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1、1知识与技能理解空间向量基本定理了解基向量、基底的概念2过程与方法会用空间三个不共面的向量表示空间任一向量重点：空间向量基本定理难点：基底概念的理解和用基底表示空间任一向量1用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的2空间任意三个不共面的向量都可以作为表示空间向量的一个基底3由于0可看作是与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含它们都不是0.要明确：一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念4用基底中的基向量表示向量(即向量的分解)，关键是结合图形，运用三角形法则、平行四边形法
2、则及多边形法则，逐步把待求向量转化为基向量的“代数和”1空间向量基本定理(1)如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p.(2)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是p|pxaybzc，x，y，zR，这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做 ，空间任何三个的向量都可构成空间的一个基底xaybzca，b，c基向量不共面2空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(我们称它们为)(2)空间直角坐标系以e1，e2，e3的为原点，分别以
3、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.单位正交基底公共起点Oe1，e2，e3(3)空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p一定可以把它 ，使它的与原点O重合，得到向量 p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组x，y，z，使得.我们把称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p 平移起点pxe1ye2ze3x、y、z(x，y，z)例1若a，b，c是空间的一个基底试判断ab，bc，ca能否作为该空间的一个基底分析由题目可获取以下主要信息：a，b，c是空间的一个基底；判断ab，bc，ca是否也可作为该空间的一个基底解答本题可先用反证法，判断ab，bc，ca是否共面
4、，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底解析假设ab，bc，ca共面，则存在实数、使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底a，b，c不共面ab，bc，ca不共面ab，bc，ca可以作为空间的一个基底点评判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组：a，b，x，x，y，z，b，c，z，x，y，abc，其中可以作为空间的基底的向量组有_个答案3解析都可以作为空间的一组基底，对于，xab，显然a，b，x不能
5、作为空间的一个基底.点评用基底表示空间向量，一般要用向量的加法、减法、数乘的运算法则，及加法的平行四边形法则，加法、减法的三角形法则逐步向基向量过渡，直到全部用基向量表示分析若向量a可以用基向量e1，e2，e3表示为axe1ye2ze3，则(x，y，z)就是a在基底e1，e2，e3的坐标点评(1)注意向量的坐标顺序必须与基底中的基向量对应，即若基底为e1，e2，e3，ae1e2ke3，则a的坐标为(，k)(2)由(2)的结论可见， 的坐标等于终点的坐标减去起点A的坐标例5设a，b，c是三个不共面的向量，现从ab，ab，ac，bc，abc中选出一个，使其与a，b构成空间向量的一个基底，则可以选择
6、的向量有_误解容易错填为.正解 答案B 2如果a、b、c共面，b、c、d也共面，则下列说法正确的是()A若b与c不共线，则a、b、c、d共面B若b与c共线，则a、b、c、d共面C当且仅当c0时，a、b、c、d共面D若b与c不共线，则a、b、c、d不共面答案A答案D 二、填空题4若a3e12e2e3，e1，e2，e3为空间的一个单位正交基底，则a的坐标为_答案(3,2，1)5设命题p：a，b，c为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的_条件答案充分不必要解析a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c一定不共面，则它们三者中无零向量，反之，若a，b，c是三个非零向量，它们可能共面，此时a，b，c不可能成为空间的一个基底