111角的概念的推广2.pptx

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1、1.1.1 1.1.1 角的概念的推广角的概念的推广1、角的概念、角的概念初中是如何定义角的？初中是如何定义角的？ 从一个点出发引出的从一个点出发引出的两条射线两条射线构成的几构成的几何图形何图形. 这种概念的优点是形象、直观、容易理这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是范围是0, 360)， 这种定义称为这种定义称为静态定义静态定义，其弊端在于，其弊端在于“狭隘狭隘”.2角的概念的推广角的概念的推广“旋转旋转”形成角形成角 一条射线由原来的位置一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点绕着它的端点O按按逆时针方向逆时针

2、方向旋转旋转到另一位置到另一位置OB，就形成角，就形成角 旋转开始时的射线旋转开始时的射线OA叫做叫做角角的的始边始边，旋转终止的射线，旋转终止的射线OB叫做角叫做角的的终边终边，射线的，射线的端端点点O叫做角叫做角的的顶点顶点“正角正角”与与“负角负角”、“0角角” 我们把我们把按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做正角正角，把，把按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转所形成的角叫做所形成的角叫做负角负角，如图，以，如图，以OA为始边的角为始边的角=210，=150，=660， 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形

3、成了一个角，并把这个角叫做零度角（这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（0） 角的记法：角的记法：角角或可以简记成或可以简记成 特别地，当一条射线没有作任何旋转时，特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零度角（做零度角（0） 角的记法：角的记法：角角或可以简记成或可以简记成.角的概念扩展的意义：角的概念扩展的意义：用用“旋转旋转”定义角之后，定义角之后，角的范围角的范围大大地大大地扩大扩大了了 角有正负之分角有正负之分; 如：如： =210 , = 150 , =660 . 角可以任意大角可以任意大;实例：体操动

4、作：旋转实例：体操动作：旋转2周周（360 2=720 ） 3周（周（360 3=1080 ） 还有零角还有零角, 一条射线，没有旋转一条射线，没有旋转. 角的概念推广以后，它包括角的概念推广以后，它包括任意大小的正任意大小的正角、负角和零角角、负角和零角 要注意，正角和负角是表示具有要注意，正角和负角是表示具有相反意义相反意义的的旋转量旋转量，它的正负规定纯属于，它的正负规定纯属于习惯习惯，就好象，就好象与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好与正数、负数的规定一样，零角无正负，就好象数零无正负一样象数零无正负一样用旋转来描述角，需要注意三个要素用旋转来描述角，需要注意三个要素（旋转中心、旋

5、转方向和旋转量旋转中心、旋转方向和旋转量） （2）旋转方向：旋转变换的方向分为）旋转方向：旋转变换的方向分为逆时针和逆时针和顺时针顺时针两种，这是一对两种，这是一对意义相反的量意义相反的量，根据以，根据以往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正往的经验，我们可以把一对意义相反的量用正负数来表示，那么许多问题就可以解决了；负数来表示，那么许多问题就可以解决了；（1）旋转中心：作为角的顶点）旋转中心：作为角的顶点.（3）旋转量：）旋转量： 当旋转超过一周时，旋转量即超过当旋转超过一周时，旋转量即超过360，角度的绝对值可大于角度的绝对值可大于360 .于是就会出现于是就会出现720 ， 540等角

6、度等角度.3“象限角象限角” 为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系为了研究方便，我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。中来讨论角。 角的顶点重合于角的顶点重合于坐标原点坐标原点，角的始边重合于，角的始边重合于x轴的正半轴轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 例如：例如：30 、390 、 330 是第是第象限角，象限角， 300 、 60 是第是第象限角，象限角， 585 、1300 是第是第象限角，

7、象限角， 135 、 2000 是第是第象限角等象限角等4终边相同的角终边相同的角 观察：观察：390 ， 330 角，它们的终边都与角，它们的终边都与30 角角的终边相同的终边相同.探究：探究：终边相同的角都可以表示成一个终边相同的角都可以表示成一个0 到到360 的角与的角与k(kZ)个周角的和个周角的和： 390 =30 +360 (k=1), 330 =30360 (k=1) 30 =30 +0360 (k=0), 1470 =30 +4360 (k=4) 1770 =305360 (k=5) 结论：结论： 所有与所有与 终边相同的角连同终边相同的角连同 在内可以在内可以构成一个构成一

8、个集合集合： | | =+k=+k360360(k kZ)Z) 即：任何一个与角即：任何一个与角 终边相同的角，都可以表终边相同的角，都可以表示成示成角角 与整数个周角的和与整数个周角的和注意以下四点：注意以下四点： kZ； 是是任意任意角；角； k360与与 之间是之间是“+”号，号， 如如k36030,应看成应看成k360+(30)； 终边相同的角不一定相等；终边相同的角不一定相等； 相等的角，终边一定相同；相等的角，终边一定相同； 终边相同的角有无数多个，它们相差终边相同的角有无数多个，它们相差360360的的整数倍整数倍. .例例1.1. 在在0到到360范围内，找出与下列各角终范围内

9、，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 120；(2) 640；(3) 95012.解：解：120=360+240， 240的角与的角与120的角终边相同，的角终边相同， 它是第三象限角它是第三象限角 640=360+280， 280的角与的角与640的角终边相同，的角终边相同， 它是第四象限角它是第四象限角 95012=3360+12948， 12948的角与的角与95012的角终边相同，的角终边相同， 它是第二象限角它是第二象限角例例2.写出终边落在写出终边落在Y轴上的角的集合。轴上的角的集合。终边落在坐标轴上的情形终边落在坐标轴上的

10、情形xyo0090018002700 +Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600KX3600例例2 2.写出终边落在写出终边落在y轴上的角的集合。轴上的角的集合。 解：解： 终边落在轴终边落在轴正正半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S1=| | =900+K3600,KZZ =| =900+2K1800,KZ=| =900+1800 的的偶偶数倍数倍终边落在轴终边落在轴负负半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S2=|=2700+K3600,KZ=| =900+1800+2K1800,KZ=| =900+（2K+1）1800 ，KZ=| =900+1800 的的奇奇数倍

11、数倍S=S1S2所以，终边落在所以，终边落在轴轴上的角的集合为上的角的集合为=| =900+1800 的的偶偶数倍数倍| =900+1800 的的奇奇数倍数倍=| =900+1800 的的整数整数倍倍 =| =900+K1800 ，KZZ偶数偶数奇数奇数整数整数XYO900+K36002700+k3600变式变式1：分别分别写出终边落在写出终边落在轴轴正半轴正半轴上上、在在轴负半轴轴负半轴上、在上、在y轴正半轴上、在轴正半轴上、在y轴负半轴轴负半轴上、在轴上、在上、在轴上、在y轴上、坐标轴上轴上、坐标轴上的角的集的角的集合合.变式变式2：写出终边落在直线：写出终边落在直线y=x上的角的集合上的

12、角的集合.变式变式4：分别分别写出终边落在第一写出终边落在第一、二、三、四、二、三、四、一三、二四一三、二四象限的角的集合象限的角的集合.变式变式3：写出终边落在直线：写出终边落在直线y=-x上的角的集合上的角的集合.变式变式3：写出终边落在直线：写出终边落在直线 上的角的集上的角的集合合. 写出终边落在写出终边落在 轴上的角的集合。轴上的角的集合。 解解：终边落在：终边落在 轴轴正正半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S1=| = K3600,KZ =| = 2K1800,KZ=| = 1800 的的偶偶数倍数倍终边落在终边落在 轴轴负负半轴上的角的集合为半轴上的角的集合为S2=| = K3

13、600,KZ=| = 2K1800,KZ=| = （2K+1）1800 ，KZ=| = 1800 的的奇奇数倍数倍S=S1S2所以终边落在所以终边落在 轴轴上的角的集合为上的角的集合为=| =1800 的的偶偶数倍数倍| =1800 的的奇奇数倍数倍=| =1800 的整数倍的整数倍=| =K1800 ，KZZ偶数偶数奇数奇数 整数整数XYOK36001800+k3600y xyxy x900 +900 +900 +2700 +900+ 1800+ 900 +900 + 1800 + 例例21800+ yx例例3.3. 写出与下列各角终边相同的角的集合写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把并

14、把S中在中在360720间的角写出来：间的角写出来： (1) 60；(2) 21；(3) 36314.解：解：(1) S=| =k360+60 (kZ) , S中在中在360720间的角是间的角是 1360+60=300； 0360+60=60； 1360+60=420(2) S=| =k36021 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 036021=21； 136021=339； 236021=699(3) | =k360+ 36314 (kZ) S中在中在360720间的角是间的角是 2360+36314=35646； 1360+36314=314； 0360+36314=36

15、314知识拓展知识拓展 讨论：若讨论：若 是第二象限角时是第二象限角时,则则2 ， 分别分别是第几象限的角？是第几象限的角？1. 1. 若若 是第二象限的角，则是第二象限的角，则 /2/2是（是（ ） A A 第一或第三象限第一或第三象限 B B第二或第三象限第二或第三象限 C C 第三或第四象限第三或第四象限 D D第一或第四象限第一或第四象限 A小结：小结：1.任意角的概念任意角的概念正角：射线按正角：射线按逆逆时针方向旋转时针方向旋转形成的角形成的角负角：射线按负角：射线按顺顺时针方向旋转形成的角时针方向旋转形成的角零角：射线零角：射线不不作旋转形成的角作旋转形成的角1)置角的顶点于置角

16、的顶点于原原点点2)始边重合于始边重合于X轴的轴的正正半轴半轴2.象限角象限角终边终边落在落在第几象限第几象限就是就是第几象限角第几象限角3 . 终边与终边与 角相同的角角相同的角 K3600，KZ作业：作业：P9习题习题1.1 第第1题，第题，第3题的（题的（2）（）（4）（）（6）课堂练习课堂练习 1、锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都锐角是第几象限的角？第一象限的角是否都是锐角？小于是锐角？小于90的角是锐角吗？区间的角是锐角吗？区间(0,90)内内的角是锐角吗？的角是锐角吗？答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是答：锐角是第一象限角；第一象限角不一定是锐角；小于锐角；小于90的角

17、可能是零角或负角，故它的角可能是零角或负角，故它不一定是锐角；区间不一定是锐角；区间(0,90)内的角是锐角内的角是锐角 2、已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在已知角的顶点与坐标系原点重合，始边落在x轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是轴的正半轴上，作出下列各角，并指出它们是哪个象限的角？哪个象限的角？ (1)420，(2) 75，(3)855，(4) 510 答：答：(1)第一象限角；第一象限角； (2)第四象限角，第四象限角， (3)第二象限角，第二象限角， (4)第三象限角第三象限角. 3、已知、已知, 角的终边相同，那么角的终边相同，那么的终边的终边在（在（ ） A x轴的非负

18、半轴上轴的非负半轴上 B y轴的非负半轴上轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上轴的非正半轴上 D y轴的非正半轴上轴的非正半轴上A4、终边与坐标轴重合的角的集合是（、终边与坐标轴重合的角的集合是（ ） A |=k360 (kZ) B |=k180 (kZ) C |=k90 (kZ) D |=k180+90 (kZ) C5 、已知角、已知角2的终边在的终边在x轴的上方，那么轴的上方，那么是是( ) A 第一象限角第一象限角 B 第一、二象限角第一、二象限角 C 第一、三象限角第一、三象限角 D 第一、四象限角第一、四象限角C6、若、若是第四象限角，则是第四象限角，则180是（是（ ） A 第一象

19、限角第一象限角 B 第二象限角第二象限角 C 第三象限角第三象限角 D 第四象限角第四象限角C7、在直角坐标系中，若、在直角坐标系中，若与与终边互相垂直，终边互相垂直，那么那么与与之间的关系是（之间的关系是（ ） A. =+90o B =90o C =k360o+90o+,kZ D =k360o90o+, kZD8、若、若90135，则，则的范围是的范围是_，+的范围是的范围是_.(0,45)(180,270)9、若、若的终边与的终边与60角的终边相同，那么在角的终边相同，那么在0,360范围内，终边与角范围内，终边与角 的终边相同的角的终边相同的角为为_.解：解：=k360+60，kZ.所以

20、所以 =k120+20， kZ.当当k=0时，得角为时，得角为20，当当k=1时，得角为时，得角为140，当当k=2时，得角为时，得角为260.每一次的加油，每一次的努力都是为了下一次更好的自己。22.5.2522.5.25Wednesday, May 25, 2022天生我材必有用，千金散尽还复来。16:29:3516:29:3516:295/25/2022 4:29:35 PM安全象只弓，不拉它就松，要想保安全，常把弓弦绷。22.5.2516:29:3516:29May-2225-May-22得道多助失道寡助，掌控人心方位上。16:29:3516:29:3516:29Wednesday,

21、May 25, 2022安全在于心细，事故出在麻痹。22.5.2522.5.2516:29:3516:29:35May 25, 2022加强自身建设，增强个人的休养。2022年5月25日下午4时29分22.5.2522.5.25扩展市场，开发未来，实现现在。2022年5月25日星期三下午4时29分35秒16:29:3522.5.25做专业的企业，做专业的事情，让自己专业起来。2022年5月下午4时29分22.5.2516:29May 25, 2022时间是人类发展的空间。2022年5月25日星期三16时29分35秒16:29:3525 May 2022科学，你是国力的灵魂；同时又是社会发展的标志。下午4时29分35秒下午4时29分16:29:3522.5.25每天都是美好的一天，新的一天开启。22.5.2522.5.2516:2916:29:3516:29:35May-22人生不是自发的自我发展，而是一长串机缘。事件和决定，这些机缘、事件和决定在它们实现的当时是取决于我们的意志的。2022年5月25日星期三16时29分35秒Wednesday, May 25, 2022感情上的亲密，发展友谊；钱财上的亲密，破坏友谊。22.5.252022年5月25日星期三16时29分35秒22.5.25谢谢大家！谢谢大家！