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1、球的接、切、截问题球的接、切、截问题一、近十年全国高考球的问题考查情况一、近十年全国高考球的问题考查情况年份年份试卷及题号试卷及题号题型题型考查内容考查内容2012文8选择题球的体积及截面性质理11选择题三棱锥外接球体积2013I卷文6，理6选择题球的截面，体积II卷文15填空题球的表面积2014大纲理8选择题正四棱锥外接球表面积2015I卷理11，文11选择题三棱锥体积及球的表面积II卷理9，文10选择题三棱锥外接球表面积2016I卷理6，文7选择题球的表面积与体积II卷文4选择题正方体外接球表面积III卷理10，文11选择题三棱柱内切球体积年份年份试卷及题号试卷及题号题型题型考查内容考查内
2、容2017I卷文16填空题三棱锥外接球表面积II卷文15填空题长方体外接球表面积III卷文9选择题球的内接圆柱的体积2018III卷理10，文12选择题球的内接三棱锥最大体积2019I卷理12选择题三棱锥外接球体积2020I卷理10，文12选择题球的截面与表面积II卷理10，文11选择题球心到截面距离III卷理15，文16填空题圆锥内切球最大体积山东卷16填空题球的截面轨迹问题2021甲卷理11选择题球内几何体体积问题II卷理4选择题应用题，地球卫星信号覆盖面积，球的表面积总体情况：每年都考，总体情况：每年都考，20172017年、年、20202020年每份试卷都考查，以年每份试卷都考查，以选
3、择题、填空题为主，难度以中档题居多，涉及球体与多面选择题、填空题为主，难度以中档题居多，涉及球体与多面体、旋转体的接、切、截等问题。考查内容以求球的表面积、体、旋转体的接、切、截等问题。考查内容以求球的表面积、体积居多，但近两年也出现求距离、弧长等问题，问题情境体积居多，但近两年也出现求距离、弧长等问题，问题情境也发生变化，形式更加灵活。也发生变化，形式更加灵活。二、球的接、切、截问题解题策略二、球的接、切、截问题解题策略决定球的要素有两个，一是球心，确定球的位置；二是半决定球的要素有两个，一是球心，确定球的位置；二是半径，确定球的大小。因此解决涉及球的表面积和体积的计径，确定球的大小。因此解
4、决涉及球的表面积和体积的计算问题都要从这两个角度思考。算问题都要从这两个角度思考。例题例题1（2019年全国年全国I理理12）已知三棱锥）已知三棱锥P-ABC的四个顶点的四个顶点在球在球O的球面上，的球面上，PA=PB=PC，ABC是边长为是边长为2的正三的正三角形，角形，E，F分别是分别是PA，AB的中点，的中点，CEF=90，则球，则球O的体积为（的体积为（ ）PABCEF【分析一分析一】由题意可知三棱锥由题意可知三棱锥P-ABC为正三棱锥，球心在高上，为正三棱锥，球心在高上，由由CEF=90可得可得PBEC, PBAC,则则PB面面PAC，故，故PA、PB、PC两两垂直，所以两两垂直，所
5、以PA= .PABCEOHF2作作PH面面ABC，垂足为，垂足为H，设球，设球心为心为O，则，则O在在PH上，连结上，连结OE，OA，AH，构建，构建RTPOE，利用利用RTPOERTPAH求出半求出半径径R，即，即POPH=PEPA36446 6,62338RVR【策略一策略一】构建模型：直角三角形构建模型：直角三角形PABCEOHFOO1ARdr球心与小圆圆心的距离球心与小圆圆心的距离d、球的半径、球的半径R和小圆半径和小圆半径r构成直角三角形构成直角三角形 00OO1AmdR球外一点与球心的距离球外一点与球心的距离m、球的半径、球的半径R和切线长和切线长d构成直角三角形构成直角三角形【分
6、析二分析二】由分析一可知由分析一可知PA、PB、PC两两垂直，则三棱锥两两垂直，则三棱锥可以看做是正方体的一部分，正方体的对角线是外接球的直可以看做是正方体的一部分，正方体的对角线是外接球的直径，所以径，所以 . PABCEF22226R 能补成长方体的几种常见几何体能补成长方体的几种常见几何体墙角模型鳖臑模型等对棱模型阳马模型堑堵模型【策略二策略二】补形或分割补形或分割例题例题2. （2022年南京盐城二模年南京盐城二模16）某中学开展劳动实习，学生需测量）某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，的小球
7、放在圆弧上，使它们与圆弧都相切，左右两个小球与中间小球相切使它们与圆弧都相切，左右两个小球与中间小球相切.利用利用“十十”字字尺测得小球的高度差尺测得小球的高度差h为为8cm，则圆弧的半径为，则圆弧的半径为AOO1O2O3r2rhB21222OOBOAOOO1O2O3r8B40思路思路1思路思路2OO1O2O3【策略三策略三】利用对称性找出截面利用对称性找出截面正方体内切球正方体内切球正方体外接球正方体外接球正四面体外接球、内正四面体外接球、内切球截面切球截面例题例题3.在棱长为在棱长为 1的正方体的正方体ABCDA1B1C1D1内容纳内容纳 9个等球，个等球，8个角各放个角各放 1个，个，
8、中间放中间放 1个，求这些等球的最大半径个，求这些等球的最大半径ABCC1B1D1A10AA1C1CO1MrO2O3三、解决球的问题方法再提炼与建议三、解决球的问题方法再提炼与建议球的接、切问题球的接、切问题球的截面问题球的截面问题1.选择适当的截面；选择适当的截面；2.构建平面多边形；构建平面多边形；3.解三角形得结果解三角形得结果.解题方法解题方法数学思想数学思想降维降维转化与化归转化与化归数形结合数形结合函数与方程函数与方程核心素养核心素养直观想象直观想象逻辑推理逻辑推理数学运算数学运算教学建议：（教学建议：（1）重视培养学生类比思维。）重视培养学生类比思维。 （2）重视总结与运用基本模型。）重视总结与运用基本模型。 （3）重视教学生准确画直观图。）重视教学生准确画直观图。四、思考四、思考ABCGHEFMO1OP1N