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1、17.1 勾股定理(第2课时)1.1.能能利用勾股定理解决实际问题利用勾股定理解决实际问题. .2.2.理解立体图形中两点距离最短问题理解立体图形中两点距离最短问题. .勾股定理：勾股定理：直角三角形两直角边长的直角三角形两直角边长的平方和等于斜边长的平方平方和等于斜边长的平方abcABC如果在如果在Rt ABC中，中，C=90,那么那么222.abcc2 = a2 + b2abcABC（1 1）求出下列直角三角形中未知的边）求出下列直角三角形中未知的边610ACB8A15CB练练 习习302245回答：回答：在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？在解决上述问题时，每个直角三角形需知
2、道几个条件？直角三角形哪条边最长？直角三角形哪条边最长？（2）在长方形）在长方形ABCD中，宽中，宽AB为为1 m，长，长BC为为2 m ，求求AC长长1 m2 mACBD 2222125 mACABBC在在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定理可知：由勾股定理可知：一个门框尺寸如图所示一个门框尺寸如图所示若有一块长若有一块长3米，宽米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？米的薄木板，问怎样从门框通过？若薄木板长若薄木板长3米，宽米，宽1.5米呢？米呢？若薄木板长若薄木板长3米，宽米，宽2.2米呢？为什么？米呢？为什么？ABC1 m2 m木板的宽木板的宽2.2米大于米大于1米，米， 横着不
3、能从门框通过；横着不能从门框通过；木板的宽木板的宽2.2米大于米大于2米，米，竖着也不能从门框通过竖着也不能从门框通过 只能试试斜着能否通过，只能试试斜着能否通过，对角线对角线AC的长最大，因此需的长最大，因此需要求出要求出AC的长，怎样求呢？的长，怎样求呢？例例1:有一个边长为有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）果保留整数）50dmABCD2222ACABBC5050500071(dm) 解：解：在在Rt ABC中，中，B=90, AB=BC=50dm,由勾股定理可知
4、：由勾股定理可知：【活动】 如图，池塘边有两点如图，池塘边有两点A,BA,B，点，点C C是与是与BABA方向成直角方向成直角的的ACAC方向上的一点，测得方向上的一点，测得CB= 60mCB= 60m，AC= 20m AC= 20m ，你，你能求出能求出A,BA,B两点间的距离吗？（结果保留整数）两点间的距离吗？（结果保留整数）例例2 2：一个一个2.5m2.5m长的梯子长的梯子ABAB斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙ACAC上，这时上，这时ACAC的的距离为距离为2.4m2.4m如果梯子顶端如果梯子顶端A A沿墙下滑沿墙下滑0.4m0.4m，那么梯子底端，那么梯子底端B B也也外移外移0.
5、4m0.4m吗？吗？ ABCDE解：在解：在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90, , AC AC2 2+ BC+ BC2 2ABAB2 2，即，即 2.4 2.42 2+ BC+ BC2 22.52.52 2， BC BC0.7m.0.7m.由题意得：由题意得：DEDEABAB2.5m2.5m，DCDCACACADAD2.42.40.40.42(m).2(m).在在RtRtDCEDCE中，中，DCE=90DCE=90, , DC DC2 2+ CE+ CE2 2DEDE2 2 ，即，即2 22 2+ CE+ CE2 22.52.52 2, ,CECE1.5m, BE1.5m
6、, BE1.51.50.70.70.8m0.4m.0.8m0.4m.答：梯子底端答：梯子底端B B不是外移不是外移0.4m.0.4m.练习练习:如图，一个如图，一个3米长的梯子米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙，斜着靠在竖直的墙AO上，这时上，这时AO的距离为的距离为2.5米米求梯子的底端求梯子的底端B距墙角距墙角O多少米？多少米？如果梯子的顶端如果梯子的顶端A沿墙角下滑沿墙角下滑0.5米至米至C，请同学们请同学们:猜一猜，底端也将滑动猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？米吗？算一算，底端滑动的距离近似值算一算，底端滑动的距离近似值是多少是多少? （结果保留两位小数）（结果保留两位小数）例例3：如图
7、，铁路上如图，铁路上A A，B B两点相距两点相距25km25km，C C，D D为两村，为两村，DAABDAAB于于A A，CBABCBAB于于B B，已知，已知DA=15km,CB=10kmDA=15km,CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路ABAB上建一个土特上建一个土特产品收购站产品收购站E E，使得，使得C C，D D两村到两村到E E站的距离相等，则站的距离相等，则E E站应建在离站应建在离A A站站多少多少kmkm处？处？CAEBDx25-x解：设解：设AE= x kmAE= x km，根据勾股定理，得根据勾股定理，得 ADAD2 2+AE+AE2 2=DE=DE2 2 B
8、C BC2 2+BE+BE2 2=CE=CE2 2又又 DE=CEDE=CE AD AD2 2+AE+AE2 2= BC= BC2 2+BE+BE2 2即：即：15152 2+x+x2 2=10=102 2+ +（25-x)25-x)2 2答：答：E E站应建在离站应建在离A A站站10km10km处。处。 X=10 X=10则则 BE=BE=（25-x25-x）kmkm1510例例4:4:在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术九章算术中记载了一道有趣的问题中记载了一道有趣的问题. .这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为1010尺的正方
9、形尺的正方形, ,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 1尺，如果把这根芦尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少尺？和这根芦苇的长度各是多少尺？DABC解解: :设水池的深度设水池的深度ACAC为为X X尺尺, ,则芦苇高则芦苇高ADAD为为 (X+1)(X+1)尺尺. .根据题意得根据题意得: :BCBC2 2+AC+AC2 2=AB=AB2 2552 2+X+X2 2 =(X+1) =(X+1)2 225+X25+X2 2=X=X2
10、 2+2X+1+2X+1 X=12 X=12 X+1=12+1=13(X+1=12+1=13(尺尺) )答答: :水池的深度为水池的深度为1212尺尺, ,芦苇的长度为芦苇的长度为1313尺尺. .例例5:5:矩形矩形ABCDABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，已知处，已知AB=8AB=8，BC=10BC=10，求折痕，求折痕AEAE的长的长. .ABCDFE解解: :设设DEDE为为X,X,X(8- X)(8- X)则则CECE为为 (8(8X).X).由题意可知由题意可知:EF=DE=X,:EF=DE=X,XAF=AD=10.AF=AD=10
11、.10108 B=90 B=90， AB AB2 2+ BF+ BF2 2AFAF2 2，即即8 82 2+ BF+ BF2 210102 2， BF BF6 6，CFCFBCBCBFBF10106 64.4. C=90 C=90， CE CE2 2+CF+CF2 2EFEF2 2，(8(8 X)X)2 2+4+42 2=X=X2 2，64 64 16X+X16X+X2 2+16=X+16=X2 2，80 80 16X=016X=0，16X=8016X=80X=5X=5在在RtRt ADE ADE中，中，D=90D=90，AEAE2 2=AD=AD2 2+DE+DE2 2，AEAE2 2=10
12、=102 2+5+52 2=125,=125,AE=AE=125=55.例例6 6： 如图，棱长为如图，棱长为1 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点的正方体中，一只蚂蚁从顶点A A出出发沿着正方体的外表面爬到顶点发沿着正方体的外表面爬到顶点B B的最短距离是（的最短距离是（ ）. .A.3 B. C.2 D.1A.3 B. C.2 D.1ABABC21分析：分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，故需把正方体展开成平面图形（如图）故需把正方体展开成平面图形（如图）. .B5【活动】（1 1）如图，分别以）如图，分别以RtRt ABCABC三边为边三边为边向外作三个
13、正方形，其面积分别用向外作三个正方形，其面积分别用S S1 1，S S2 2，S S3 3表示，容易得出表示，容易得出S S1 1，S S2 2，S S3 3之间的关系为之间的关系为 123SSS（2 2）变式：你还能求出）变式：你还能求出S S1 1，S S2 2，S S3 3之间的关系式之间的关系式吗？吗？S1S2S31 1在在RtRtABCABC中中, , C=90C=90, ,(1)(1)已知已知: : a=5, b=12, a=5, b=12, 求求c.c.(2)(2)已知已知: : b=6,c=10 , b=6,c=10 , 求求a.a.(3)(3)已知已知: : a=7, c=2
14、5, a=7, c=25, 求求b b. .2.2.一直角三角形的一直角边长为一直角三角形的一直角边长为7, 7, 另两条边长为两个连另两条边长为两个连续整数，求这个直角三角形的周长续整数，求这个直角三角形的周长3.3.如图，受台风影响，一棵树在离地面如图，受台风影响，一棵树在离地面4 4米处断裂，树米处断裂，树的顶部落在离树跟底部的顶部落在离树跟底部3 3米处，这棵树折断前有多米处，这棵树折断前有多高？高？4米米3米米94.4.一架长为一架长为5 5的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距离墙的底端为离墙的底端为3 3，若梯子顶端下滑了，若梯子
15、顶端下滑了1,1,则梯子底端将外移则梯子底端将外移_._.5.5.如图，要在高为如图，要在高为3m,3m,斜坡为斜坡为5m5m的楼梯表面铺的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需地毯，地毯的长度至少需_m_m6.6.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的的3 3倍，则其斜边（倍，则其斜边（ ）A.A.不变不变 B.B.扩大到原来的扩大到原来的3 3倍倍C.C.扩大到原来的扩大到原来的9 9倍倍 D.D.减小到原来的减小到原来的1/31/3A AB BC C1 17 7B B7 7在一棵树的在一棵树的1010米高处有两只猴子，一只猴子爬下米高处有两只猴子，一只猴子爬
16、下树走到离树树走到离树2020米处的池塘的米处的池塘的A A处处. .另一只爬到树顶另一只爬到树顶D D后后直接跃到直接跃到A A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高过的距离相等，则这棵树高_米。米。 15158.8.小东拿着一根长竹竿进一个宽为小东拿着一根长竹竿进一个宽为3 3米的城门，他先横着拿不进米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1 1米，当他把竹竿斜着时，米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？解解: :设竹竿长设竹竿长X X米米, ,则城门高为则城门高为 (X(X1)1)米米. .根据题意得根据题意得: :3 32 2+ (X+ (X1) 1) 2 2 =X =X2 29+X9+X2 2 2X+1=X2X+1=X2 210 10 2X=02X=02X=102X=10X=5X=5答答: :竹竿长竹竿长5 5米米. .本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用, ,关关键是将实际问题转化为数学问题键是将实际问题转化为数学问题, ,再用勾股定理再用勾股定理等知识来解答等知识来解答. .