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1、探究古代印度数系的历史发展摘要：通过研读和比对原典文献，文章对印度数系及与其相关的记数法、数词、数字的发展演变进行追根溯源。确认在印度文明初期已有十进制记数法。数学的发展对数系的扩张和数字的发明起最直接的作用：从早期的单位分数到后来用除法来定义分数；“零的出现不晚于世纪，但零和负数的运算律的完善却和世纪代数学研究密切相关；无理数卡拉尼数在公元前世纪由几何产生，随着计算的深化其也从原来单纯的几何概念抽象为一般意义上的二次根式。印度数字刚诞生时可能仅是数词的简化符号，世纪左右引入了十进位值制，在世纪前演变成了包含符号在内的完好体系。印度的算板笔算传统在其发展经过中起了关键性的作用。关键词：印度数学
2、史；十进记数法；数系扩张；印度数字一、古代印度的记数法与数词印度次大陆上最早出现的文明是印度河流域文明公元前年至前年左右。由于该文明的文字或是类文字的记号还未得到破解，因而还不知道这个时期能否出现过数词或数字。一些开掘出的砝码和量尺暗示了印度河流域文明大概已有十进制数的概念，但是它与本文所要谈到的印度数系的历史可能并没有渊源。由于整个印度河流域文明在公元前千纪的中叶就已因气候变化或是雅利安人入侵等而在历史中消失了。雅利安人于公元前年左右从西北方入主印度次大陆。他们讲的是一种被语言学分类为“印度欧罗巴语系的语言梵语。雅利安人的梵文宗教典籍（吠陀），约公元前千纪中后叶成立是印度文化的根本源泉，在谈
3、到数系的发展时也不例外。在其最早期的（梨俱吠陀），约公元前年的一偈中能够明确识别出十进数词的使用：我领受了六十个千并阿由他，的马，二十个百的水牛，十个百棕色的，十个百带三星花纹的，以及十个千的乳牛即万头马，千头水牛和万头乳牛。这里的数词固然有的以“二十或“六十为一组单独命名，但其基本的计数单位“十“百“千均为的乘幂。除此之外，在（夜柔吠陀），约公元前年本集的祭文里还列出了从一百到的次方的名称：赞美百，、赞美千，、赞美万，、赞美十万，、赞美百万，、赞美千万，、赞美亿，、赞美十亿，、赞美百亿，、赞美千亿，、赞美兆，、赞美曙光、赞美破晓赞美一切。这里可能是想通过例举的乘幂即十进制数的计数单位来表达对
4、一切数字的赞美。需要指出的是，吠陀文献中的十进数词的数值并不确定，十分是万以上均未统一。直等到（阿耶波多历算书），年和（五大体系历书），年左右之后，印度数学文献中所使用的十进数词的值才能够讲基本固定下来。梵语里表达十下面的数词依次为：一、二、三、四、五、六、七、八和九，能够看出它们和很多欧洲语言里的数词特别类似。而那些表示二十、三十等的数词则都是在此基础上进行变化。通过加减、取倍或是取半，就能够用它们表示任何一个数，如除了自然数外，印度的分数也是十进制的。在公元前一千纪中叶的吠陀辅助学（绳法经）和（竖底沙论）中，已出现如“六分之一这样的单位分数。对其加减乘除就能够表示任何一个分数甚至是带分数，
5、如“十三又九分之五可写作（阿耶波多历算书）之后的数学文献除继承此种表示方法外，更一般的是使用除法来定义分数量。表示“分母这个意思的梵语词“或是“都意为“部分通常可以以翻译成“除数。这正如（九章算术）里的“合分术：“实如法而一。不满法者，以法命之。除十进制数词以外，一些fo经里还出现过百进制的数词系统，如（方广大庄严经）梵语本来作于约公元世纪：“百拘胝名阿由多，。百阿由多名尼由多，百毗浮登伽摩，名怛罗络叉，。甚至还有使用了“倍进法的，如（大方广fo华严经）约世纪：“一百洛叉为一俱胝，俱胝俱胝为一阿庾多，阿庾多阿庾多为一那由他然而，fo经里所议论的大数在印度数学文献中几乎从未使用过，在此不再深究。
6、不过有一点需要注意，在（阿毗达磨俱舍论）约至世纪里似乎谈到了“数位的问题。据讲fo陀用了三阿僧企耶，译为“不可数大劫的时间才修炼成fo，于是乎就有“既称无数何复言三的问题。作为回答，其解释讲阿僧企耶其实是个数中的一个数：非无数言显不可数。解脱经讲六十数中。阿僧企耶是其一数。云何六十。如彼经言。有一无余数始为一。一十为十。十十为百十跋逻搀，为大跋逻搀，。十大跋逻搀为阿僧企耶。于此数中忘失余八。若数大劫至此数中阿僧企耶名劫无数。此劫无数复积至三。即将“一看作为第个数，“十为第个数，“百为第个数，以此类推，数到“阿僧企耶时便是第个数了。能够看出，这里所讲的个“数其实能够理解为是个“十进数位的名称。因
7、而，所谓“三阿僧企耶就表示。真正明确提出十进位值制记数法的乃是阿耶波多，其（阿耶波多历算书）数学章第偈为：一、十、百、千，然后是万和十万，继续是百万、千万、亿和十亿。每一位置须是它之前一位的倍。对此术文注释者婆什迦罗一世，世纪初解释道：“向前排列数位是为了简单起见。由于若不这样，数学运算将会变得困难，这是由于没有给数字指定位置。为什么？当摆弄大量的单位可理解为百、千、万这样的数量时，很多单位都需要被确定位置。另一方面，事实上，当位置固定后，那些必须使用大量单位才能完成的运算，能够只用单唯一个单位来完成。并且，他还十分用了个圆圈来表示这个数位。二、印度数字与数位关系密切的自然是数字数码了。印度数
8、字最早的实物证据出如今公元前世纪左右的阿育王石碑中，此后的一些硬币或碑刻上也不断发现了数字的使用。那些数字基本来讲采用了十进制，但没有使用位值制。如图所示，从到是线条的累积，到，以及和的整数倍如或均有专门的符号来表示。在表示任意数时则是用取和或取积的形式。由于这些特征均与介绍过的印度数词一样，因而设想最初的数字可能仅是数词的简单表示。已知最早的十进位值制数字出如今一块开掘于印度桑克达地区的铜板铭文中。铭文最后用了三个数字表示了该文的写作日期印度切蒂历年相当于公元年到年。虽讲按实物证据印度的十进位值制数字只能追溯到公元世纪末，但是碑刻或铭文其形式经常偏于保守。从（阿耶波多历算书）或是（阿毗达磨俱
9、舍论）的记述来看，我们完全有理由断定早在公元世纪十进位值制数字就已被发明出来。从另一方面来讲，记数法往往和计算工具相联络正如十进位值制记数的产生在中国是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开，瑏瑡印度数字的产生可能和算板的使用关系严密。算板是印度数学家进行数学运算时的主要工具，其历史能够追溯到公元前。其形状为长条形，外面包裹皮革，用类似粉笔的棒在上面书写，字迹能够擦去并反复使用。瑏瑢事实上，婆什迦罗一世在注释（阿耶波多历算书）时总会有一个叫作“记下的步骤，用来将术文或例题中提到的数量用数字抄录于算板上，之后再进行演算。上面婆什迦罗一世画了个圆圈来表示阿耶波多的个数位，而真正计算时在各数位上填入的就
10、应该是数字了。固然我们不清楚阿耶波多或婆什迦罗一世所使用的数字是什么样子的，但在一部抄写于世纪的数学书（巴克沙丽抄本）中十进位值制的数字已可得到明晰的识别。瑏瑣十进位值制数字对数学的进步意义重大。一方面用它能够方便地表示任何数量，另一方面则是它非常利于笔算阿耶波多的开平方或开立方算法就和十进位值制记数法关系密切。在婆什迦罗一世的时代，印度的记数法可能就已传入中亚地区。瑏瑤接着在世纪，印度记数法通过印度的外交使节介绍到巴格达的宫廷，世纪的花拉子米在（印度数字计算法），阿拉伯语本来散佚，现仅存拉丁语译本一书中也对其做了具体的记载。到了世纪，阿拉伯帝国的各处十分是在西班牙、西西里岛和埃及都在使用印度
11、记数法。斐波那契是印度记数法在欧洲得到普及的最大功臣。他在（计算之书），约世纪初中介绍道：“印度数字有个，分别是、。加上在阿拉伯语中被唤作希夫尔的，就能够随心所欲地记下任何数。瑏瑥有一点需要指出，根据斐波那契的介绍及其他一些资料来看，欧洲人所认识的“印度数字似乎仅仅指除以外的个数字。其中缘由我们无从得知，但能够肯定的是，在成熟的位值制记数法中无论怎样都不可缺少表示空位的符号“零。印度人一开场可能是用点来表示零的。婆什迦罗一世在（阿耶波多历算书注释）中如此表现太阳在一个纪里的周转圈数：瑏瑦其数为天空雨云点云双子祭火完美即。这里，婆什迦罗一世在表现某个数量时所用的并不是数词或是数字，而是一种被称为
12、“具象数字的数字联想表现法。也就是讲，在表示某个数时能够用某个详细事物的名称来代替，只要从这个名称能够方便联想起所要表示的那个数就行。如“月亮代表“，“双子代表“，“祭火代表“来自吠陀祭仪中使用的三个祭火坛等。这里，“天空和“云表示“，由于它们都意味着“空虚。“点也表示“，但它可能意味的是数字“的形状。因而我们有理由相信，在婆什迦罗一世的时代，即公元世纪初时，印度人已经在使用点或圈作为零的符号了。瑏瑧值得一提的是，“数字这个词本身也是一个具象数字，代表。这讲明即便在印度人眼里，记号和从到这九个数码之间还是有些差异。这可能是由于前者仅是一“点，而后者则拥有“图样。三、数系的扩张零、负数完备的印度
13、十进位值制记数法确实包含了表示空位的。然而在印度人眼里，不仅仅是一个空位符，它毫无疑问也表示了一个数量，即“零梵语为“或“，都意为“空。瑏瑩对它能够和别的数量一样进行加减乘除，其最早的一个例子来自世纪的（五大体系历书）：太阳从白羊宫开场的每日运行速度依次为分减、减、，瑐瑠即有。正是这一点使得印度的零有别于古巴比伦、古埃及也曾有过的那种占位的零，因而印度人被以为是发明出了真正意义上的“零。究其原因，尽管有人会将零和印度宗教哲学中独特的“空观念联络在一起，但是印度数学本身比方笔算，以及代数学的发展，却能够愈加自然地解释零，乃至负数概念在印度的产生和完备。“数学一词在梵语里叫作“，从词源上讲，它与意
14、为计数的动词“有关。婆罗摩笈多在其（婆罗摩修正体系），年中阐述道“包含两种意思：其一是关于“已知量的运算，如算术和几何，构成了其（体系）第章的内容；其二被称为“库塔卡这个词的本义是一种解不定方程的方法，这里借指求解含有“未知量的代数问题，其构成（体系）第章的内容。四、无理数的历史发展事实上，印度人认识无理数要比认识零或负数都要早。和古希腊的情形一样，无理数最先也是从几何问题而来。公元前世纪左右的（绳法经）里就有经文这样讲道：正方形的对角线生成两倍于原正方形的面积。长方形的宽是基准正方形的边，若长为两倍正方形的边，则对角线就等于三倍正方形的边。瑐瑥即，若基准正方形的边长为，根据勾股定理由（绳法经
15、）给出，其对角线长为“。根据上下文意思直译为“可生成面积为的正方形的边或“两倍正方形的边；同样地，以和“两倍正方形的边为边的长方形的对角线则等于“三倍正方形的边。能够看出，对于开平方不尽的数，印度人是将其和“卡拉尼一词放在一起来表示其平方根。姑且把它称为“卡拉尼数，“卡拉尼就意味槡，“卡拉尼就为槡。早期卡拉尼一词的使用似乎仅局限于几何问题中，在求某数的平方根时则倾向于使用“意为“根一词（阿耶波多历算书）。因而，早期的卡拉尼数只用作为描绘一个几何量的大小，如边长、对角线的长等。相对于这种实体的卡拉尼数，后来发展出卡拉尼的第二种用法，即用它来笼统指代二次根式。如“两个卡拉尼的乘积（注释）这样的表述
16、，指一般意义上的“两个二次根式的乘积。卡拉尼由此从几何实体变为纯粹的符号化的运算对象，这乃是印度人在数学思想上从形象到抽象的一次飞跃。我们以为这个演变与对卡拉尼数计算的深化理解有关。婆什迦罗一世在（注释）中屡次用到卡拉尼数，甚至将其符号化，直接用头音节“卡来表示。通过对原典文献的研读和比对，确认了在印度文明初期的吠陀时代就已有十进记数法。百进和倍进法固然也在一些文献中存在过，但其主要局限于fo教的讲法，且并未进入印度数学的主流之中。数学的发展则对数系的扩张和数字的发明起到了最直接的作用。吠陀时代虽已有单位分数，但在世纪后就基本只用除法来定义分数量。作为数量的“零不晚于世纪出现，但零和负数的运算律的完善却和世纪印度代数学解方程的研究密切相关，这点从婆罗摩笈多的阐述中能够清楚看出。无理数卡拉尼数于公元前世纪产生，其是图形计算时应用毕达哥拉斯定理的必然结果。后来随着计算的深化，人们对卡拉尼数的理解也从原来单纯的几何概念抽象为一般意义上的二次根式。并且阿耶波多、婆什迦罗一世还认识到无理数和圆周率的不可通约性。印度数字刚诞生时可能仅是数词的简化符号，到世纪左右引入十进位值制，并在世纪前演变成包含符号在内的一个完好体系。我们以为印度的算板笔算传统在其发展经过中起了关键性的作用。