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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流测量平差.精品文档.测量平差一测量平差基本知识1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。2.协方差传播律及 协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。观测值线性函数的方差：函数向量：Y=F(X)Z=K(X)其误差向量为：Y=FXZ=KX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为多个观测值线性函数的协方差阵非线性的协方差传播3.权及常用的定权方法权表示比例
2、关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。为观测值的权，是可以任意选定的比例常数。单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个， 令，则得:上式说明是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。凡是方差等于的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单位权观测值。无论取何值，权之间的比例关系不变。测量中常用的定权方法.水准测量的权式中，N为测站数。式中，S为水准路线的长度。.距离量测的权式中，为丈量距离。.等精度观测算术平均值的权式中，为i次时同精度观测值的平均值。4.
3、 协因数和协因数传播律协因数与协因数阵利用方差协方差与协因数弧协因数的关系导出协因数阵。权阵 协因数传播律将协方差传播公式乘以，并顾及，即可得到观测向量X与其函数向量Y、Z之间的协因数传播公式。5.最小二乘原理 最小二乘准则:顾及方差阵与权阵的关系，并用的估值V代替又可得观测量真值向量的估值公式为：式中称为观测向量的“最或然值”向量或“观测值的平差值”向量；V称为改正数向量。根据最小二乘准则进行的估计称为最小二乘估计，按此准则求得一组估值的过程，称为最小二乘平差，由此而得到的一组估值是满足方程的唯一解。如果方差阵D和权阵P是非对角阵，则表示观测值是相关的，按此准则进行的平差即称为相关观测平差。
4、如果是对角阵，则表示观测值是彼此不相关的，此时称为独立观测平差。当观测值不相关，即P为对角阵时，则有：当观测值不相关, 并为等精度,即P=I时, 则有:二 条件平差 1.条件平差原理 设r个平差值线性条件方程：线性化后得改正数条件方程：其中令则改正数条件方程及其闭合差计算的矩阵表达式分别为按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为，称为联系数向量。组成函数对其求导整理得改正数的计算公式改正数方程当P为对角阵时，改正数方程的纯量形式为改正数条件方程与改正数方程联立，称为条件平差的基础方程。此时，方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。将改正数方程代入改正数条件方程，得令得 联系数法方程秩,即是
5、个r阶的满秩方阵，由此解出当P为对角阵时，法方程的纯量形式为解出K，将其代入改正数方程，求出改正数V，在按可求得平差值。第二节 条件方程 条件方程的列立要求：1、条件式数目足数；2、条件式之间线性无关。一、水准网（同5.1中所述,略）二、 测角网1.单三角形（同5.1中所述，略）2.中心多边形以中心三边形为例，画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程的一般表达式。重点讲解极条件的列立方法和规律。举例（中心三边形实例）列条件方程和改正数条件方程。3、大地四边形画出示意图，列出其条件方程和改正数条件方程的表达式。重点讲解极条件的列立方法和规律。举例上图中，若以对角线交点为极列极条件，其极条件闭合
6、差超限，说明角度观测存在问题，如何返工？先让让学生回答，然后教师讲解。三、测边网1.中心多边形画出测边中心三边形示意图。（1）列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程（2）建立反算角改正数与边改正数之间的关系（3）导出以边改正数表示的条件方程2.大地四边形画出测边大地四边形示意图。（1）列出以反算角表示的条件方程和改正数条件方程（2）建立反算角改正数与边改正数之间的关系（3）导出以边改正数表示的条件方程四、边角网如图，t=2p-q-3=8-3-3=2,r=n-t=8-2=6应列出6个条件方程条件分析：内角和条件 2个正弦条件 2个固定角条件 1个规定边条件 1个边角网条件方程列立例题讲解分析
7、。小结：条件方程列立，首先应能正确确定应列的条件数目，保证方程之间不相关，其次应能分析条件类型，最后应掌握各类方程的列立规律，正确列出条件方程。第三节 精度评定 一、单位权方差估值计算的计算：1、2、3、二、协因数阵设列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中表中与V、W、K的互协因数阵为零，说明与V、W、K统计不相关证明：表中、的计算表达式。三、观测值平差值的精度评定四、平差值函数的精度评定1平差值函数表达式及其协因数计算列出平差值函数表达式按泰勒公式展开，并按协因数传播律导出平差值函数协因数的计算公式fi（i=1,2,n）
8、为偏导数值。2权函数式权函数式3平差值函数的方差例1 水准网函数式和权函数式的列立例题。例2 测角网函数式和权函数式的列立例题。小结:本节主要介绍了利用改正数计算单位权中误差的公式，各种平差量协因数和互协因数及方差协方差的计算，平差值函数式和权函数式的列立方法，平差值函数协因数和互协因数及方差协方差的计算方法，应重点掌握。第六章 附有参数的条件平差 一、概述设，又可列出1个极条件和一个固定边条件极条件为（以A点为极）：固定边条件为（由AC边推算到AB边）：或由于选了一个参数，增加了一个条件，一般情况下，若选了u个参数，则条件方程的数目为c=r+u.从以上5 个方程出发进行平差，就是附有参数的条
9、件平差方法。二、基础方程观测量和的最佳估值，用奇表示的附有参数的条件平差函数模型为条件方程或改正数条件方程 改正数条件方程常数项（闭合差）计算式按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为，称为联系数向量。组成函数将对和分别求一阶导数，并令其为零，导出改正数的计算公式改正数方程附有参数的条件平差的基础方程为：方程的个数与未知数的个数相同，方程有唯一解。三、基础方程的解将改正数方程代入改正数条件方程，并令，则得法方程 法方程秩，即是个c阶的满秩方阵，顾及，由法方程可解出四、精度评定（一）、单位权方差估值计算的计算：1、2、3、（二）、协因数阵设列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出
10、各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中证明：表中、的计算表达式。（三）、观测值平差值的精度评定（四）、平差值函数的精度评定设对其全微分，得权函数式：式中按协因数传播律得的协因数为：的中误差为：小结：掌握此种平差方法的应用范围，平差的方法步骤。第七章 间接平差 第一节 间接平差原理 一、平差值方程与误差方程观测量和的最佳故值，用平差值和改正数表示间接平差的函数模型为平差值方程（观测方程）误差方程 误差方程常数项（闭合差）计算式以测角单三角形为例，列出平差值方程和误差方程。二、方程的纯量表达式与矩阵表达式设有n个条件方程：线性化后得误差方程为其中令则误差方程的矩阵表达式为误差方程常
11、数项（闭合差）计算式的矩阵表达式为三、基础方程误差方程中未知数个数（n+t）大于方程个数n，方程有无穷多组解。根据最小二程原理可求得满足方程的唯一一组解。求VTPV的自由极值得基础方程四、基础方程的解将基础方程第一式代入第二式，令，得法方程解上方程得：当P为对角阵时，法方程的纯量形式为五、按间接平差法求平差值的计算步骤及示例用水准网例题讲解平差的方法步骤。第二节 误差方程 一、参数个数的确定与选取参数个数：等于必要观测数 t；参数选取：水准网一般选择未知点高程为参数，也可选择观测高差为参数；平面控制网一般选择未知点坐标为参数，也可选择观测角度等为参数。参数选择要求：足数；参数间线性无关。二、平
12、差值方程及误差方程的列立1、观测高差平差值方程及误差方程的列立例1，以具有两个未知点的符合水准网为例讲解2、观测方向平差值方程及其误差方程的列立设 计算参数近似值 平差值方程：其中则观测方向的误差方程为：或ajk、bjk称j、k方向的方向系数，对于任一方向jm有：坐标近似值的计算：可用支导线法、前方交会法等方法计算。定向角近似值的计算：误差方程列立规律：符号；系数；特殊情况；单位：坐标改正数为厘米时系数除100，.。3、观测角度平差值方程及其误差方程的列立平差值方程：误差方程：例2，以固定角内插一点得测角网为例讲解方程列立及求平差值的方法、步骤。4、观测边长平差值方程及其误差方程的列立设：平差
13、值方程：其中误差方程：常数项：例3，以中心三边形内差一点的测边网为例讲解求未知点坐标的方法、步骤。小结：观测方程和误差方程的列立，首先应能正确确定应选参数数目，保证所选参数之间线形无关，其次应能掌握各类方程的列立规律，正确列出相应观测方程和误差方程。第三节 精度评定 一、单位权方差估值计算的计算：3、在线性方程组解算表中计算二、协因数阵与互协因数阵设：按协因数传播导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵表中与V和与V的互协因数阵为零，说明与V、与V统计不相关证明表中，的计算表达式。三、参数的精度评定设所求量（如未知点高程或纵横坐标）为参数Xi，i=
14、1，2，t，则四、参数函数的精度计算设参数函数为：线性化得权函数式为：由协因数传播律得：五、各种平差量权函数式的列立1、高差平差值如图设未知点高程为参数，所求高差平差值的函数式为其权函数式为若j、k为已知点，其前的系数为零。2、方位平差值如图设未知点坐标为参数，所求方位平差值的函数式为求全微分得其权函数式为式中的单位为（），、的单位为分米，若j、k为已知点，其、前的系数为零。3、角度平差值如图设未知点坐标为参数，所求角度平差值的函数式为求全微分得其权函数式为式中的单位为（），、的单位为分米，若j、k为已知点，其、前的系数为零。4、边长平差值如图设未知点坐标为参数，所求边长平差值的函数式为求全微
15、分得其权函数式为式中、的单位为分米，若j、k为已知点，其、前的系数为零。例题1 水准网求高程平差值精度和高差平差值精度的例题例题2 测角网求网中某边方位中误差和边长相对中误差，列函数式和权函数式例题。小结:本节主要介绍了各种平差量协因数和互协因数及方差、协方差的计算，参数函数式和权函数式的列立方法，参数函数协因数和互协因数及方差协方差的计算方法，应重点掌握。第八章 附有限制条件的间接平差 一、概述如上图，选取i、k两点的坐标为未知数, 可列出4个平差值方程。由于选定的未知数个数（u）多于必要观测数（t）, 所以在所选定的未知数之间存在s=u-t个限制条件。 即 把上列两式线性化得二、基础方程已
16、知附有参数的条件平差法的函数模型其线性形式为其中由于n+sn+u,不能求得和的唯一解，只能按最小二乘原理求和的最佳故值v和，从而求得观测量和的最佳故值和，即为此，可用观测值平差值和参数平差值表示附有参数的条件平差的函数模型，即平差值方程（观测方程） 限制条件方程或用观测值改正数和参数改正数表示附有限制条件的间接平差法的函数模型，即误差方程限制条件方程误差方程常数项（闭合差）计算式限制条件方程常数项（闭合差）计算式按求函数极值的拉格朗日乘数法，设其乘数为，称为联系数向量。组成函数将对求一阶导数，并令其为零，得转置得上式与误差方程和限制条件方程联立得附有参数的条件平差的基础方程：方程的个数与未知数
17、的个数相同，方程有唯一解。三、基础方程的解将基础方程的第二式代入第一式与第三式联立，得 附有限制条件的间接平差法的法方程将法方程第一式左乘与第二式相减，得令则有式中的秩R（）R（）R（C）S，且，故为s阶满秩对称方阵。将上式代入法方程第一式，可解得代入误差方程可解出改正数V，从而可解出：四、精度评定（一）、单位权方差估值计算的计算：3、在线性方程组解算表中计算（二）、协因数阵与互协因数阵令： 列出各分块向量解的表达式及其微分式，利用协因数传播律导出各量的协因数阵和各量之间的互协因数阵的结果列于相应表中，讲解。（三）、参数的精度评定设所求量（如未知点高程或纵横坐标）为参数Xi,i=1,2,t,则
18、（四）、参数函数的精度计算设参数函数为：线性化得权函数式为：由协因数传播律得：第九章 线性对称方程组原位替换解算与平差应用实例 第一节 正定矩阵三角分解法 一、正定矩阵的三角分解 设线性方程组中的系数阵为正定矩阵，即： （1）将N分解为下三角阵L与其转置矩阵的乘积，即 （2）式中 （3）分解式又可表示为： （4）用比较法可得： （5）当i=1时，有 （6）顾及（6）式对（5）式归纳整理可得 (7)其中(8)二、求线性对称方程组中的未知数设线性对称方程组为： 或 (9) 其中N 阵正定 (10) (11)将（2）式代入（9）式得： (12)令 (13) (14)则有 (15)将（3）式、（14）
19、式和（11）式代入（15）式，并用比较法可解得 （i=1，2，t） (16)顾及（6）式、（7）式和（8）式对（16）式归纳整理得 （i=1，2，t） (17)其中 (18)将（3）式、（14）式和（10）式代入（13）式，并用比较法得： (19)顾及（7）式、（17）式和（18）式对（19）式归纳整理可得： (20)当 i=t 时有 (21)三、求线性对称方程组中未知数的函数设线性对称方程组中未知数的函数为 (22)将（21）式和（20）式依次代入上式并归纳整理得： (23)其中 (24)当（22）式中 fi= ui (i=1,2,.,t) 时，又可得： (25)四、线性对称方程组中未知数及
20、其函数解的紧凑格式利用（21）式和（20）式可求得线性对称方程组中的未知数，利用（23）式和（25）式可求得线性对称方程组中的未知数函数值，这些计算均可在“紧凑格式”表1中进行。 表1 线性对称方程组解算的紧凑格式 1 2 t当时，表1中所在的行可以略去。若未知数的函数不只一个，则每增加一个函数在表1中增加一行，填入相应和的值，按计算F的方法计算即可。算例 已知线性方程组 未知数函数式为： 按线性方程组解算的“紧凑格式”求xi(i=1,2,3,4)和F之值。用课件演示动态解算过程，给出解算结果。小结：本节按矩阵三角分解的基本原理推导了线性正定矩阵方程的原位替换快速解算方法，其特点是解省计算用内
21、存，减少运算次数，可提高解算效率。第二节 正定矩阵三角分解求逆法(原位替换求逆法) 经典矩阵求逆法回顾一.正定矩阵三角分解求逆法概述 二.求矩阵N的分解下三角阵L的逆阵 设 (1) (2) 由 LC=I（单位阵），即 (3)用比较法可得L阵的逆阵C的全部元素，即 (4)将代入（4）式得： (5)三.利用分解下三角阵L的逆阵C求N的逆阵 对（1）式求逆可得： 设用比较法可得计算Q阵中下三角诸元素的公式，即 (6)1.求分解下三角矩阵L的逆阵C的紧凑格式 利用约化系数,可在“紧凑格式”表3中求得L阵的逆阵C。表3 求L 阵逆阵C的紧凑格式2.利用下三角阵L的逆阵C计算N的逆阵Q的紧凑格式 利用C阵
22、的元素可在紧凑格式表4中求得矩阵Q的下三角诸元素 表4 求Q 阵下三角元素的紧凑格式五.算例求线性方程组系数阵的逆阵（同第一节例题，用课件演示动态解算过程，给出解算结果。）课堂练习设线性对称方程组的系数矩阵为：解方程过程中已求出约化系数阵为试求方程组系数阵的逆阵Q。小结：矩阵求逆分三步进行：第一步求约化系数，第二步求下三角阵的逆阵，第三步求原矩阵的逆阵。每一步计算均采用原位替换求解法，即将矩阵中不同位置的元素表达为相应位置的位置函数值，每一步计算是用新的位置函数值替换相应位置的原有位置函数值，最终将原矩阵中各位置的元素替换为其逆矩阵中相应位置的元素。求逆公式简单，利于编程，节省所需内存空间。此
23、矩阵求逆方法可用于法方程解算，各种协因数阵的计算，方差分量估计，测量数据的统计假设检验，粗差探测，可靠性估计等测绘数据处理和精度估计之中。第三节 条件平差应用实例 一、条件平差的计算表格及其使用已知条件平差的函数模型为： 式中 为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为： 式中 依据上述有关数据可编制条件方程及权函数系数表见表1观测序号aibiri fi1/pivi1a1b1.r1 f11/p1v12a2b2.r2 f21/p2v2nanbn.rn fn1/pnvn条件方程及权函数系数表 表1 观测序号 ai bi . ri fi1/pi vi1 a1 b1 . r1 f1 1/p1 v1
24、2 a2 b2 . r2 f2 1/p2 v2 n an bn . rn fn 1/pn vn椐表1中的数据，便可计算法方程 NK+W=0（转换系数方程Naaq+fe=0）的系数nji和转换系数方程中的常数项 fei , 以及平差值函数的权倒数计算式 中的将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方程）及其函数解算表2中（每计算一个填写一个，依次计算填写）。 条件方程及权函数系数表 表1法方程未知数及其函数解算表 表2表中后两行分别是函数 中未知数Ki和qi(i=a,b,r)的系数及函数式中的常数项。上表填写完毕后，即可在表2中求解Ki(i=a,b,r)、-VTPV及，计算结果填于表2中相应
25、元素的右边如表3所示。 法方程及其函数解算表 表3求得联系数 Ki(i=a,b,.,r) 后按在表1中求改正数vi , 按求得，并按公式求得单位权中误差和平差值函数的中误差。 二、算例 如下图所示水准网，已知A点的高程为：，观测高差及路线长度如图中所示。试按条件平差法求未知点高程平差值及最弱点高程平差值的中误差按条件平差节算方法和计算表格进行解算（用课件讲解，按解算步骤将计算结果填入相应计算表格）。第四节 间接平差应用实例 一、间接平差的计算表格及其使用已知间接平差的函数模型为：式中 为评定平差问题中某量的精度，所列立的权函数式为：式中 依据上述有关数据可编制误差方程系数及常数项表，见表4误差
26、方程系数及常数项表 表4观测序号 aibi.ti-lipivi 1a1b1t1-l1p1 2a2b2t2-l2p2 nanbntn-lnpn据表中的数据，便可计算法方程，转换系数方程 NBBqF=0 的系数阵中的 nji 和常数项 -wi，以及计算式()中的将上述计算结果填写在编制好的法方程（转换系数方程）及其函数(VTPV，-) 解算表中(每计算一个填写一个，依次计算填写)法方程未知数及其函数计算表 表5表中后两行既分别是法方程和转换系数方程的常数项，又分别是函数中未知数和qi(i=1,2,t)的系数。 上表填写完毕后，即可在表5中计算、VTPV 和。结果填于表5中相应元素的右边，如表6所示
27、.表6 法方程未知数及其函数解算表求得未知数近似值向量的改正数向量后，按求未知数平差值向量，代入误差方程可求得改正数向量V，V的计算可在表4中进行()，按可求得，按公式，可求得单位权中误差和平差值函数的中误差。 若要求未知数平差值协因数阵，则由，计算，再计算，计算表格为表7和表8。 求L阵逆矩阵C的诸元素用表 表7表中为解法方程过程中求得的约化系数，为求得的L阵逆阵C中的诸元素。求阵下三角部分诸元素用表 表8表中为下三角阵L的逆阵C中的诸元素，为阵下三角部分的诸元素。 二、算例如下图所示水准网，已知A点的高程为：HA=124.385m，观测高差及路线长度如图中所示。试按参数平差法求未知点高程平
28、差值及其中误差。按间接平差节算方法和计算表格进行解算（用课件讲解，按解算步骤将计算结果填入相应计算表格）。小结：平差计算完全可在表格中进行，计算格式清晰，计算规律性强。作业：习题：如图水准网，己知水准点高程为: 各路线的观测高差及路线长度如下： 试求各未知点高程平差值，并评定其精度。第十章 误差椭圆 10.1概述；10.2点位误差 一、点位误差的概念及计算1、点位真误差如图可得：无法求得（为什么?）2、点位方差及其计算由方差的定义式可得：故有同理有：记，则有：点位方差计算式上式说明点位方差的大小与坐标轴的方向无关,即与坐标系的选择无关。用点位方差衡量P点精度的缺陷：不能完善说明P点在任一各方向
29、上的精度情况，不能确定P点在哪一个方向上的精度最好（最差）。二、P点在任意方向上的位差由图可得下列关系式:由协方差传播律得:或上式即为求任意方位角方向上点位方差的计算公式。三、位差的极值方向、极大值和极小值的确定由位差计算式可以看出,随着值的变化而改变，其具有最大值和最小值。函数有极值，其一阶导数等于零，设位差的极值方向为,求导得出将代入位差计算式得:极值方向的判别方法: 0，极大值在第、象限 ，极小值方向在第、象限；0，极大值在第、象限，极小值方向在第、象限位差极大值、极小值的计算：用表示极大值方向、表示极小值方向；用E、F分别表示位差的极大值和极小值。则有把代入位差计算式整理得其中与、有下
30、面关系:四、用E、F表示的任意方向上的位差由图可知,任意方向在两个坐标系中的方位角有如下关系:把代入位差计算式整理得:例1 如图,在固定三角形内插入一点P,经过平差后求得P点坐标的协因数阵为:单位权方差估值为。试求(1) 位差的极值方向和, (2) 位差的极大值E与极小值F, (3) 已算出PM的方位角,PM方向上的点位误差为多少, (4) P点的点位方差。例2 如图, 已知为确定P点的位置,作如下观测:试确定P点位差的极大值及其方向。例3 在例2 中,平差后算得PA的方位角和边长=1827.46m,试求PA边的方位误差及边长相对中误差。按解算公式和相应方法解算，讲解。小结：点位方差的大小与坐
31、标系的选择无关，位差可描述P点在任一各方向上的精度情况，确定其在哪一个方向上的精度最好（最差）。10.3误差曲线；10.4误差椭圆；10.5相对误差椭圆 一、误差曲线的定义以和为极坐标的点的轨迹所构成的封闭曲线称为误差曲线,或称为精度曲线。二、误差曲线的作图方法与步骤1、方法如图，以O为圆心, E、F为半径画圆弧,再以为起始方向,过原点O作一系列(如取=20,40,60,80)角的直线,直线与圆弧的交点分别投影到、轴上,得到交点和a。则有在方向的直线上,自O点量取线段,得a点,便是误差曲线上的点。将若干个方向上获取的这样的点连接所得的封闭曲线即为误差曲线。2、步骤首先，用较小比例尺绘出三角点点
32、位图,如下图。图中A、B、C为已知点,P为待定点。以待定点为原点,建立x、y的坐标轴,并根据已求出的值,确定极值E(轴)、F(轴)的方向。然后以较大比例尺在、轴上取,再以为起始方向,将不同的值及其相应的向径,仍按同一较大比较尺逐一展绘上去,平滑地依次将各点联结起来,就得到了待定点的误差曲线图。三、误差曲线的用途利用误差曲线可以求取下列各种误差:(1) 待定点任一方向的位差。例如:(2) 确定点位中误差。点位中误差是按照任意两个互相垂直方向上的位差来求的。例如(3) 待定点P至任一三角点边长的中误差(即该边的纵向误差)。例如:PA边边长中误差为:。(4) 待定点P至任一三角点之方位角的中误差。例
33、如:PA边的方位角的中误差为:式中为PA边之横向误差,为P点至A点的距离。四、误差曲线与误差椭圆（一）、误差椭圆方程误差曲线作图不易,而且作出来的曲线也不是一种典型曲线,因此,给使用者带来很大不便,降低了它的实用价值。然而,它的形状很近于以E、F为长短半轴的椭圆。在以、为坐标轴的坐标系中,该椭圆的方程为:误差椭圆的三个参数、E、F称为误差椭圆三要素。（二）、误差椭圆与误差曲线的关系。垂直于方向上作椭圆的切线,则垂足与原点的连线长度就是方向上的位差。如图由椭圆任一点作切线TQ，再由椭圆中心O向该切线引垂线交于D，D点为垂足。若令OD与轴夹角为，那么，线段的长度就是误差曲线在方向上的位差。五、相对误差椭圆设有两个待定点,坐标平差值的协因数阵为:两待定点平差以后的相对位置可通过坐标差来表示,即或表示为:据上式,按协因数传播定律得:计算及点间相对误差椭圆的三个参数的公式为:可用绘制误差椭圆的方法画出相对误差椭圆。相对误差椭圆通常以待定点连线的中点为中心。根据相对误差椭圆，便可图解出所需要的任意方向上的位差大小。