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1、运用公式法进行因式分解运用公式法进行因式分解教学目标教学目标1 能运用公式将简单的多项式进行分解能运用公式将简单的多项式进行分解。2 能初步接受和掌握换元思想，分解较能初步接受和掌握换元思想，分解较为复杂的多项式为复杂的多项式重点重点掌握平方差公式掌握平方差公式难点难点平方差公式和换元思想的应用平方差公式和换元思想的应用我们知道，整式乘法与因式分解我们知道，整式乘法与因式分解相反，因此，利用整式乘法与因相反，因此，利用整式乘法与因式分解的这种关系，可以得到因式分解的这种关系，可以得到因式分解的方法式分解的方法.如果把乘法公式如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项反过来，就可以用来把某些多项
2、式分解因式，这种分解因式的方式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法法叫做运用公式法.回忆回忆（ a + b ) ( a b )= a2 ab + ab - b2= a2 - b2反过来，就得到：a2 - b2 = ( a + b ) ( a b )也就是说，两个数的平方差，也就是说，两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方的差的积。这个公式就是平方差公式差公式。看两个例子看两个例子：能否将这两个多项式进行因式分解。显然，在以上两个多项式中，不能找显然，在以上两个多项式中，不能找到公因式，因此不能使用提公因式法到公因式，因此不能使用提公
3、因式法进行分解。进行分解。但是通过观察我们能够发现，两个多但是通过观察我们能够发现，两个多项式都能够写成平方差的形式，由此项式都能够写成平方差的形式，由此我们可以利用刚才学习的平方差公式我们可以利用刚才学习的平方差公式进行分解。进行分解。(1) x2 - 16(2) 9m2 - 4n2 要用平方差公式把要用平方差公式把 x2 - 16 分解分解因式，只要因式，只要 x2 - 16 具有平方差的具有平方差的形式。因为形式。因为16 = 42，所以，所以 x2 - 16=x2 - 42,它是它是 x 与与 4 的平方的平方差。既然差。既然 x2 - 16 确实具有平方确实具有平方差的形式，那么就能
4、够运用平方差差的形式，那么就能够运用平方差公式来分解公式来分解 (1) x2 - 16分析：分析：（1） x2 - 16x2 - 16 = x2 - 42 =( x + 4 ) ( x 4 )a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )利用平方差公式利用平方差公式：(2) 9m2 - 4n2分析：分析：因为因为9m2 = ( 3m )2,4n2 = ( 2n )2,所以所以9m2-4n2=(3m)2-(2n)2,而而(3m)2-(2n)2是是m与与2n的平方差，那么它能够的平方差，那么它能够运用平方差公式来分解因式运用平方差公式来分解因式(2) 9m2 - 4n2化成平方差公式：化
5、成平方差公式：9m2 - 4n2 =（3m )2 - ( 2n )2 =( 3m + 2n)(3m - 2n)a2 - b2 = ( a + b ) ( a - b )注意注意：平方差公式中的字母平方差公式中的字母a，b不仅可以代不仅可以代表数，而且可以代表代数式。例如，表数，而且可以代表代数式。例如，第（第（2）题中，利用）题中，利用a2 - b2 =( a + b ) ( a - b )分解因式时，其中分解因式时，其中a表示表示3m,b表示表示2n例1 (1) 1 - 25b2解：解： 原式原式= 12 - ( 5b )2a2 - b2根据平方差公式得根据平方差公式得：原式原式=（ 1 +
6、 5b )( 1 - 5b )(2) x2y2 - z2解：解： 原式原式= (xy)2 - z2 a2 - b2根据平方差公式得根据平方差公式得：原式原式=（ xy + z )( xy - z )(3) 0.25m2 - 0.01n2解：解： 原式原式= (0.5m)2- ( 0.1n )2 a2 - b2 根据平方差公式得根据平方差公式得：原式原式=（ 0.5m + 0.1n )( 0.5m 0.1n )例2 (1) ( x + p )2 - ( x + q )2分析：分析：（x+p)2-(x+q)2是是x+p与与x+q的平的平方差；，所以能够运用平方差公方差；，所以能够运用平方差公式分解
7、因式。式分解因式。所以，所以，原式原式=(x+p)+(x+q)(x+p)-(x+q)=(2x+p+q)(p-q)(2) 16(a-b)2-9(a+b)2分析：分析： 把式子把式子16(a-b)2-9(a+b)2改写成改写成4(a-b)2-3(a+b)2后，可以看出它是后，可以看出它是4(a-b）与）与3（a+b）的平方差）的平方差,所以能够运用平方差所以能够运用平方差公式分解因式。公式分解因式。所以，所以，原式原式=4(ab)+3(a+b)4(a-b)-3(a+b)=(7a-b)(a-7b)(3) ( a + b + c )2 - ( a b c )2根据平方差公式可以分解为：根据平方差公式可
8、以分解为：原式原式=(a+b+c)+(a-b-c)(a+b+c)-(a-b-c)=2a(2b+2c)=4a(b+c)例3(1) x5 - x3解解：原式原式= x3x2 - x3= x3 ( x 2- 1 )= x3 ( x + 1 ) ( x 1 )(2) x4 - y4解解：原式原式= ( x2 )2 - ( y2 )2=( x2 + y2 )( x2 - y2 )=( x2 + y2 ) ( x + y ) ( x - y )注意：注意：（1）如果多项式各项有公因式如果多项式各项有公因式,那么那么先提公因式，再进一步分解先提公因式，再进一步分解 。（2）因式分解因式分解,必须进行到每个多
9、项必须进行到每个多项式因式不能分解为止式因式不能分解为止.课堂练习：课堂练习：(1) a2 - 0.25x2 (2) 36 - m2(3) 4x2 - 9y2 (4) 0.81a2 - 16b2(5) 36n2 - 1 (6) 25p2 - 49q2(7)4a2 - ( b + c )2 (8) (3m+2n)2-(m-n)2课堂小结课堂小结 1 多项式各项有公因式时，多项式各项有公因式时， 应先提取公应先提取公因式，然后考虑运用公式法因式，然后考虑运用公式法2 注意变号注意变号3 提取某一项后，提取某一项后，“1”不能省略不能省略4 负号提前负号提前回家作业回家作业(1) a(1) a(1)
10、 a2 2 2 - 49 (2) 64 - x- 49 (2) 64 - x- 49 (2) 64 - x2 2 2(3) 1 - 36b(3) 1 - 36b(3) 1 - 36b2 2 2 (4) m(4) m(4) m2 2 2 - 81n- 81n- 81n2 2 2(5)0.49p(5)0.49p(5)0.49p2 2 2-144q-144q-144q2 2 2 (6) 121x(6) 121x(6) 121x2 2 2-4y-4y-4y2 2 2(7) (m+n)(7) (m+n)(7) (m+n)2 2 2-n-n-n2 2 2 (8) (x(8) (x(8) (x2 2 2+y+y+y2 2 2) ) )2 2 2-x-x-x2 2 2y y y2 2 2