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1、初中数学应用型初中数学应用型综合问题综合问题(第二讲）第二讲）应用型综合问题代数知识的应用代数知识的应用几何知识的应用几何知识的应用1 1、数与式的应用、数与式的应用2 2、方程、方程( (组组) )的应用的应用3 3、不等式、不等式( (组组) )的应用的应用4 4、函数的应用、函数的应用平行线分线段成比平行线分线段成比例，相似三角形的例，相似三角形的性质，勾股定理，性质，勾股定理，三角函数及圆三角函数及圆例例1：公路上有：公路上有A、B、C三站，一辆汽车三站，一辆汽车在上午在上午8时从离时从离A站站10千米的千米的P地出发向地出发向C站匀速前进，站匀速前进，15分钟后离分钟后离A站站20千
2、米。千米。(1)设出发设出发x小时后，汽车离小时后，汽车离A站站y千米，写千米，写出出y与与x之间的函数关系式。之间的函数关系式。(2)当汽车行驶到离当汽车行驶到离A站站150千米的千米的B站时，站时，接到通知要在中午接到通知要在中午12点前赶到离点前赶到离B站站30千千米的米的C站，汽车若按原速能否按时到达？站，汽车若按原速能否按时到达？若能是在几点几分，若不能，车速最少若能是在几点几分，若不能，车速最少应提高到多少？应提高到多少？分析：根据已知可确定车速为分析：根据已知可确定车速为40千米千米/时，故（时，故（1）便可解决：）便可解决：y=40 x+10,由已知可知从由已知可知从P地到地到
3、C站，须在站，须在4小小时内走完，而实际这段路程需时内走完，而实际这段路程需4.25小小时，所以按原速度不能按时到达；时，所以按原速度不能按时到达；从从P地到地到B站，用去时间站，用去时间3.5小时，故小时，故剩下的剩下的30千米，必须在千米，必须在0.5小时内走小时内走完。完。解解: (1)y=40 x+10 (2)当当y=150+30=180(千米）时，千米）时， 则汽车按原速不能按时到达。则汽车按原速不能按时到达。 当当y=150（千米）时，（千米）时，设提速后车速为设提速后车速为v,则则(12-8)-3.5v=30 v=60（千米（千米/时）时）答：车速应至少提高到答：车速应至少提高到
4、60千米千米/时，才能在时，才能在12点点前到达前到达C站。站。)(25. 44010小时小时 yx)(5 . 34010150小时小时 x例例2：某商场计划投入一笔资金采购一：某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市场调查发现，批紧俏商品，经过市场调查发现，如月初出售，可获利如月初出售，可获利15%，并可用，并可用本和利再投资其它商品，到月末又本和利再投资其它商品，到月末又可获利可获利10%；如果月末出售可获利；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用，但要付出仓储费用700元，请元，请问根据商场的资金状况，如何购销问根据商场的资金状况，如何购销获利较多？为什么？获利较多？为什么？分
5、析：设此商场的投资为分析：设此商场的投资为x元，元， 月初出售月初出售 可获利两次，可获利两次， 分别为分别为15x%，(15%x+x)10% 故月初出售可获利为故月初出售可获利为 15x%+(15%x+x)10%月末出售可获利一次，为月末出售可获利一次，为 30%x-700解：设商场投资解：设商场投资x元，月初售，月末元，月初售，月末获利为获利为y1元，月末售，获利为元，月末售，获利为y2元元 故故y1=15%x+(15%x+x) 10% =0.265x y2=30%x-700=0.3x-700 y1-y2=-0.035(x-20000)当当xy2当当x=20000时，时，y1=y2当当x2
6、0000时，时，y1y2答：当资金少于答：当资金少于2万元时，月初出售获利多，万元时，月初出售获利多，当资金等于当资金等于2万元时，月初、月末出售获万元时，月初、月末出售获利一样多，当资金多于利一样多，当资金多于2万元时，月末出万元时，月末出售获利多。售获利多。总结：此题在比较的大小时，我选用总结：此题在比较的大小时，我选用的是比差法，同学们在做这一步时的是比差法，同学们在做这一步时也可以借助一次函数的图象来完成。也可以借助一次函数的图象来完成。例例3：一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路：一骑自行车者和一骑摩托车者沿相同路线由甲地到乙地，行驶过程的函数图象如图，线由甲地到乙地，行驶过程的函数图
7、象如图，两地间的距离是两地间的距离是80千米，请你根据图象解决千米，请你根据图象解决下面的问题：下面的问题：（1）谁出发较早？早）谁出发较早？早多长时间？谁到达乙多长时间？谁到达乙地较早，早到多长时地较早，早到多长时间？间？（2）两人在途中行驶）两人在途中行驶的速度分别是多少？的速度分别是多少？（3）请你分别求出表）请你分别求出表示自行车和摩托车行示自行车和摩托车行驶过程的函数解析式。驶过程的函数解析式。（4）指出在什么时）指出在什么时间段内两车均行驶间段内两车均行驶在途中（不包括端在途中（不包括端点）；在这一时间点）；在这一时间段内，请你分别按段内，请你分别按 下列条件列出关于时间下列条件列
8、出关于时间x的方程或不等式的方程或不等式（不要化简也不要求解）；（不要化简也不要求解）；自行车行驶自行车行驶在摩托车前面；在摩托车前面；自行车与摩托车相遇；自行车与摩托车相遇；自行车行驶在摩托车后面自行车行驶在摩托车后面。解：解：（1）由图可以看出：）由图可以看出： 自行车出发较早，自行车出发较早， 早早3个小时；摩托车个小时；摩托车 到达乙地较早，到达乙地较早， 早早3个小时。个小时。 （2）对自行车而言：行驶）对自行车而言：行驶80千米耗时千米耗时8小小时，故速度为时，故速度为(80 8）=10（千米（千米/时）时） 对摩托车而言：行驶对摩托车而言：行驶80千米耗时千米耗时2小时，小时，故
9、速度为故速度为802=40（千米（千米/时）时）（3 3）设：表示自行车行驶过程的函数）设：表示自行车行驶过程的函数解析式为解析式为y=kxy=kx 当当x=8x=8时，时， y=80 y=80 80=8k 80=8k k=10 k=10所以所以 表示自行车行驶表示自行车行驶过程的函数的解析式过程的函数的解析式为为y=10 xy=10 x 设表示摩托车行驶过程的函数的解析式为设表示摩托车行驶过程的函数的解析式为y=ax+by=ax+b 当当x=3x=3时，时，y=0y=0；x=5x=5时，时，y=80y=80 0=3a+b 0=3a+b 80=5a+b 80=5a+b解得：解得： a=40a=
10、40 b= b=120120表示摩托车行驶过程的函数解析式为表示摩托车行驶过程的函数解析式为：y=40 x120 (4)在在3x40 x120, 两车相遇：两车相遇：10 x=40 x120 自行车在摩托车后面：自行车在摩托车后面：10 x500 x500答：不改变方向，输水线路不会穿过居民区答：不改变方向，输水线路不会穿过居民区。 例例7 7 （天津市（天津市 20012001年）台年）台风是一种自然灾害，它以风是一种自然灾害，它以台风中心在周围数十千米台风中心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观极强的破坏力，据气象观测（如图）距沿海某城市测（如图
11、）距沿海某城市A A的正南方向的正南方向220220千米千米B B处有处有一台风中心，其中心最大一台风中心，其中心最大 风力为风力为12 12 级，每远离台风中心级，每远离台风中心2020千米，风力就会千米，风力就会减弱一级。该台风中心现正以减弱一级。该台风中心现正以1515千米千米/ /时的速度沿时的速度沿北偏东北偏东3030方向往方向往C C移动，且台风中心风力不变，若移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。城市所受风力达到或超过四级，则称为受台风影响。（1 1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由。）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由。（2 2
12、） 若会受到台风影响，那么台风影响该城市的若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？持续时间有多长？（3 3）该城市受到台风影响的最大风力为几级）该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 解:(1)(1)如图，由点如图，由点A A作作ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，AB=220,B=30AB=220,B=300 0AD=110(AD=110(千米千米) )由题意，当由题意，当A A点距台风中心不超过点距台风中心不超过160160千米千米时，将会受到影响，故该城市受到这次时，将会受到影响，故该城市受到这次台风的影响。台风的影响。解:(2)(2) 由题意，当由题意，当A A点距台风
13、中心不超过点距台风中心不超过160160千米时，将会受到影响，则千米时，将会受到影响，则AE=AF=160AE=AF=160，当台风中心从，当台风中心从E E处移到处移到F F处时，处时，该城市都会受到这次台风的影响。该城市都会受到这次台风的影响。由勾股定理得：由勾股定理得： DE=AEDE=AE2 2-AD-AD2 2=160=1602 2-110-1102 2 =270 =27050=301550=3015EF=6015EF=6015该台风中心以该台风中心以1515千米千米/ /时的速度移动时的速度移动这次台风影响该城市的持续时间为这次台风影响该城市的持续时间为小时小时154151560
14、(3)(3)当台风中心位于当台风中心位于D D处时，处时，A A市所受这市所受这次台风的风力最大，其最大风力为次台风的风力最大，其最大风力为级级5 . 62011012 例例8 有一圆弧形桥拱，水面有一圆弧形桥拱，水面AB宽宽32米，米，当水面上升当水面上升4米后水面米后水面CD宽宽24米，米，此时上游洪水以每小时此时上游洪水以每小时0.25米的速度米的速度上升，再通过几小时，洪水将会漫上升，再通过几小时，洪水将会漫过桥面？过桥面？解：过圆心解：过圆心O作作OEAB于于E，延长后交，延长后交CD于于F，交，交CD于于H，设，设OE=x，连结，连结OB，OD，由勾股定理得，由勾股定理得 OB2=x2+162OD2=(x+4)2+122 X2+162=(x+4)2+122X=12OB=20FH=440.25=16（小时）（小时）答：再过答：再过16小时，洪水将会漫过桥面。小时，洪水将会漫过桥面。