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1、理解空理解空间间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问问题题理解基底、基向量及向量的理解基底、基向量及向量的线线性性组组合的概念合的概念掌握空掌握空间间向量的坐向量的坐标标表示，能在适当的坐表示，能在适当的坐标标系中写出向量系中写出向量的坐的坐标标3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示空间向量的正交分解及其坐标表示【课标要求课标要求】【核心扫描核心扫描】空空间间向量基本定理向量基本定理(重点重点)用基底表示已知向量用基底表示已知向量(难点难点)在不同坐在不同坐标标系中向量坐系中向量坐标标的相的相对对性性(易错点易错点)123123空间向量基本定理
2、空间向量基本定理定理：如果三个向量定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组，存在有序实数组(x，y，z)，使得，使得p_，其中，其中a，b，c叫做空间的一个叫做空间的一个_，a，b，c都叫做都叫做_试一试试一试：空间的基底是唯一的吗空间的基底是唯一的吗？提示提示由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不唯一此不唯一自学导引自学导引1xaybzc基底基底基向量基向量空间向量的正交分解及其坐标
3、表示空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向的两两垂直的单位向量量e1，e2，e3称为单位正交基底称为单位正交基底(2)空间直角坐标系：以空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点的公共起点O为原点，分为原点，分别以别以e1，e2，e3的方向为的方向为x轴，轴，y轴，轴，z轴的正方向建立空间轴的正方向建立空间直角坐标系直角坐标系Oxyz.2xe1ye2ze3x，y，zp(x，y，z)试一试：试一试：你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上你能写出空间直角坐标系，坐标轴或坐标平面上的向量的坐标吗？的向量的坐标吗？基底的选
4、择基底的选择为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一是为了简便，在具体问题中选择基底时要注意两个方面：一是所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及所选的基向量能方便地表示其他向量；二是各基向量的模及其夹角已知或易求其夹角已知或易求选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在选定基底后，各基向量的系数组成的有序实数组就是向量在该基底下的坐标同一基底下的向量运算可以简化为坐标进该基底下的坐标同一基底下的向量运算可以简化为坐标进行一般情况下，选的基底是单位正交基底行一般情况下，选的基底是单位正交基底空间向量的正交分解及其坐标表示的理解空间向量的正交分解及其坐标表示的理解
5、(1)建立空建立空间间直角坐直角坐标标系系Oxyz.分分别别沿沿x轴轴、y轴轴、z轴轴的正方的正方向引向引单单位向量位向量i，j，k，则则i，j，k叫做叫做单单位正交基底位正交基底单单位位向量向量i，j，k都叫做坐都叫做坐标标向量向量名师点睛名师点睛12(2)在空在空间间直角坐直角坐标标系中，已知任一向量系中，已知任一向量a，根据空，根据空间间向量向量分解定理，存在唯一分解定理，存在唯一实实数数组组(a1，a2，a3)使使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分分别为别为向量向量a在在i，j，k方向上的分向量，有方向上的分向量，有序序实实数数组组(a1，a2，a3)叫做向量叫做向量a在此
6、直角坐在此直角坐标标系中的坐系中的坐标标，可可记记作作a(a1，a2，a3)(3)空空间间任一点任一点P的坐的坐标标的确定，如的确定，如图图所示，所示，过过点点P作面作面xOy的垂的垂线线，垂，垂足足为为P，在面，在面xOy中，中，过过P分分别别作作x轴轴、y轴轴的垂的垂线线，垂足分，垂足分别为别为A，C，则则|x|PC，|y|AP，|z|PP.空空间间中一点中一点P(a，b，c)关于关于xOy面、面、xOz面、面、yOz面、面、x轴轴、y轴轴、z轴轴及坐及坐标标原点原点对对称的点的坐称的点的坐标标分分别为别为P1(a，b，c)，P2(a，b，c)，P3(a，b，c)，P4(a，b，c)，P5
7、(a，b，c)，P6(a，b，c)，P7(a，b，c)题型一题型一基底的判断基底的判断 若若a，b，c是空是空间间的一个基底，判断的一个基底，判断ab，bc，ca能否作能否作为该为该空空间间的一个基底的一个基底 思路探索思路探索 可先用反证法判断可先用反证法判断ab，bc，ca是否共面，是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基底若不共面，则可作为一个基底，否则不能作为一个基底【例例1】解解假设假设ab，bc，ca共面，则存在实数共面，则存在实数，使得使得ab(bc)(ca)，abba()c.a，b，c为基底，为基底，a，b，c不共面，不共面，规律方法规律方法 判断三个向量判断三
8、个向量a，b，c能否作为基底，关键是理能否作为基底，关键是理解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空解基底的概念，只有空间中三个不共面的向量才能构成空间向量的一个基底判断间向量的一个基底判断a，b，c三个向量是否共面，常三个向量是否共面，常用反证法，即判断三个向量是否满足用反证法，即判断三个向量是否满足abb，若满足，若满足则共面，若不满足则不共面则共面，若不满足则不共面以下四个命以下四个命题题中正确的是中正确的是_空空间间的任何一个向量都可用三个的任何一个向量都可用三个给给定向量表示；定向量表示；若若a，b，c为为空空间间的一个基底，的一个基底，则则a，b，c全不是零向量；全不是零
9、向量；如果向量如果向量a，b与任何向量都不能构成空与任何向量都不能构成空间间的一个基底，的一个基底，则则一定有一定有a与与b共共线线；任何三个不共任何三个不共线线的向量都可构成空的向量都可构成空间间的一个基底的一个基底解析解析因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的因为空间中的任何一个向量都可用其他三个不共面的向量来表示，故向量来表示，故不正确；不正确；正确；由空间向量基本定理可正确；由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，故知只有不共线的两向量才可以做基底，故正确；空间向量正确；空间向量基底是由三个不共面的向量组成的，故基底是由三个不共面的向量组成的，故不正确不正确答案答
10、案【变式变式1】题型题型二二用基底表示向量用基底表示向量【例例2】规律方法规律方法 (1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的；一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用【变式变式2】题型题型三三求空间向量的坐标求空间向量的坐标【例例3】【题后反思题后反思】根据空间向量基本定理，任一向量都可表根据空间向量基本定理，任一向量都可表示为基向量的线性关系式三个基向量的对应系数即为向示为基向量的线性关系式三个基向量的对应系数即为向量在这个基底下的坐标所以，求向量的坐标，关键是灵量在这个基底下的坐标所以，求向量的坐标，关键是灵活应用基底表示该向量活应用基底表示该向量【变式变式3】误区警示误区警示坐标系建立不当致误坐标系建立不当致误【示示例例】在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，在建系时应该注意，若图中没有建系的环境，则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境则应根据已知条件，通过作辅助线来创造合适的图形环境