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1、20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4343秒秒 云在漫步云在漫步1.2.3 空间几何体的直观图四川省广安中学四川省广安中学 黄黄 建建 春春20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4444秒秒 云在漫步云在漫步20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4646秒秒 云在漫步云在漫步 三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三三视图是用平面图形表示空间图形的一种重要方法，但三视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观图一般视图的直观性较差，因此有必要绘制空间图形的直观
2、图一般采用中心投影或平行投影采用中心投影或平行投影 图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可图片都是空间图形在平面上的反映，通过对图片的研究可以了解空间图形的一些性质和特征以了解空间图形的一些性质和特征 在中心投影中，水平线在中心投影中，水平线(或垂直线或垂直线)仍保持水平仍保持水平(或垂直或垂直)，但，但斜的平行线则会相交，交点称为消点斜的平行线则会相交，交点称为消点20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4646秒秒 云在漫步云在漫步 中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复中心投影虽然可以显示空间图形的直观形象，但作图较复杂，又不
3、易度量杂，又不易度量投影规律投影规律1.1.平行性不变，但形状、长度、平行性不变，但形状、长度、夹角会改变；夹角会改变；2.2.平行直线段或同一直线上的平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变；两条线段的比不变；3.3.在太阳光下，平行于地面的在太阳光下，平行于地面的直线在地面上的投影长不变直线在地面上的投影长不变 立体几何中常用平行投影立体几何中常用平行投影(斜投影斜投影)来画空间图形的直观图，来画空间图形的直观图，这种画法叫这种画法叫斜二测画法斜二测画法20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4646秒秒 云在漫步云在漫步问题提出问题提出 1. 1.把
4、一本书正面放置，其视觉效果把一本书正面放置，其视觉效果是一个矩形；把一本书水平放置，其视是一个矩形；把一本书水平放置，其视觉效果还是一个矩形吗？这涉及水平放觉效果还是一个矩形吗？这涉及水平放置的平面图形的画法问题置的平面图形的画法问题. . 2. 2.对于柱体、锥体、台体及简单的组对于柱体、锥体、台体及简单的组合体，在平面上应怎样作图才具有强烈合体，在平面上应怎样作图才具有强烈的立体感？这涉及空间几何体的直观图的立体感？这涉及空间几何体的直观图的画法问题的画法问题. .20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4646秒秒 云在漫步云在漫步20222022年
5、年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4747秒秒 云在漫步云在漫步知识探究（一）知识探究（一）:水平放置的平面图形的画法水平放置的平面图形的画法 思考思考1:1:把一个矩形水平放置，从适当的把一个矩形水平放置，从适当的角度观察，给人以平行四边形的感觉，角度观察，给人以平行四边形的感觉，如图如图. .比较两图，其中哪些线段之间的位比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？有发生变化？20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4848秒秒 云在漫步云在漫步问题1：斜二测画
6、法规则：（1）建坐标系，定水平面；（2）平行性不变：与坐标轴平行或重合的线段保持平行；（3）横（x）竖(z)线段长不变，纵（y）折半。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4848秒秒 云在漫步云在漫步思考思考2:2:把一个直角梯形水平放置得其直把一个直角梯形水平放置得其直观图如下，比较两图，其中哪些线段之观图如下，比较两图，其中哪些线段之间的位置关系、数量关系发生了变化？间的位置关系、数量关系发生了变化？哪些没有发生变化？哪些没有发生变化？20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4848秒秒 云在漫步云在漫步 问题
7、2：斜二测画法画平面图形步骤：1、建系: 在已知平面图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画斜坐标系: 把x轴和y轴画成对应的x轴和y轴, 两轴相交于点O。且使xOy =45(或135), 它们确定的平面表示水平平面。2、画线取长: 在已知图形平行于x轴的线段, 在直观图中画成平行于x轴, 长度保持不变；在已知图形平行于y轴的线段, 在直观图中画成平行于y轴, 且长度为原来一半。3、处理一般线段：对于一般线段，要在原来的图形中从线段的各个端点引垂线，再按上述要求画出这些线段，确定端点，从而画出线段。4、擦去辅助线: 图画好后,要擦去x轴,y轴及为画图添加的辅助线（也可将辅助线画为虚线）
8、。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4848秒秒 云在漫步云在漫步思考思考3:3:画一个水平放置的平面图形的直画一个水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图中各顶点的位观图，关键是确定直观图中各顶点的位置，我们可以借助平面坐标系解决这个置，我们可以借助平面坐标系解决这个问题问题. . 那么在画水平放置的直角梯形的那么在画水平放置的直角梯形的直观图时应如何操作？直观图时应如何操作？xyCABCDxyABD20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4949秒秒 云在漫步云在漫步思考思考4:4:你能用上述方法画水平放
9、置的正你能用上述方法画水平放置的正六边形的直观图吗？六边形的直观图吗？yxoABCDEF MNxyoBCADEF MNBCADEF20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4949秒秒 云在漫步云在漫步思考思考5:5:上述画水平放置的平面图形的直上述画水平放置的平面图形的直观图的方法叫做观图的方法叫做斜二测画法斜二测画法，你能概括，你能概括出斜二测画法的基本步骤和规则吗？出斜二测画法的基本步骤和规则吗？（1 1）建坐标系，定水平面；）建坐标系，定水平面；（3 3）横（）横（x x）竖）竖(z)(z)线段长不变，线段长不变， 纵（纵（y y）折半。）折半。（2
10、 2）平行性不变：与坐标轴平行或）平行性不变：与坐标轴平行或 重合的线段保持平行；重合的线段保持平行；20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4949秒秒 云在漫步云在漫步思考思考6:6:斜二测画法可以画任意多边形水斜二测画法可以画任意多边形水平放置的直观图，如果把一个圆水平放平放置的直观图，如果把一个圆水平放置，看起来像什么图形？在实际画图时置，看起来像什么图形？在实际画图时有什么办法？有什么办法？20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分4949秒秒 云在漫步云在漫步斜二测画法口诀： 平行依旧垂改斜， 横竖等纵折半；
11、 眼见为实遮为虚， 空间观感好体现。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5050秒秒 云在漫步云在漫步例2：用斜二测画法画水平放置的正五边形的直观图。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5050秒秒 云在漫步云在漫步解析：在已知正五边形ABCDE中，取BE所在直线为X轴，与线段BE垂直的直线为Y轴，Y轴过点A且交CD于F，原点O，分别过C、D作CGBE于G，DHBE于H。画对应的轴OX、OY，使XOY=135。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5050秒秒 云在漫步云
12、在漫步以O为中点，在X轴上取OB=OB，OE=OE，OG=OG，OH=OH，在X轴下方作GCY轴，HDY轴，使GC= HD= ；连接CD交Y轴于点F，在Y轴上点F的上方取FA 。连接AB、BC、DE，EA，擦去辅助线，所得五边形ABCDE即为正五边形ABCDE的直观图。,21GCHD21FA2120222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5050秒秒 云在漫步云在漫步20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5050秒秒 云在漫步云在漫步知识知识探究（二探究（二):):空间几何体的直观图的画法空间几何体的直观图的画法 思考思
13、考1:1:对于柱、锥、台等几何体的直观对于柱、锥、台等几何体的直观图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一图，可用斜二测画法或椭圆模板画出一个底面，我们能否再用一个坐标确定底个底面，我们能否再用一个坐标确定底面外的点的位置？面外的点的位置？z zx xo oy y20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5151秒秒 云在漫步云在漫步思考思考2:2:怎样画底面是正三角形，且顶点怎样画底面是正三角形，且顶点在底面上的投影是底面中心的三棱锥？在底面上的投影是底面中心的三棱锥？ABCMzBCASyoxBCAS20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313
14、时时5959分分5151秒秒 云在漫步云在漫步思考思考3:3:画棱柱、棱锥的直观图大致可分画棱柱、棱锥的直观图大致可分几个步骤进行？几个步骤进行？画轴画轴 画底面画底面成图成图画侧棱画侧棱20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5151秒秒 云在漫步云在漫步问题3：用斜二测画法作几何体直观图的一般步骤：1.画轴。画x、y、z三轴交原点，使xOy=45，xOz=90。2.画底面。在相应轴上取底面的边，并交于底面各顶点。3.画侧棱或横截面侧边，使其平行于z轴。4.成图。连接相应端点，去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线等。20222022年年5 5月月2626日星
15、期四日星期四1313时时5959分分5151秒秒 云在漫步云在漫步注意：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取。用斜二测画法画图的角度也可是自定，但要求图形有一定的立体感。作水平放置的圆的直观图可借助椭圆模板。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5151秒秒 云在漫步云在漫步例例3用用斜二测画法斜二测画法画长画长,宽宽,高分别是高分别是4cm,3cm,2cm的长方的长方体的直观图体的直观图 联想水平放置的平联想水平放置的平面图形的画法，并注意面图形的画法，并注意到高的处理到高的处理20222022年年5 5月月2626日星期四日星期
16、四1313时时5959分分5151秒秒 云在漫步云在漫步(2)MNPQ画画底底面面. .以以O O为为中中心心, ,在在x x轴轴上上取取线线段段M MN N, ,使使M MN N= = c cm m; ;在在轴轴上上取取线线段段P PQ Q, ,使使P PQ Q= = c cm m; ;分分别别过过点点和和作作y y轴轴的的平平行行线线, ,过过点点和和作作x x轴轴的的平平行行线线, ,设设它它们们的的交交点点分分别别为为A A, ,B B, ,C C, ,D D, ,四四边边形形A AB BC CD D就就是是长长方方形形的的底底面面A AB BC CD DxyZOxyZOABCDMNP
17、Q41.5 ,.xOz 190画画轴轴. .画画x x轴轴, ,y y轴轴, ,z z轴轴, ,三三轴轴交交于于点点O O, ,使使 x xO Oy y= =4 45 520222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5252秒秒 云在漫步云在漫步xyZOABCD 3 3 画画侧侧棱棱. .过过A A, ,B B, ,C C, ,D D, ,各各点点分分别别作作z z轴轴的的平平行行线线, ,并并在在这这些些平平行行线线上上分分别别截截取取2 2c cm m长长的的线线段段A AA A , ,B BB B , ,C CC C , ,D DD D . .MNPQ ,
18、4 4 成成图图. .顺顺次次连连接接A A , ,B B , ,C C , ,D D , ,并并加加以以整整理理( (去去掉掉辅辅助助线线, ,将将被被遮遮挡挡住住的的部部分分改改为为虚虚线线) )就就可可得得到到长长方方体体的的直直观观图图. .ABCDACDBABCD20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5252秒秒 云在漫步云在漫步作业（2013.5.31）1、斜二测画法规则是什么？2、叙述斜二测画法画平面图形步骤。3、用斜二测画法作几何体直观图的一般步骤有哪些？4、用斜二测画法画出下列图形：边长为4cm的正方形；棱长为3cm的正方体；长宽高分别
19、为5cm、4cm、3cm的长方体。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5252秒秒 云在漫步云在漫步问题4：怎样根据几何体的三视图用斜二测画法画出直观图？根据三视图想象其实物的大概形状：主要是由那些基本几何体构成以及在空间的位置关系等；画直观图时，按照斜二测画法规则，根据平面图形表达的几何体在直观图中画法（如圆画成椭圆，直角画成钝角或锐角等）和位置关系，从一个方向（如从下部开始）画起，最后擦去被遮盖的线段。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5353秒秒 云在漫步云在漫步思考4:4:已知一个几何体的三视图如下，
20、这个几何体的结构特征如何？试用斜二测画法画出它的直观图. .20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5353秒秒 云在漫步云在漫步侧视图侧视图俯视图俯视图正视图正视图zABoABo oxyxy20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5353秒秒 云在漫步云在漫步问题6：斜二测画法逆用注意什么？ 按照斜二测画法规则：平行性不变及横（x）竖(z)线段长不变，纵（y）折半 还原真实图形 求出相关量。20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5353秒秒 云在漫步云在漫步理论迁移理论迁移 例
21、例 如图，一个平面图形的水平放如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为的底角为4545，两腰和上底边长均为，两腰和上底边长均为1 1，求这个平面图形的面积求这个平面图形的面积. .ABCDABCD22S 20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5353秒秒 云在漫步云在漫步例5：把下图水平放置的直观图PQRS还原为真实图形。若SR=2，PQ=4，SP=2。试求真实图形PQRS的面积。yxOyX S RP Q OS RP Q20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959
22、分分5353秒秒 云在漫步云在漫步解析：PQOX ，PSOY SROX，PQOX，PSOY，SROXPQ=PQ，PS=2PS ，SRSR 故得真实图形如图： 由已知：PQ=4，SR=2，PS=4， R四边形PQRS是直角梯形，面积S= （SR+PQ）PS= （2+4）4=12.212120222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5353秒秒 云在漫步云在漫步ABCDEF例例用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图(1)在六边形在六边形ABCDEF中，取中，取AD所在的直线为所在的直线为X轴，对称轴轴，对称轴MN所在直线为所在
23、直线为Y轴，两轴交于点轴，两轴交于点O画对应的画对应的 轴，两轴相交轴，两轴相交于点于点 ，使，使,X YO45X OY MNOyxOxy注意：注意：(1)建系时要尽量考虑图形的对称性建系时要尽量考虑图形的对称性 (2)画水平放置平面图形的关键是画水平放置平面图形的关键是确定多边形顶点的位置确定多边形顶点的位置20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5454秒秒 云在漫步云在漫步OxyABCDEFMNABCDEFMNOyx，在，在 轴上取轴上取(2)以以O为中心，在为中心，在 上取上取xA DAD y12M NMN B CxN以点以点为中心，画为中心，画B
24、C轴，并等于轴，并等于M，再以，再以为中心，画为中心，画E FxEF轴，并等于轴，并等于注意：注意：水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原水平放置的线段长不变，铅垂放置的线段长变为原 来的一半来的一半20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5454秒秒 云在漫步云在漫步OxyABCDEFMNABCDEFMNOyx 并擦去辅助线并擦去辅助线x轴和轴和y轴，便获得轴，便获得正六边形正六边形ABCDEF水平放置的直观图水平放置的直观图A B C D E F(3)连接连接,A B C D E F F A请您总结斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤请您总结
25、斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5454秒秒 云在漫步云在漫步斜二测画法的步骤斜二测画法的步骤(1)在已知图形中取互相垂直的在已知图形中取互相垂直的x轴和轴和y轴，两轴相交于轴，两轴相交于O点点.画直观图时，把它画成对应的画直观图时，把它画成对应的x轴、轴、y轴，两轴交于轴，两轴交于O，使，使 ，它们确定的平面表示水平平面，它们确定的平面表示水平平面45 (135 )x Oy或或(2)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分别画轴的线段，在直观图中分别画成平行于成平行于x轴或轴或y轴
26、的线段轴的线段(3)已知图形中平行于已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半轴的线段，长度为原来的一半20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5555秒秒 云在漫步云在漫步 关于关于水平放置的水平放置的圆圆的直观图的直观图的画法，常用正等测画的画法，常用正等测画法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版法在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5555秒秒 云在漫步云在漫步例
27、例3 3已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图xyOOxyZOOOO正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5555秒秒 云在漫步云在漫步 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构三视图从细节上刻画了空间几何体的结构,根据三视图，我们可以得到一个精确的空间几根据三视图，我们可以得到一个精确的空间几何体何体,正是因为这个特点，使它在生产活动中得正是因为这个特点，使它在生产活动中得到广泛应用到广泛应用(比如零件图纸、建筑图纸等比如零件图纸、建筑图纸等).直观直观图是对空间几何
28、体的整体刻画，我们可以根据图是对空间几何体的整体刻画，我们可以根据直观图的结构想象实物的形象直观图的结构想象实物的形象20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5555秒秒 云在漫步云在漫步投影投影视图视图中心投影中心投影平行投影平行投影投影线交于一点投影线交于一点投影线平行投影线平行正投影正投影斜投影斜投影直观强、接近实物直观强、接近实物不改变原不改变原物形状物形状三视图三视图直观图直观图 正视图正视图侧视图侧视图俯视图俯视图斜二测画法斜二测画法长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等根据三视图，我们可以得根据三视图，我们可以得到一个精确的空间几何体到一个精确的空间几何体可以根可以根据直观据直观图的结图的结构想象构想象实物的实物的形象形象20222022年年5 5月月2626日星期四日星期四1313时时5959分分5555秒秒 云在漫步云在漫步再 见