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1、14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式1.1.经历探索平方差公式的过程经历探索平方差公式的过程, ,会推导平方差公式会推导平方差公式. . 2.2.理解平方差公式的结构特征理解平方差公式的结构特征, ,灵活应用平方差公式灵活应用平方差公式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. .(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.回忆：多项式与多项式相乘的法则回忆：多项式与多项式相乘的法则(1) (x+1)(x1)； (2) (a+2)(a2)； (3) (3x)(3
2、+x) ； (4) (2x+1)(2x1).观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你观察上述算式，你能发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？又发现什么规律？等号的左边：两个数的和与差的积，等号的左边：两个数的和与差的积， 等号的右边：是这两个数的平方差等号的右边：是这两个数的平方差.29x21x= a24=4 x21平方差公式平方差公式:(a+b)(a b)=a2 b2.即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.(a+b)(a b)=a2 b2 .a2 ab+ab b2=归纳归纳 请从这个正方形纸板上，剪下一请从这
3、个正方形纸板上，剪下一个边长为个边长为b b的小正方形，如图的小正方形，如图1 1，拼成，拼成如图如图2 2的长方形，你能根据图中的面的长方形，你能根据图中的面积说明平方差公式吗？积说明平方差公式吗？(a+b)(ab)=a2b2图1图2验证验证【例例1 1】运用平方差公式计算：运用平方差公式计算：(1) (3x(1) (3x2 )( 3x2 )( 3x2 ) .(2) (b+2a)(2a2 ) .(2) (b+2a)(2ab). b). 【解析解析】 (1) (3x(1) (3x2)(3x2)(3x2)2)=(3x)=(3x)2 22 22 2=9x=9x2 24.4.(2)(2)(b+2ab
4、+2a)(2)(2a ab b) )=(2a+b)(2a=(2a+b)(2ab)b)=(2a)=(2a)2 2b b2 2=4a=4a2 2b b2 2. .只有符合只有符合(a+b) (a b)的的形式才能用平方差公式形式才能用平方差公式【例题例题】【例例2 2】计算计算(1) 102(1) 10298. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5). 98. (2)(y+2)(y-2)-(y -1)(y+5). 【解析解析】（1 1） 1021029898=(100+2)(100-2)=(100+2)(100-2)=100=1002 22 22 2=10 000=10 0004 4=
5、9 996.=9 996.(2)(2)原式原式=(y=(y2 22 22 2)-(y)-(y2 2+5y-y-5)+5y-y-5)= y= y2 22 22 2y y2 2-5y+y+5-5y+y+5=-4y+1.=-4y+1.1 1. .下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是 ( )( ) （1 1）( (x x+1)(1+1)(1+x x) )； （2 2）( (a a+ +b b)()(b ba a) )； （3 3）( (a+b)(aa+b)(ab)b)； （4 4）(x(x2 2y)(x+yy)(x+y2 2) )； （5 5）( (a ab
6、)(ab)(ab)b)； （6 6）(c(c2 2d d2 2)(d)(d2 2+c+c2 2).). （2）（）（5）（）（6）【跟踪训练跟踪训练】2.2.利用平方差公式计算：利用平方差公式计算：(1)( x2y)( 2yx). (2)(2x5)(52x).22(3)(x6)(x6) .原式原式=(-2y-x)(-2y+x)=(-2y-x)(-2y+x) = 4y = 4y2 2x x2 2. .【解析解析】原式原式=(5+2x)(5-2x)=(5+2x)(5-2x) = 25 = 254x4x2 2. .【解析解析】原式原式=(x+6)-(x-6)(x+6)+(x-6)=(x+6)-(x-
7、6)(x+6)+(x-6) = (x+6-x+6)(x+6+x-6) = (x+6-x+6)(x+6+x-6) =12 =122x=24x.2x=24x.平方差公式的逆用平方差公式的逆用a a2 2b b2 2 = = ( (a+b)(aa+b)(ab)b)【解析解析】 【解析解析】原式原式=(0.5-x)(0.5+x)(x=(0.5-x)(0.5+x)(x2 2 +0.25) +0.25) =( 0.25 =( 0.25x x2 2)( 0.25+x)( 0.25+x2 2) ) =0.062 5 =0.062 5x x4 4. .（5 5）100.5100.599.5.99.5.【解析解析
8、】原式原式=(100+0.5)(100-0.5)=(100+0.5)(100-0.5) =10 000-0.25 =10 000-0.25 =9 999.75. =9 999.75.2(4)(0.5x)(x0.5)(x0.25).1 1（眉山（眉山中考）下列运算中正确的是（中考）下列运算中正确的是（ ）A A B B C C D D【解析解析】选选B. B. 在在A A中中3a3a2a2a5a5a；C C中中 ； D D中中 . . 2325aaa22(2)(2)4ababab23622aaa222(2)4abab232 352a a2a2a22244)2 (bababa2.2.( (威海威海
9、中考中考) )已知已知a-b=1,a-b=1,则则a a2 2b b2 22b2b的值为的值为( ) ( ) A A4 4 B B3 C3 C1 1 D D0 0 【解析解析】选选C.aC.a2 2b b2 22b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.2b=(a-b)(a+b)-2b=a+b-2b=a-b=1.3.3.（湖州（湖州中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到中考）将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是图乙位置，你能根据两个图形的面积关系得到的数学公式是_【解析解析】图甲的面积图甲的面积= =（a+ba+b）(a-b)(a
10、-b)，图乙的面积，图乙的面积= =a(aa(a- -b)+b(a-bb)+b(a-b)=a)=a2 2-ab+ab-b-ab+ab-b2 2=a=a2 2-b-b2 2. .答案答案: :（a+ba+b）(a-b)=a(a-b)=a2 2-b-b2 2 原式原式=(100-1)(100+1)=(100-1)(100+1)1000110001 =(10 000-1)(10 000+1) =(10 000-1)(10 000+1) =100 000 000-1 =100 000 000-1 =99 999 =99 999 999999. .4.计算计算 999910110110001. 1000
11、1. 【解析解析】5.5.化简：化简：(x-y)(x+y)(x(x-y)(x+y)(x2 2+y+y2 2)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616).).原式原式= =（x x2 2-y-y2 2 )( x)( x2 2+y+y2 2)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616) )= =（x x4 4-y-y4 4)(x)(x4 4+y+y4 4)(x)(x8 8+y+y8 8)(x)(x1616+y+y1616) )= =（x x8 8-y-y8 8)(x)(x8 8+y+y
12、8 8)(x)(x1616+y+y1616) )=(x=(x1616-y-y1616)(x)(x1616+y+y1616) )= x= x3232-y-y3232. .【解析解析】通过本课时的学习，需要我们掌握：通过本课时的学习，需要我们掌握：平方差公式平方差公式: :( (a+b)(aa+b)(ab)=ab)=a2 2b b2 2. .即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差数的平方差.平方差公式的逆用：平方差公式的逆用： a a2 2b b2 2 = = ( (a+b)(aa+b)(ab)b)我的成功只依赖两条：一条是毫不动摇地我的成功只依赖两条：一条是毫不动摇地坚持到底；一条是用手把脑子里想出的图坚持到底；一条是用手把脑子里想出的图形一丝不差地制造出来形一丝不差地制造出来. . 蒙日蒙日