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1、11.2 三角形全等的判定三角形全等的判定(三三)1.什么叫做全等三角形什么叫做全等三角形?2.全等三角形有什么性质全等三角形有什么性质?ACBACB3.我们学过全等三角形的哪几种判我们学过全等三角形的哪几种判定方法定方法? 分别是什么？分别是什么？ 有三边对应相等的两个三角形全等(SSS)。边边边： 有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。边角边：如果知道两个三角形的如果知道两个三角形的两个角两个角及及一条边一条边分分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？别对应相等，这两个三角形一定全等吗？这时应该有几种不同的情况？这时应该有几种不同的情况？（1）两个角及两角的夹边；）两个角及两角
2、的夹边；（2）两个角及其中一角的对边）两个角及其中一角的对边两个三角形ABC和A/B/C/，满足AB=A/B/，A=A/，B=B/ ，这两个三角形全等吗？两角夹边两角夹边CABCAB三角形全等的判定公理（三）角边角公理三角形全等的判定公理（三）角边角公理如果两个三角形的两个角及其夹边分别如果两个三角形的两个角及其夹边分别对对应应相等，那么这两个三角形全等。相等，那么这两个三角形全等。在在ABC和和 ABC中中A= AAB= ABB= BABC ABC(ASA)ACBACB(ASA)符号语言如果两个三角形有两个角和其中一如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这个角的对边分别对
3、应相等，那么这两个三角形是否全等两个三角形是否全等?ACBACB两角及其中一角的对边两角及其中一角的对边三角形全等的判定定理（四）角角边三角形全等的判定定理（四）角角边如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边如果两个三角形的两个角及其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等分别对应相等，那么这两个三角形全等.在在ABC和和 ABC中中A= ABC= BCB= BABC ABC(AAS)ACBACB(AAS)符号语言（ASA）（AAS）例例1 如图，如图，AB、CD相交于相交于O，且，且O是是AB的的中点，中点，A=B，证明：，证明：AOC BOD.ABCDO12例例2 如图，在如图，在
4、ABC 中中 ，B=C，AD是是BAC的角平分线，求证：的角平分线，求证：AB=AC.证明证明: AD是是BAC的角平分线的角平分线 12 （角平分线定义）（角平分线定义） 在在ABD与与ACD中中 1= 2 （已证）（已证） B=C （已知）（已知） AD=AD （公共边）（公共边） ABD ACD（AAS） AB=AC（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）1 2ABCD1 2ABCD例例3 如图，如图，1=2，3=4 求证：求证：AC=AD多种方法多种方法56例例4 如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，ACBC，BECE于于E，ADCE于于D，求证求证：（：（1）BEC C
5、DA， （2）BEEDAD.123例例5 如图，如图，ABC中，中，BAC=90，AB=AC， 直线直线MN过点过点A，BDMN于于D，CEMN 于于E。求证：。求证：BDCE=DE。NMEDCBA1321.如图，已知如图，已知AB=DE， A =D，B=E，则，则ABC DEF的理由是：的理由是：2.如图，已知如图，已知AB=DE ，A=D，C=F，则，则ABC DEF的理由是：的理由是：ABCDEF A=D, B=F, _; A=D, AB=DE, _; 3.要使下列各对三角形全等，需要增加什么要使下列各对三角形全等，需要增加什么条件，并指出相应的依据。条件，并指出相应的依据。（1） （2
6、）4.如图，如图，ABC=DCB，试添加一个条件，使得试添加一个条件，使得ABC DCB，这个条件，这个条件可以是可以是 ，或或 ，或，或 ，并指出判定全等的相应依据。并指出判定全等的相应依据。DCBA5.如图如图，已知已知OA=OB，应添什么条件就得到：，应添什么条件就得到： AOC BOD（只允许添加一个条件），只允许添加一个条件），并说明判定并说明判定全等的依据全等的依据.OACDB第6题图第7题图43例例6 如图，如图，ABCDCB，ACBDBC， 证明：证明：ABC DCB.ADCBOAODO3412例例7 如图，四边形如图，四边形ABCD的对角线的对角线AC与与 BD相交于相交于O
7、，12，34， 求证求证：（：（1）ABC ADC； （2）BODOO例例8 如图，已知如图，已知BEAD，CFAD，且，且 BECF，求证，求证：BDCD.12例例9 如图，如图，ABCD，ADBC，那么，那么AB=CD 吗？为什么？吗？为什么？AD与与BC呢？呢？ABCD1243证明：证明： ABCD，ADBC（已知（已知 ） 12 34 （两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等） 在在ABC与与CDA中中 12 （已证）（已证） AC=CA （公共边）（公共边） 34 （已证）（已证） ABC CDA（ASA） AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相
8、等）例例10 如图，已知如图，已知1=2，3=4， BD=CE，求证：，求证：AB=AC多种方法多种方法例例11 已知：如图，已知：如图，ABC ABC，AD、 AD分分 别是别是ABC 和和ABC的高。证明：的高。证明：AD AD， 并用一句话说出你的发现。并用一句话说出你的发现。ABCDABCD全等三角形对应边上的高相等。全等三角形对应边上的高相等。多种方法多种方法例例12 如图，如图，AB/DC，AD/BC，BEAC于于E， DF AC于于F，。证明：，。证明：BEDFABCDEF变形：变形：如图（如图（2）将上题中的条件）将上题中的条件“BEAC，DF AC”变为变为“BE /DF”，
9、结论还成立吗？请说明你，结论还成立吗？请说明你的理由。的理由。ABCDEF例例13 如图，如图，BE和和CD相交于点相交于点O，AB = AC， B = C.求证：求证：BD = CEABCDEO证明：在证明：在ACD和和ABE中中A = A （公共角）（公共角）AC = ABC = B ABE ACD（ASA）AD = AE（全等三角形的对应边相等）（全等三角形的对应边相等）又又AB = AC DBO ECO（？）（？）OD = OEOB = OCABADACAE 即即BD = CEOB = OCFDEACB1.如图已知：如图已知： ABDE， ACDF，BECF， 求证：求证：ABDE。2
10、.如图已知：如图已知：ABCD， AECF，AECF， 求证：求证：BDEF。ABCDEF3.如图已知：线段如图已知：线段AD和和BC相交于点相交于点O， E、F分别在分别在OA、OD上，且上，且BECF， ABDC，ABDC，求证：，求证：BECF124.如图如图，ABAC，ADAE，AFBD交交BD延延 长线于长线于F，AGCE交交CE延长线于延长线于G 求证：求证：AFAGGFEDCBA5.如图如图，D为为BC中点，中点，F为为AC上一点，上一点， 过过B点作点作BGAC交交FD的延长线于的延长线于G， DEFD交交AB于于E，求证，求证：（1）BGCF；（2）BECFEF.本节课我们主
11、要学习了有关全等三角形的本节课我们主要学习了有关全等三角形的“两两角一边角一边”的判定方法，有两种情况：的判定方法，有两种情况：注意角角边、角边角中两角与边的区别。注意角角边、角边角中两角与边的区别。进一步学会用推理证明。进一步学会用推理证明。到目前为此，我们共学了几种到目前为此，我们共学了几种判定三角形全等的方法？判定三角形全等的方法？有三边对应相等的两个三有三边对应相等的两个三角形全等。角形全等。边边边边边边: :有两边和它们夹角对应相有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等。等的两个三角形全等。边角边边角边有两角和它们夹边对应相有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等。等的两个三角形全等。角边角角边角有两角及其中一个角的有两角及其中一个角的对边对应相等的两个三对边对应相等的两个三角形全等角形全等. .角角边角角边证明三角形全等的注意事项证明三角形全等的注意事项4. SSA和和AAA不能作为判定三角形全等的不能作为判定三角形全等的方法方法.3. 大括号里按照所用公理的边角按顺序写大括号里按照所用公理的边角按顺序写.2. 证明时注意三角形的对应顶点写在对应证明时注意三角形的对应顶点写在对应位置上位置上.1. 所有全等的准备工作放在前面写所有全等的准备工作放在前面写.