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1、第一讲二次根式运算二次根式运算中考要求内容基本要求略高要求会进行二次根式的化简，会进较高要求二次根式的化简和运算理解二次根式的加、减、乘、除运算行二次根式的混合运算（不要法则求分母有理化）知识点睛一、二次根式概念及化简二次根式的概念：形如a（a 0）的式子叫做二次根式a (a 0)二次根式的基本性质： a 0（a 0） 双重非负性； ( a)2 a（a 0） ； a2 a a (a 0)二、分母有理化分母有理化：分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化互为有理化因式：互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式a b与a b互为有理
2、化因式；分式有理化时，一定要保证有理化因式不为0重、难点1、从二次根式的定义看出，二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，且被开方数必须是非负数2、 二次根式的性质具有双重非负性， 即二次根式a中被开方数非负a0,算术平方根非负3、利用a 0.a2 aa0得到a aa0成立，可以把任意一个非负数或式写成一个数或式的平2方的形式如2 22例题精讲一、二次根式的概念及性质【例【例1 1】 当x时，【巩固】当x取何值时，式子【巩固】【巩固】求代数式x x 1x 2的最小值.【例【例2 2】 若y x 3 3 x 2，求yx的值.【巩固】(人大附中初一第 2 学期期末考试)已知：b 4 3a
3、 2 2 23a 2，求【巩固】【巩固】2x 3 y 2 z 2 2 z在实数范围成立，那么xyz的值是多少？【例【例3 3】 (2007 年成都)已知a 2 (b 5)2 0，那么ab的值为 .1 1【巩固】已知实数a与非零实数x满足等式：x232a x 0.求(a 2)2.xx22 x有意义x2 2x 3x在实数范围内有意义x 211的平方根.ab二、二次根式估算【例【例4 4】 (2007 年旅顺口区中考题)如右图，在数轴上A，B两点之间表示整数的点有个.(2007 年盐城市)估计30的值（）. 在 3 到 4 之间. 在 4 到 5 之间. 在 5 到 6 之间. 在 6 到 7 之间
4、(2007 年安徽)55的整数部分是_.【巩固】【巩固】（2008 浙江温州）估算19 2的值（）A在5和6之间C在7和8之间B在6和7之间D在8和9之间【巩固】若整数a满足a5 2219006624，试确定a的值.三、二次根式比较大小【例【例5 5】 把根号外的因式适当变形后移入根号内：3 6；a 【巩固】把根号外的因式适当变形后移入根号内：(a 3) a 41；(a 3) a 4a【例【例6 6】 比较下列各组中两个数的大小237与332232与【例【例7 7】 (盐城中考)比较大小：a 12 11，b 11 10，则a_b【巩固】已知M 101 100，N 99 98，则M与N的大小关系
5、是（）A.M NB.M NC.M ND.M N【巩固】比较大小：5 3与4 2【例【例8 8】 已知c 1，x c c 1，y c 1c，z c 2 c 1，比较x，y，z的大小.13202已知a 2 1，b 2 2 6，c 6 2，那么a，b，c的大小关系是.A.a b cB.b a cC.c b aD.c b a【巩固】设A2008 2006, B 12007，比较大小：A_B1111【巩固】设r4，b c a rr 1rr 1r【例【例9 9】 比较大小：2 6与3 51r r 1， 则下列各式一定成立的是_Aa b cBb c aCc a bDc b a【巩固】【巩固】比较大小：3 5
6、与4【巩固】比较 2 6与 3 5大小.【例【例1010】设a 10，b 7 1，c 3 2，则a,b,c的大小关系是（）A.a b cB.b c aC.c a bD.b a c【例【例1111】比较下列二次根式的大小：【巩固】【巩固】比较下列二次根式的大小：【例【例1212】已知a ，则a,b,c的大小关系是（）bcacabA.a b cB.a b cC.b c aD.c a bb c 111a 4a 5a 5a 6214 10与63与【补充】正实数a，b，c，d满足a bc d 1，设p 3a 13b 13c 13d 1则（） A.p 5B.p 5C.p 5D.p与5的大小关系不确定四、二
7、次根式中的配方思想【例【例1313】已知实数x，y，z满足4x 4y 1 【巩固】【巩固】已知实数a，b，c满足112y z z2 z 0，求(y z)x2的值.341a b 2bc c22c 1 0，求a(b c)2【例【例1414】已知正数a和b，有下列命题：若ab 2，则ab 1；若a b 3，则ab 3；2若ab 6，则ab 3.根据以上三个命题所提供的规律，猜想若ab 9，则ab .ab n，则ab ，并式证明上式成立.【巩固】已知非零实数a、b满足等式【例【例1515】若正数m，n满足m 4 mn 2 m 4 n 4n 3，求【补充】已知正数a，b，且满足a 1b2b 1 a21，
8、求证：a2b21m 2 n 8m 2 n 2002b aba542的值.，求ababba3b 2 a1【例【例1616】已知x y 1z 2 (x y z)，求x、y、z的值2【巩固】设a b c 3 2【巩固】如果实数a，b，c满足a 2b 2，且ab a321c 0，求c的值.b24a b 1c 1，求代数式a2b2c2的值【巩固】设a,b,c是实数，若a b c 2 a 1 4 b 1 6 c 2 14，则2bc=_.五、双（多）重二次根式双重二次根式：形如32，二次根式的被开方数（式）中含有二次根式的式子叫双重二次根式多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫
9、多重二次根式双（多）重二次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法【例【例1717】化简：5 2 69 4 5【例【例1818】计算14 6 5 14 6 5的值.【巩固】化简：6 35 6351【巩固】若a表示实数a的整数部分，则等于（）166 7A.1B.2C.3D.4.【例【例1919】计算3 2 2 5 2 6 7 2 12 9 2 20 11 2 30 13 2 42 15 2 56 17 2 72【例【例2020】若正整数a、m、n满足a2 4 2 m n，则a、m、n的值依次是_【巩固】设M ，x，y均为正整数，且M 28 x y，则x y M的值是 .六、无理方程【例【例
10、2121】解方程：x 8 5x 20 2【巩固】解方程：2x 1x 3 2 x【例【例2222】解方程x 22 212x 2【巩固】无理方程2x215x 2x215x 1998 18的解是_家庭作业2a b2a b1 1若a2b2 4a 2b 5 0，求的值.2 2如果a b2 a 14 b2 3 c 3 c5那么a bc的值是（）2A.6B.9C.20D.243 3代数式863 863=_.4 4已知25 x2 15 x2 2则25 x2 15 x2的值为（） 5 5(2007 年江西省)在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是(2007 年河南省)已知x为整数，且满足 2 x 3
11、，则x (2007 淄博市)估计88的大小应( )A.在 9.19.2 之间B.在 9.29.3 之间C.在 9.39.4 之间D.在 9.49.5 之间6 6比较2003 2001与2002 2000的大小.7 7比较大小： 5 2与238 8试比较5 15 1与7 37 3的大小11 431211 124321 3的值是（）已知x xx2 1 8，则=x若x 13x 1 0,则x x当x 244的个位数字是( )1 199432001时，多项式(4x 1997x 1994)的值为( )2211已知是方程x x 0的根，则5的值等于_。43242m 5 1，那么m计 算1的整数部分是_。m的 值 是 () .111122 33 41= .2003 20047x2+9x+13+ 7x25x+13=7x，则x设 r4，a1r1111，c，b，则下列各式一定成立的是。r+1r( r+ r+1)rr+1A、abc B、bcaC、cabD、cba解方程组3x 13y 1 2x y 26（3 1）20052（3 1）20042（3 1）2003+2005=_.