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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流备战2014中考数学专题讲座第20讲：动态几何之线动问题探讨.精品文档.福州五佳教育锦元数学工作室 编辑数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以
2、静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。1618讲，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 1921讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行探讨。线动问题就是在一些基本几何图形上，设计一个动线（包括平移和旋转），或由点动、面动形成线动，并线在运动变化的过程中产生的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行研究。结合2013年全国各地中考的实例，我们从五方面进行动态几何之线动问题的探讨：（1）三角形中的线动问题；（2）四边形中的线动问题；（3
3、）圆中的线动问题；（4）平面直角坐标系中的直线的线动问题；（5）平面直角坐标系中曲线的线动问题。一、三角形中的线动问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年湖北鄂州3分）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来若AB=20cm，则画出的圆的半径为cm例2：（2013年北京市7分）在ABC中，AB=AC，BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD
4、。（1）如图1，直接写出ABD的大小（用含的式子表示）；（2）如图2，BCE=150，ABE=60，判断ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连结DE，若DEC=45，求的值。ABDACD（SSS）。例3：（2013年广东珠海9分）如图，在RtABC中，C=90，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P），当AP旋转至APAB时，点B、P、P恰好在同一直线上，此时作PEAC于点E（1）求证：CBP=ABP；（2）求证：AE=CP；来源:#中国教育出&版网（3）当，BP=时，求线段AB的长相似三角形的判定和性质。例4：（2013年黑龙江牡丹江农垦8分）已知AC
5、D=90，MN是过点A的直线，AC=DC，DBMN于点B，如图（1）易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CECB于点C，与MN交于点EACB+BCD=90，ACB+ACE=90，BCD=ACE四边形ACDB内角和为360，BDC+CAB=180EAC+CAB=180，EAC=BDC又AC=DC，ACEDCB，AE=DB，CE=CB，ECB为等腰直角三角形，BE=CB又BE=AE+AB，BE=BD+AB，BD+AB=CB（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明（2）MN在绕点A旋转过程中，当BCD=30，BD
6、=时，则CD= ，CB= 【答案】解：（1）如图（2），ABBD=CB。证明如下：如图，过点C作CECB于点C，与MN交于点E，ACD=90，例5：（2013年湖南湘潭10分）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）首先构造全等三角形AOBCDA，求出点C的坐标；然后利用点C的坐标求出抛物线
7、的解析式。（2）首先求出直线BC与AC的解析式，设直线l与BC、AC交于点E、F，则可求出EF的表达式；根据SCEF=SABC，列出方程求出直线l的解析式；（3）首先作出PACB，然后证明点P在抛物线上即可。例6：（2013年江苏连云港14分）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，ADBC，点E为DC边的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F求证：S四边形ABCDSABF（S表示面积）问题迁移：如图2，在已知锐角AOB内有一定点P过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，MON的面积存
8、在最小值请问当直线MN在什么位置时，MON的面积最小，并说明理由实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部分计划以公路OA、OB和经过防疫站的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区MON若测得AOB66，POB30，OP4km，试求MON的面积（结果精确到0.1km2）（参考数据：sin660.91，tan662.25，1.73）拓展延伸：如图4，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6，0）、（6，3）、（4，2），过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形的面积的最大
9、值线BC的解析式，就可以求出T的坐标，从而求出OCT的面积，再由问题迁移的结论可以求出最大值，通过比较即可以求出结论。例7：（2013年江苏扬州10分）如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90至CE位置，连接AE（1）求证：ABAE；（2）若BC2=ADAB，求证：四边形ADCE为正方形例8：（2013年辽宁抚顺12分）在RtABC中，ACB=90，A=30，点D是AB的中点，DEBC，垂足为点E，连接CD（1）如图1，DE与BC的数量关系是 ；（2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆
10、时针旋转60，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP三者之间的数量关系二、四边形中的线动问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年江苏宿迁3分）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋若改变框架的形状，则也随之变化，两条对角线长度也在发生改变当为 度时，两条对角线长度相等例2：（2013年福建泉州14分）如图1，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点A（6，0），过点E（2，0）作EFAB，交BO于
11、F；（1）求EF的长；（2）过点F作直线l分别与直线AO、直线BC交于点H、G；根据上述语句，在图1上画出图形，并证明；过点G作直线GDAB，交x轴于点D，以圆O为圆心，OH长为半径在x轴上方作半圆（包括直径两端点），使它与GD有公共点P如图2所示，当直线l绕点F旋转时，点P也随之运动，证明：，并通过操作、观察，直接写出BG长度的取值范围（不必说理）；（3）在（2）中，若点M（2，），探索2PO+PM的最小值【答案】解：（1）在正方形OABC中，FOE=BOA=COA=45。EFAB，FEO=BAO=90。EFO=FOE=45。又E（2，0），EF=EO=2。（2）画图，如答图1所示。证明：四
12、边形OABC是正方形，OHBC。OFHBFG。EFAB，。例3：（2013年辽宁盘锦14分）如图，正方形ABCD的边长是3，点P是直线BC上一点，连接PA，将线段PA绕点P逆时针旋转90得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由例4：（2013年辽宁铁岭12分）正方形ABCD中，点E、F分别是
13、边AD、AB的中点，连接EF.（1）如图1，若点G是边BC的中点，连接FG，则EF与FG关系为： ；（2）如图2，若点P为BC延长线上一动点，连接FP，将线段FP以点F为旋转中心,逆时针旋转900，得到线段FQ，连接EQ，请猜想EF、EQ、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若点P为CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，在图3中补全图形，并直接写出EF、EQ、BP三者之间的数量关系： .【答案】解：（1）垂直且相等。 （2）EF、EQ、BP三者之间的数量关系为：。证明如下： 如图，取BC的中点G，连接FG， 由（1）得EF=FG，EFFG，例5：（2013年辽宁营口14分）如图1，
14、ABC为等腰直角三角形，ACB=90，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD（1）猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，ACB=90，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接B
15、D、AF，求BD2+AF2的值三、圆中的线动问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年河北省11分）如图，OAB中，OA = OB = 10，AOB = 80，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N. （1）点P在右半弧上（BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80得OP. 求证：AP = BP； （2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离； （3）设点Q在优弧上，当AOQ的面积最大时，直接写出BOQ的度数. 【答案】解：（1）证明：如图1，AOP=AOB+BOP=80+BOP，BOP=POP+BOP=80+BOP，AOP=B
16、OP。例2：（2013年福建晋江13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一动直线l从y轴出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右平移，直线l与直线y=x相交于点P，以OP为半径的P与x轴正半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B设直线l的运动时间为t秒（1）填空：当t=1时，P的半径为 2 ，OA= 2 ，OB= 2 ；（2）若点C是坐标平面内一点，且以点O、P、C、B为顶点的四边形为平行四边形请你直接写出所有符合条件的点C的坐标；（用含t的代数式表示）当点C在直线y=x上方时，过A、B、C三点的Q与y轴的另一个交点为点D，连接DC、DA，试判断DAC的形状，并说明理由则有E（t，0），P（t，t）
17、，B（0，2t）。例3：（2013年四川南充8分）如图，二次函数y=x2+bx3b+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C，且经过点（b2，2b25b1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）M过A、B、C三点，交y轴于另一点D，求点M的坐标；（3）连接AM、DM，将AMD绕点M顺时针旋转，两边MA、MD与x轴、y轴分别交于点E、F，若DMF为等腰三角形，求点E的坐标.【答案】解：（1）把点（b2，2b25b1）代入y=x2+bx3b+3，得2b25b1=（b2）2+b（b2）3b+3， 解得b=2。抛物线的解析式为y=x2+2x3。【考点】二次函数综合题，旋转问题，曲线
18、上点的坐标与方程的关系，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，分类思想的应用。【分析】（1）将点（b2，2b25b1）代入抛物线解析式，求出未知数，从而得到抛物线的解析式。（2）利用垂径定理及勾股定理，求出点M的坐标。（3）首先，证明AMEDMF，从而将“DMF为等腰三角形”的问题，转化为“AME为等腰三角形”的问题；其次，AME为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，逐一分析计算。四、平面直角坐标系中的直线的线动问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年上海市4分）如果将抛物线向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是【 】
19、（A） （B） （C） （D） 例3：（2013年广西南宁3分）如图，直线与双曲线（k0，x0）交于点A，将直线向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线（k0，x0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为【 】A、3 B、6 C、 D、【答案】D。【考点】反比例函数综合题，平移的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。例4：（2013年湖北荆门3分）在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P（4，3），将线段OP绕点O逆时针旋转90到OP位置，则点P的坐标为【 】A（3，4） B（4，3） C（3，4） D（4，3）例5：（2013年内蒙古包头3分）如图，已知一条直线经过
20、点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D若DB=DC，则直线CD的函数解析式为 例6：（2013年重庆市B4分）如图，平面直角坐标系中，已知直线上一点P（1，1），C为y轴上一点，连接PC，线段PC绕点P顺时针旋转900至线段PD，过点D作直线ABx轴。垂足为B，直线AB与直线交于点A，且BD=2AD，连接CD，直线CD与直线交于点Q，则点Q的坐标为 。【答案】。【考点】一次函数综合问题，旋转问题，全等三角形的判定和性质，待定系数法的应用，直线上点的坐标与方程的关系。例7：（2013年甘肃天水12分）如图1，已知抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，
21、0）、B（4，4）两点（1）求抛物线的解析式；（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标；（3）如图2，若点N在抛物线上，且NBO=ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足PODNOB的点P坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）【答案】解：（1）抛物线y=ax2+bx（a0）经过A（3，0）、B（4，4）P1ODN1OB1。例8：（2013年福建泉州12分）如图，直线分别与x、y轴交于点B、C，点A（2，0），P是直线BC上的动点（1）求ABC的大小；（2）求点P的坐标，使APO=30；（3）在坐标平面内，平移直线BC，试探索：当BC在
22、不同位置时，使APO=30的点P的个数是否保持不变？若不变，指出点P的个数有几个？若改变，指出点P的个数情况，并简要说明理由例9：（2013年湖南益阳10分）阅读材料：如图1，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点P的坐标为（xp，yp）由xpx1=x2xp，得，同理，所以AB的中点坐标为由勾股定理得，所以A、B两点间的距离公式为注：上述公式对A、B在平面直角坐标系中其它位置也成立解答下列问题：如图2，直线l：y=2x+2与抛物线y=2x2交于A、B两点，P为AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线于点C（1）求A、B两点的坐标及C点的坐标；（2）连
23、结AB、AC，求证ABC为直角三角形；（3）将直线l平移到C点时得到直线l，求两直线l与l的距离例10：（2013年湖南张家界12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象过点C（0，1），顶点为Q（2，3），点D在x轴正半轴上，且OD=OC（1）求直线CD的解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）将直线CD绕点C逆时针方向旋转45所得直线与抛物线相交于另一点E，求证：CEQCDO；（4）在（3）的条件下，若点P是线段QE上的动点，点F是线段OD上的动点，问：在P点和F点移动过程中，PCF的周长是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由（4）如答图所示，作点C关于直线Q
24、E的对称点C，作点C关于x轴的对称点C，连接CC，交OD于点F，交QE于点P，则PCF即为符合题意的周长最小的三角形，由轴对称的性质可知，PCF的周长等于线段CC的长度。利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时PCF的周长最小。如答图所示，利用勾股定理求出线段CC的长度，即PCF周长的最小值。例11：（2013年江苏宿迁12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q（1）求a和b的值；（2）求t的取值范围；（3）若PCQ=90，求t的值例12：（2013年福
25、州五佳教育10分） 如图，在平面直角坐标系中直线y=x2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）（1）求反比例函数的关系式；（2）将直线y=x2向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点C，且ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式【答案】解：（1）将B坐标代入直线y=x2中得：m2=2，解得：m=4，B（4，2），即BE=4，OE=2。例13：（2013年江苏镇江9分）通过对苏科版八（下）教材一道习题的探索研究，我们知道：一次函数y=x1的图象可以由正比例函数y=x的图象向右平移1个单位长度得到类似的，函数的图象是由反比例函数的图象向左平移2个单位长度得到
26、灵活运用这一知识解决问题如图，已知反比例函数的图象C与正比例函数y=ax（a0）的图象l相交于点A（2，2）和点B（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数的图象和直线AB同时向右平移n（n0）个单位长度，得到的图象分别记为C和l，已知图象C经过点M（2，4）求n的值；分别写出平移后的两个图象C和l对应的函数关系式；直接写出不等式的解集象的交点为A（2，2）和B（2，2），所以平移后交点分别为（3，2）和B（1，2），则当x1或0x2时，函数的图象都在y=x1的函数图象上方。例14：（2013年山东滨州12分）根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y=x，请直接写出过原点
27、且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过原点的直线l3向上的方向与x轴的正方向所成的角为300求直线l3的函数表达式；把直线l3绕原点O按逆时针方向旋转900得到的直线l4，求直线l4的函数表达式（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过原点且与直线垂直的直线l5的函数表达式例15：（2013年四川凉山12分）如图，抛物线（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边
28、OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由。A（3，0），点C（0，4），五、平面直角坐标系中曲线的线动问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【 】A2
29、 B4 C8 D16【答案】B。【考点】二次函数图象与平移变换，二次函数的性质，转换思想的应用。【分析】过点C作CAy轴于点A，根据抛物线的对称性可知：OBD的面积等于CAO的面积，从而阴影部分的面积等于矩形ACBO的面积。顶点坐标为C（2，2）。对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为：22=4。故选B。例2：（2013年福建莆田12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c的开口向下，与x轴交于点A（3，0）和点B（1，0）与y轴交于点C，顶点为D（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若ACD的面积为3求抛物线的解析式；将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且PA
30、B=DAC，求平移后抛物线的解析式例3：（2013年广东佛山10分）如图，已知抛物线经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图中阴影部分）例4：（ 2013年广西崇左12分）抛物线y=x2平移后的位置如图所示，点A，B坐标分别为（1，0）、（3，0），设平移后的抛物线与y轴交于点C，其顶点为D（1）求平移后的抛物线的解析式和点D的坐标；（2）ACB和ABD是否相等？请证明你的结论；（3）点P在平移后的抛物线的对称轴上，且CDP与AB
31、C相似，求点P的坐标例5：（2013年广西桂林12分）已知抛物线的顶点为（0，4）且与x轴交于（2，0），（2，0）（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图，将抛物线向右平移k个单位，设平移后抛物线的顶点为D，与x轴的交点为A、B，与原抛物线的交点为P当直线OD与以AB为直径的圆相切于E时，求此时k的值；是否存在这样的k值，使得点O、P、D三点恰好在同一条直线上？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由例6：（ 2013年广西河池12分）已知：抛物线C1：yx2。如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A（2，0），C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。（1）求抛物线C2
32、的解析式；（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；（3）如图（2），将抛物线C2向下平移m个单位（m0）得抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？【答案】解：（1）抛物线C2经过点O（0，0），设抛物线C2的解析式为。 抛物线C2经过点A（2，0），解得。【考点】二次函数综合题，平移问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，正方形的判定，平行四边形的性质，分类思想的应用。【分析】（1）根据平移的性质，应用待定系数法
33、即可求得抛物线C2的解析式。 （2）求出各点坐标，应用勾股定理求出各边长和对角线长，根据正方形的判定定理可得结论。 （3）分MN为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。例7：（2013年湖南邵阳8分）如图所示，已知抛物线y=2x24x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式例8：（2013年湖南株洲10分）已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）将抛物线C1向下平移h个单位（h0）得到
34、抛物线C2一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点A、C关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m0）来（1）求抛物线C1的解析式的一般形式；（2）当m=2时，求h的值；（3）若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F求证：tanEDFtanECP=例9：（2013年山东潍坊13分）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于A、B、C三点，且AB=4，点D在抛物线上，直线是一次函数的图象，点O是坐标原点.（1）求抛物线的解析式；（2）若直线平分四边形OBDC的面积，求k的值.（3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于M、
35、N两点，问在y轴正半轴上是否存在一定点P，使得不论k取何值，直线PM与PN总是关于y轴对称？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由.例10：（2013年四川乐山13分）如图1，已知抛物线C经过原点，对称轴与抛物线相交于第三象限的点M，与x轴相交于点N，且。（1）求抛物线C的解析式；（2）将抛物线C绕原点O旋转1800得到抛物线，抛物线与x轴的另一交点为A，B为抛物线上横坐标为2的点。若P为线段AB上一动点，PDy轴于点D，求APD面积的最大值；过线段OA上的两点E、F分别作x轴的垂线，交折线OBA于E1、F1，再分别以线段EE1、FF1为边作如图2所示的等边AE1E2、等边AF1F2，点E
36、以每秒1个长度单位的速度从点O向点A运动，点F以每秒1个长度单位的速度从点A向点O运动，当AE1E2有一边与AF1F2的某一边在同一直线上时，求时间t的值。直线AB的解析式为。例11：（2013年四川凉山8分）先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）。解：在抛物线上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到（，3），再向下平移2个单位得到（，1）；点B向左平移1个单位得到（0，4），再向下平移2个单位得到（0，2）。设平移后的抛物线的解析式为。则点（，1），（0，2）
37、在抛物线上。可得：，解得：。所以平移后的抛物线的解析式为：。根据以上信息解答下列问题：将直线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式。【答案】解：在直线y=2x3上任取两点A（0，3），由题意知A向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到A（3，2）， 设平移后的解析式为y=2x+b，则A（3，2）在y=2x+b的解析式上，2=23+b，解得：b=8。平移后的直线的解析式为y=2x8。【考点】阅读理解型，函数图象和平移变换，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法的应用。【分析】根据上面例题可在直线y=2x3上任取一点A（0，3），由题意算出A向右平移3个单位，再向上平移1个单
38、位得到A点坐标，再设平移后的解析式为y=2x+b，再把A点坐标代入解析式即可。例12：（2013年四川眉山11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M（1）求这条抛物线的解析式；（2）P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式【答案】解：（1）根据题意得，A（1，0），D（
39、0，1），B（3，0），C（0，3），抛物线经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3），解得。抛物线的解析式为：y=x2+2x3。（2）存在。APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形：以点A为直角顶点，以点E为直角顶点，此时EAP=45，由可知，此时点P只能与点B重合，点E位于直线AD与对称轴的交点上。综上所述，存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形。点P的坐标为（2，3）或（3，0）。（3）y=x2+4x+1。【考点】二次函数综合题，双动点和平移问题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定，二次函数的性质，平移的性质，分类思想的应用。【分析】（1）应用待定系数
40、法求出抛物线的解析式。 （2）APE为等腰直角三角形，有三种可能的情形，需要分类讨论：例13：（2013年四川宜宾12分）如图，抛物线交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B，将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2，两条抛物线相交于点C（1）请直接写出抛物线y2的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，且满足CPA=OBA，求出所有满足条件的P点坐标；（3）在第四象限内抛物线y2上，是否存在点Q，使得QOC中OC边上的高h有最大值？若存在，请求出点Q的坐标及h的最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线向右平移4个单位的顶点坐标为（4，1），抛物线y2的解析式为。（2）当x=0时，y1=1，y
41、1=0时，=0，解得x=1或x=1， 点A（1，0），B（0，1）。OBA=450。联立，解得。点C的坐标为（2，3）。CPA=OBA，（2）根据抛物线解析式求出点A、B的坐标，然后求出OBA=45，再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标，再根据CPA=OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解。（3）先求出直线OC的解析式为，设与OC平行的直线，与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程，再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根，然后利用根的判别式=0列式求出b的值，从而得到直线的解析式，再求出与x轴的交点E的坐标，得到OE的长度，再过点C作CDx轴于D，然后根据面积公式求解即可得到h的
42、值。例14：（2013年四川成都10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，1）抛物线过A（0，1），B（4，1）两点，解得。如答图2，取点B关于AC的对称点B，易得点B的坐标为（0，3），BQ=BQ。连接QF，FN，QB，易得FNPQ，且FN=PQ，例15：（2013年浙江宁波9分）已知抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，3）（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=x上，并写出平移后抛物线的解析式文章来源：福州五佳教育网(中小学快速提分，就上福州五佳教育)