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1、第六章第六章实实数数6.16.1 平方根平方根一、基础知识1、算数平方根：如果一个正数的平方等于a，那么这个数叫做 a 的算数平方根，记为a。a 叫做被开方数。2、无限不循环小数：小数位数无限，且小数部分不循环的小数。3、平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做 a 的平方根。4、开平方：求一个数的平方根的运算。二、应知应会1、求简单数的平方根。2、估计一个数的算术平方根。3、根据平方根的性质求被开方数的取值。三、方法规律1、0 的算术平方根是 0。2、被开方数越大，对应的算术平方根也越大。3、正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根为 0；负数没有平方根。4、算数平方根的求法：求
2、一个正数的算数平方根就是要找一个正数，使它的平方等于这个数。2nn5、若 a1，则aa，且 a 增大 10 倍，a增大 10 倍；若 a1，则aa;且 a 减小2nn10 倍，a减小 10 倍；即当已知数 a 的小数点向右（或向左）每移动二位时，它的算术平方根 a 的小数点向右（或向左）每移动一位。1 / 10四、题型分析1、求平方根：例：1、求4的算术平方根，易将与计算4混淆。2、求1性。92、（-4）的值，带分数应化为假分数后求值，并注意算术平方根的非负162、利用平方根的性质求值：例：1、求 x 的值：9（3x+2） -64=0，将平方看做整体，求出整体值后开方计算x 的值，注意平方根有
3、两个，应进行分类讨论。2、已知 2a-1 与-a+2 是 m 的平方根，求 m 的值。注意分类讨论。3、若x y 2y2 0，则x=y+13、确定算术平方根的取值范围2例：1、若（x3) 3 x，则 x 的取值范围是？2、若 k90k+1，则 k=3、已知 9+7与 9-7的小数部分分别为 x，y，你能求出 3x+2y 的值吗？试试看。4、设2的整数部分为 a，小数部分为 b，求-16ab-8b 的立方根。2五、拓展应用1、若（-x)=3，则 x=（）；若 x =(2212) ，则 x=（）.72、 判断正误-a 没有平方根（）、3-2的相反数为 2-3（）2 / 10若 a1，则aa（）、平
4、方根是本身的数是1 和 0（）、若x有意义，则x0( )3、化简：（3-）。24、若7.16=2.676，a=26.76，则 a 的值等于。5、满足-2x5的整数 x 是6、下列计算正确的是（）2A4=2 B(9（-9）819 C.36 6 D.-92=97、以下语句及写成式子正确的是（）A.7 是 49 的算术平方根，即49=72 B.7 是（-7） 的算数平方根，即（-7）=72C.7 是 49 的平方根，即49=7 D.7 是 49 的平方根，即49=78、设 x、y 为实数，且 y=4+5- x+x5，则x y的值是（）9、已知：（1-2） =3-22，那么 3-22的平方根是（）。2
5、10、已知：3x6 2y7 ab2006 2006ab，求 x 与 y 的值。211、已知实数 m 满足m2005+|2003-m|-1=m， m-2004 +20 的平方根为12、若方程 xx4=0；则 x = _。13、研究下列算式，你会发现有什么规律？ 请你找出规律，并用公式表示出来。121=4=2；241=9=3；351=16=4；461=25=5；3 / 1014、请你按照下面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式（n 为正整数）。1111111111111-11-12232221612221 112111111-132423 311211y1+z 2=4(x+y+z+9)
6、,求 xyz 的值14、若实数 x,y,z 满足条件x+6.26.2立方根立方根一、基础知识1、立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做 a 的立方根。2、开立方：求一个数的立方根的运算。二、应知应会1、求简单数的立方根。2、估计一个数的立方根。三、方法规律1、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。2、3-a 3a3、被开方数的小数点每向右 （或向左）移动三位，开立方后的结果向相同的方向移动一位。四、拓展应用1、写出满足下列各式规律的一般公式：3223233344 33 43=2；3；3477262663634 / 102、33y1和312x互为相反数，求x的值。y
7、3、一个正方体的体积变为原来的8 倍，它的棱长变为原来的多少倍？体积变为原来的n 倍呢？4、已知 m，n 是有理数，且(5 2)m+(3-25)n+7=0，求 m，n 的值。5、已知 a，b，c 满足等式：3a b+4c=16，且 x=求 x=4a b-3c的取值范围。6.36.3实数实数一、基础知识1、无理数：无限不循环小数。2、实数：有理数和无理数统称实数。3、数 a 的相反数是-a。4、一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。二、应知应会1、表示一个数的相反数、绝对值。2、进行实数的运算。3、数轴上的点与实数对应。4、有理数与无理数的辨别。三、方法
8、规律1、在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时，可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数，再进行计算。2、要求精确度的运算中，计算过程的保留位数应比最终要求的精确度多一位。5 / 103、被开方数大，它的算术平方根也大，立方根大的原数也大。4、无理数的三种形式，开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数。四、题型分析1、化简题：结合数轴，判断正负。2、比较大小：确定 n 次方根的取值范围，熟记常见的方根的近视值，将带方根的项变为其近视值，便于比较。3、计算题：利用法则、定律化简。注意出绝对值、算术平方根时先判断正负，并整体加括号，出括号时注意变号，省略步骤容易出现错误
9、。五、拓展应用1、写出两个和为 1 的无理数。2、已知 a=235，b=，c=，则大小关系是（）。2356.36.3 小结小结一、知识梳理方根无理数实数二、思想归纳1、分类讨论的思想：含绝对值、开方的问题，运用分类思想解题，防止漏解。2、数形结合的思想：把实数与数轴上的点有机结合起来，可形象直观、化难为易。三、方法技巧：实数大小的比较1、差值比较法：差值比较法的基本思路是设a，b 为任意两个实数，先求出a 与 b 的差，再根据当 ab0 时，得到 ab。当 ab0 时，得到 ab。当 ab0，得到 a=b。6 / 10例：比较3 -11与的大小。552、商值比较法：商值比较法的基本思路是设a，
10、b 为任意两个正实数，先求出a 与 b 的商。当aaa1 时，ab；当1 时，ab；当=1 时，a=b。来比较 a 与 b 的大小。bbb3、 倒数比较法： 倒数法的基本思路是设 a， b 为任意两个正实数， 先分别求出 a 与 b 的倒数，再根据当11时，ab。来比较 a 与 b 的大小。ab例：比较20042003与20052004的大小4、平方比较法：平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a0，b0时，可由 a 得到 ab 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例：比较-15与-227的大小。25、估算比较法：估算法的基本是思路是设a，b 为任意两个正实数，先估算出
11、a，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例：比较13 -31与的大小。886、移动因式法：移动因式法的基本是思路是，当a0，b0，若要比较形如ab与 cd的大小，可先把根号外的因数a 与 c 平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。例：比较 27与 33的大小。7、取特值验证法：比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。例：当时 x ，x，21的大小。x8、法则比较法：比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。7 / 109、数轴比较法：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。10、估值比较法：对任意两个正实数a、b，
12、先估算出 a、b 两数的取值范围，再进行比较。例：比较12-5 33与的大小。5311、放缩比较法：把要比较的两个数进行适当的放大或缩小， 使复杂的问题得以简化，来达到比较两个实数的大小的目的。如果ac，cb，那么ab。若通过放缩能够确定两个实数中的一个比某个数小，而另一个恰好比该数大时，可选用此法例：比较10+2 与65-2 的大小。12、根式定义法：该法适用于二次根式和三次根式的大小比较。例：比较13、分子有理化法的大小。例：比较17-4 与 4-15的大小。14、凑整余数法：分数接近整，凑余比较它例：比较910与的大小101115、同母（子）法：分母或子像，比较另一样16、“相同”法：两
13、个数都是幂的形式， 只要把它们化为同底数的幂或同指数的幂就可以比较出大小了。17、规律法18、拆项法四、分析思路1、以概念性质为解题依据，通过逻辑推理方法8 / 10例： 设 a、 b 是两个不相等的有理数， 试判断实数a3是有理数还是无理数， 并说明理由。b3说明：根据“有理数与无理数相乘后仍为无理数”，利用反证法解题。练习：已知 m，n 是有理数，且5 2 m 32 5 n7=0，求 m，n 的值。 2、根据题型及已知条件，确定涉及的概念定理，依据概念定理解题。19932a例：已知 x=4aa 3 3 a3a，求 x 的个位数字。说明：首先通过审题发现，题面是一个多项式的n 次方，其所涉及
14、的相关概念有：分数分母不为 0、平方根被开方数为非负数；按照经验，应先依据上述概念化简多项式，并根据所求结果可知多项式会化简为一个数，然后通过特殊一般的思想，求出最终结果。练习：已知5=a，14=b，则0.063=() 。五、拓展运用1、如图网格中每个小正方形的边长为1，若把阴影部分剪拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）。2、在1,2,32003,2004中，无理数的个数有_个。3、设等式a(xa) a(ya) 两两不相等的实数，求 x+y 的值。xa a y在实数范围内成立，其中 a、x、y 是4、已知 a、 b 为正数， 则下列命题成立的： 若 a+b=2， 则ab1； 若 a+b=3
15、， 则ab若 a+b=6 则ab3；根据以上 3 个命题所提供的规律，若a+6=9，则 ab（）。3；25、已知实数 a 满足1999-a a2000=a，则 a-1999 =（）。26、已知实数 a 满足 a+a23a3=0，那么a1 a1=（）。9 / 107、设 A=6 2，B=5 3则 A、B 中数值较小的是（）。8、在实数范围内解方程 x x 12y=5.28 则 x=，y=。5-x29、使式子有意义的 x 的取值范围是。2 x11=6 则a 的值为。aa10、若 0a1，且 a+11、写出一个只含有字母的代数式，要求：（1）要使此代数式有意义，字母必须取全体实数；（2）此代数式的值恒为负数。12、已知 x、y 是实数，且（x-y+1）2与5x3y3互为相反数，求 x、y 的值。10 / 10