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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流第一讲空间几何体的直观图与三视图.精品文档.第四篇 立几何体第一章 空间几何体第一讲 空间几何体的直观图与三视图 【考纲要求】：1了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征。 2能画出简单空间几何体（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图。3会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。4能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化。 【要点整合】： 1.基本概念
2、：(1)把物体在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影(2)如果图形F上的所有点在平面内关于直线l的平行投影构成图形F，则F叫做图形F在内关于直线l的平行投影平面叫做投影面，l叫做投影线(3)把光从一点向外散射形成的投影叫做中心投影，一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在平面上的中心投影(4)通常，总是选择三个两两互相垂直的平面作为投影面一个投影面水平放置，叫做水平投影面，光线从几何体的上面向下面正投影，投射到这个平面内的图形叫做俯视图一个投影面放置在正前方，这个投影面叫做直立投影面；光线从几何体的前面向后面正投影，投射到这个平面内的图形叫做正（主）视图和直立、水平两个
3、投射面都垂直的投射面叫做侧立投影面，通常把这个平面放在直立投影面的右面，光线从几何体的左面向右面正投影，投射到这个平面内的图形叫做侧（左）视图将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图(5)用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图(6)斜二侧画法的规则是：在已知图形中取互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使xOz90，且yOz90.画直观图时，把Ox、Oy、Oz画成对应的轴Ox、Oy、Oz，使xOy45(或135)，xOz90，yOz90，xOy所确定的平面表示水平平面已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图
4、中分别画成平行于x轴，y轴、z轴的线段并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同已知图形中平行于x轴和z轴(或在x轴和z轴上)的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴(或在y轴上)的线段，长度为原来的一半画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图2.基本性质： (1)平行投影的投影线是相互平行的(2)中心投影的投射线是交于一点的3.基本方法： (1)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线，尺寸线用细实线标出(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线画三视图的基本要求是：正俯一
5、样长，俯侧一样宽，正侧一样高(3)多面体与旋转体的组合体画图时，应优先考虑多面体的对角面，注意旋转体轴截面与多面体几何量之间的联系4.易错警示：(1)平行投影的投射线互相平行，中心投影的投射线相交于一点(2)直观图与原图形面积的关系讨论中，要牢记原来平行于y轴的变成夹角45，长度减半(3)直观图与三视图的相互转化，应牢记柱、锥、台、球的图形特征及斜二测画法规则和正投影性质，特别注意侧视图的投影方向(4)画图时，被遮挡部分应画成虚线，和平面几何不同，添加的辅助线被遮挡的画成虚线，否则应画实线【例题精析】：考点1：直观图和三视图的概念例1. 如右图所示，一个边长为2的正三角形ABC，其斜二测直观图
6、ABC的面积为_解析：原正三角形中边长为2 作则点评：不管是已知原几何图形研究其直观图，还是已知直观图研究原几何图形，关键是把握好斜二侧画法的规则。变式1：如图所示是水平放置三角形的直观图，D是ABC的BC边中点，AB、BC分别与y轴、x轴平行，则三条线段AB、AD、AC中 ()A最长的是AB，最短的是ACB最长的是AC，最短的是ABC最长的是AB，最短的是ADD最长的是AC，最短的是AD例2.如图所示，正四面体ABCD中，S为AD的中点，Q为BC上异于中点和端点的任一点，则SQD在四个面上的射影不可能是()解析：在平面ABC上射影为B，在平面ACD上射影为D(Q射影不可能为C)，在平面ABD
7、上射影为D(Q的射影不可能为B)，在平面BCD上射影为C(S射影不可能为B或C)，故在四个平面上射影都不可能为A.点评：要确定某平面图形在某一平面上的投影，关键是先确定平面图形上顶点的射影，再利用两点确定直线的原理确定平面图形的投影。变式2：如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的正视图是()考点2：几何体的直观图和三视图综合问题例3：已知某几何体的三视图如右图所示，其中俯视图为正三角形，设D为AA1的中点(1)作出该几何体的直观图并求其体积(2)求证：平面BB1C1C平面BDC1.(3)BC边上是否存在点P，使AP平面BDC1
8、？若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论解析：由题意可知该几何体为直三棱柱，且它的直观图如图所示由图知底面正三角形边长为2，棱柱高为3，SABC，V3.(2)证明：连结B1C交BC1于E点，则E为B1C、BC1的中点，连结DE.ADA1D，ABA1C1，BADDA1C190，ABDA1C1D.BDC1D.DEBC1.同理，DEB1C，又B1CBC1E.DE平面BB1C1C.又DE平面BDC1，平面BB1C1C平面BDC1.(3)解：取BC的中点P，连结AP，则AP平面BDC1，证明：连结PE，则PEAD，且PEAD，四边形APED为平行四边形APDE.又DE平面BDC1，AP 平面BDC1，
9、AP 平面BDC1.点评：把直观图、三视图与立体几何中的判断、证明、计算有机的结合起来，体现了对新增内容的考查,这要求熟练三视图和直观图的转化,能正确研究面面垂直和线面平行问题。变式3：已知四棱锥PABCD的直观图与三视图如图所示，点E为棱AD的中点，在棱PC上是否存在一点F，使得EF平面PBC？若存在，求出线段EF的长度；若不存在，说明理由例4. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）.(1)当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（结果精确到0.01平方米）;(2)若要制作一个如图
10、放置的，底面半径为0.3米的灯笼，请作出用于灯笼的三视图（作图时，不需考虑骨架等因素）. 解析：(1) 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l=1.2-2r(0r0.6)，S=-3p(r-0.4)2+0.48p，所以当r=0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；(2) 当r=0.3时，l=0.6，作三视图：主视图侧视图俯视图点评：熟练三视图和直观图的转化,能正确研究一些实际问题。变式4：某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图(1)请画出该安全标识墩的侧视图；(2)求该安全标识墩的体积；
11、(3)证明：直线BD平面PEG.【同步练习】：1.正方体的直观图如图所示，则其展开图是 ()2. 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AA1、C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AGFE在该正方体的表面上的正投影不可能是 ()3. 一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积(单位：cm2)为 ()A4812 B4824 C3612 D36244. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为 （ ）EFDIAHGBCEFDABC侧视图1图2BEABEBBECBED5某几何体的一条棱长为，
12、在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a + b的最大值为 （ ）A. B. C. 4D. 6. 用若干个棱长为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都如右图形，对这个几何体，下列说法正确的是 （ ） A这个几何体的体积一定是7 B这个几何体的体积一定是10 C这个几何体的体积的最小值是6，最大值是10 D这个几何体的体积的最小值是7，最大值是117. 如图，分别为正方体的面、面的中心，则四边形在该正方体的面上的射影可能是_。8. 某几何体的三视图如图(尺寸的长度单位为m)则该几何体的体积为_m3.9.一个三角形
13、用斜二测画法画出来是一个边长为1的正三角形，则此三角形的面积是 _ 10.若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是_11.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为 .12. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S13. 如下的三个图中，最左边的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图它的正视图和俯视图在其右侧画出（单位：cm）（）在正视图下面，按照画三视图
14、的要求画出该多面体的俯视图；（）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；（）在所给直观图中连结，证明：面14. 一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M、N、Q分别是AF、BC、FC的中点）. （I）求证：MQBF; （II）求证：MN平面CDE;（）求多面体ACDEF的体积.【变式和练习的答案】：变式1：B 提示：由条件知，原平面图形中ABAC，从而ABADAC.变式2：B 变式3：EF=.在棱PC上存在点F，使得EF平面PBC.由三视图知，此四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱PA底面ABCD，PA2，AB、AP、AD两两互相垂直，以AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则
15、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)，E(0,1,0)，P(0,0,2)，设F(x，y，z)是PC上的点，则(01)，(x，y，z2)，(2,2，2)，则，F(2，2，22)，(2，21,22)，若EF平面PBC，则，(0,2,0)，(2,2，2)，这时F(1,1,1)，0,1，存在点F且为棱PC的中点，(1,0,1)，EF|.变式4：(1)该安全标识墩侧视图如图所示(2)该安全标识墩的体积VVPEFGHVABCDEFGH40406040402064000(cm)3.(3)由题设知四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形，FHEG，又ABCDEFGH为长方体，BDFH.设点O是
16、EFGH的对称中心，PEFGH是正四棱锥，PO平面EFGH.而FH平面EFGH，POFH.FHPO，FHEG，POEGO，PO平面PEG，EG平面PEG，FH平面PEG.而BDFH，故BD平面PEG.1.D 提示：A、C折成正方体后，三个侧面小正方形中的线均相连，B折起后，三条线平行，故A、B、C均不对2.B 提示：在上、下两个面上投影为A，在左、右两个面上投影为D，在前、后两个面上投影为C，故不可能为B.3.A 提示：三棱锥如图所示AO底面BCD，O是BD中点，BCCD6，BCCD，AO4，ABAD.SBCD6618，SABD6412.取AC中点E，连结AE、OE.可得BCAE，AE5，SA
17、BCSACD6515，S全181215154812.4.A 提示：解题时只需在题图的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.5.C 提示：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算。如图设长方体的长宽高分别为，由题意得，所以当且仅当时取等号。6. D7. 平行四边形或线段8. 4 提示： 由三视图知，三棱锥的高为侧视图中直角三角形的竖直边，底面三角形一边上的高恰为左视图中直角三角形的水平边，其直观图如图所示PF2，CE3，AB4，V2344(m3)9.10.1 提示：如图，该立体图形为直三棱柱，所以其体积为11. 提示：画出直观图：图中四棱锥即是，所以最长的一条棱的长为12. 由已知可得该几何体是
18、一个底面为矩形,高为4,顶点在底面的射影是矩形中心的四棱锥V-ABCD ;(1) (2) 该四棱锥有两个侧面VAD. VBC是全等的等腰三角形,且BC边上的高为 , 另两个侧面VAB. VCD也是全等的等腰三角形,AB边上的高为 ；因此 13. （）如图（）所求多面体体积ABCDEFG（）证明：在长方体中，连结，则因为分别为，中点，所以，从而又平面，所以面14.由三视图可知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱住ADEBCF，且AB=BC=BF=2，DE=CF=2CBF= （I） 取BF中点G，连MG、MQ、QG，由M、G、Q分别为AF、BF、CF的中点，MGAB，QGCB。MGBF GQBF。又MGGQ=G， BF面GQM MQBF。（II）取BF中点G，连MG、NG，由M、N分别为AF、BC的中点可得，NGCF，MGEF，平面MNG平面CDEF.MN平面CDEF。（）取DE的中点H.AD=AE，AHDE，在直三棱柱ADEBCF中，平面ADE平面CDEF，面ADE面CDEF=DE.AH平面CDEF。多面体ACDEF是以AH为高，以矩形CDEF为底面的棱锥.在ADE中，AH=，棱锥ACDEF的体积为