (x)的单调性可知：当f (x)的极大值55即a(它的极小值也小于 0， 因此曲线y=f (x)与x轴仅有一个交点，a0 即a(1，+)时，它的极大值也大于0，因此曲线y=f (x)与x轴仅有一个交点，它在(，1)上。35)(1，+)时，曲线y=f (x)与x轴仅有一个交点。273即a的取值范围是 ,)4( 全国卷 III
7、)用长为 90cm,宽为 48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转当a(,90角,再焊接而成(如图),问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：设容器的高为 x，容器的体积为 V，1 分则 V=（90-2x） （48-2x）x,(0V24)5 分32=4x -276x +4320 xV=12 x2-552x+43207 分（山东卷）已知x 1是函数f (x) mx 3(m1)x nx 1的一个极值点，其中m,nR,m 0， （I）求m与n的关系式；（II）求f (x)的单调区间；（III） 当x1 ,32函数y f (x)的图象上任意一
8、点的切线斜率恒大于3m， 求m的取值范围.时，3-32解(I)f (x) 3mx 6(m1)xn因为x 1是函数f (x)的一个极值点,所以f (1) 0,即3m6(m1) n 0， 所以n 3m62（II）由（I）知，f (x) 3mx 6(m1)x3m6=3m(x1)x12 m当m0时，有112，当x变化时，f (x)与f (x)的变化如下表：m12m21,1m1xf (x)2 ,1m1,0单调递减0调调递减0极小值0单调递增0极大值f (x)故有上表知，当m0时，f (x)在,12 2单调递减，在(1,1)单调递增，在(1,)上单调递减.mm2（III）由已知得f (x) 3m，即mx
9、2(m1)x2 0又m0所以x22222(m1)x 0即x2(m1)x 0,x1,1mmmm12设g(x) x22(1)x，其函数开口向上，由题意知式恒成立，mm22g(1) 012 044所以解之得 m又m0所以 m 0mm33g(1) 01 0即m的取值范围为,0433-4一选择题：一选择题：二填空题：二填空题：BABCCC第五讲答案：第五讲答案：(7)6(8)( , )(9)3,4(10)57三解答题：三解答题：(11)a 1,b 4.3238(14) 解：f (x)ax2bxa2，x1，x2是 f (x)的两个极值点，x1，x2是方程f (x)0 的两个实数根1 分ba0，x1x2a0
10、，x1x2 2 分ab2| x1|x2| x1x2|4a3 分a2b2| x1|x2|2，24a4，a即b24a24a34 分b20，0a15 分23 设 g(a)4a 4a ，2则 g(a)8a12a 4a(23a)6 分2由 g(a)0 及a 00a ，32g(a)0 a1，7 分322得 g(a)在区间（0， ）上是增函数，在区间（ ，1上是减函数，33216g(a)maxg( )8 分3274 3|b|9 分9 x1，x2是方程 f (x)0 的两个实数根，f (x)a(xx1)(xx2)10 分h(x)a(xx1)(xx2)2a(xx1)a(xx1)(xx22)，| xx1| xx22|2| h(x)|a| xx1| xx22|a () 12 分2xx1，| xx1|xx1又 x10，x1x20，x20 x222x2，xx220| xx22|x22x| xx1| xx22|x2x12x x124| h(x)|4a214 分3-5