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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流备战2014中考数学专题讲座第26讲 动态几何之存在性问题探讨.精品文档.福州五佳教育锦元数学工作室 编辑数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究，在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）等，就问题类型而言，有最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“
2、以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。1618讲，我们从运动对象的角度对轴对称（翻折）、平移、旋转（滚动）问题进行了探讨， 1921讲我们从运动对象的角度对点动、线动、面动问题进行了探讨，2226讲我们从问题类型的角度对最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题进行探讨。结合2013年全国各地中考的实例，我们从八方面进行动态几何之存在性问题的探讨：（1）等腰（边）三角形存在问题；（2）直角三角形存在问题；（3）平行四边形存在问题；（4）矩形、菱形、正方形存在问题；（5）梯形存在问题；（
3、6）全等三角形存在问题；（7）相似三角形存在问题；（8）其它存在问题。一、等腰（边）三角形存在问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年重庆市A12分）已知，如图，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，ADBD。以AD为斜边在平行四边形ABCD的内部作RtAED，EAD=300，AED=900。（1）求AED的周长；（2）若AED以每秒2个长度单位的速度沿DC向右平行移动，得到A0E0D0，当A0D0与BC重合时停止移动。设移动时间为t秒，A0E0D0与BDC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图，在（
4、2）中，当AED停止移动后得到BEC，将BEC绕点C按顺时针方向旋转，在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q。是否存在这样的，使BPQ为等腰三角形？若存在，求出的度数；若不存在，请说明理由。BQP=PBQ=300。E1CQ=900300=600。根据等腰三角形三线合一的性质，此时B、P、Q三点重合。此时不存在这样的，使BPQ为等腰三角形。综上所述，存在这样的，使BPQ为等腰三角形，或。（3）分BP=BQ，PQ=BQ，PQ=BP三种情况讨论即可。例2：（2013年福建漳州14分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，O
5、C=6，在OC上取点D将AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DAAB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N（1）填空：D点坐标是（，），E点坐标是（，）；（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围当CM=MN时，42+（2+b）2=（）2，解得：
6、b1=2，b1=6（不合题意舍去），此时M（2，4）。当CM=MN时，6+b=，解得：b=6，此时M（2，4）。综上所述，存在点M使CMN为等腰三角形，M点的坐标为：（2，0），（2，4），（2，4）。（3）S与x之间的函数关系式为：。当0x2时，S=x28x+12=（x4）24，当x4时，S随x的增大而减小，即0x2；当2x6时，S=x2+8x12=（x4）2+4，当x4时，S随x的增大而减小，即4x6。综上所述：S随x增大而减小时，0x2或4x6。例3：（2013年贵州贵阳12分）如图，在平面直角坐标系中，有一条直线l：与x轴、y轴分别交于点M、N，一个高为3的等边三角形ABC，边BC在x
7、轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移（1）在平移过程中，得到A1B1C1，此时顶点A1恰落在直线l上，写出A1点的坐标 ；（2）继续向右平移，得到A2B2C2，此时它的外心P恰好落在直线l上，求P点的坐标；（3）在直线l上是否存在这样的点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由【答案】解：（1）（，3）。（2）设P（x，y），连接A2P并延长交x轴于点H，连接B2P，在等边三角A2B2C2中，高A2H=3，A2B2=2，HB2=。设点R满足的条件，RA2B2，C2B2R，C2A2R能构成等腰三角形，此时RA2=RB2，C2B2
8、=C2R，C2A2=C2R。作REx轴于点E，RC2=2，RC2E=PMB2=30，ER=。R（4+3，）。综上所述，存在四个点，与（2）中的A2、B2、C2任意两点能同时构成三个等腰三角形，分别是P（3，1），Q（，3），S（43，），R（4+3，）。【考点】一次函数综合题，面动问题，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直线上点的坐例4：（2013年湖北随州13分）在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2经过原点的抛物线的对称轴是直线x=2（1）求出该抛物线的解析式（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角
9、板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C现在利用图2进行如下探究：将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在的旋转过程中，是否存在点F，使DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由【答案】解：（1）抛物线经过原点，n=0。抛物线对称轴为直线x=2，解得。抛物线的解析式为：。例5：（2013年湖南衡阳10分）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=1（1
10、）求抛物线对应的函数关系式；（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由【答案】解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：，点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，解得：。抛物线的解析式为：。（2）四边形OMPQ为矩形，在RtAND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，即，解得x1=，x2=（舍去）。x=，OD=1x=1。t=1。综上所述，当
11、t为秒、秒，1秒时，AON为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，双动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分类思想的应用。【分析】（1）用待定系数法求出抛物线的顶点式解析式。（2）当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解。AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，分类讨论，逐一计算。例6：（2013年江苏徐州10分）如图，二次函数的图象与x轴交于点A（3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E（1）请直接写出点D的坐标： ；
12、（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）（3，4）。（2）设PA=t，OE=m，由DAP=POE=DPE=90得DAPPOE，当t=时，m有最大值，即P为AO中点时，OE的最大值为。【考点】二次函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，等腰三角形的性质，分类思想的应用。【分析】（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得
13、点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标。（2）PA=t，OE=l，利用DAPPOE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可。（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积。例7：（2013年辽宁锦州14分）如图，抛物线经过ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG
14、为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？例8：（2013年四川资阳11分）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MNDF于H，交AD于N（1
15、）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t0）；判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由连结FM、FN，MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由例9：（2013年四川眉山11分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，点C、D在y轴上，且OB=OC=3，OA=OD=1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过A、B、C三点，直线AD与抛物线交于另一点M（1）求这条抛物线的解析式；（2）
16、P为抛物线上一动点，E为直线AD上一动点，是否存在点P，使以点A、P、E为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）请直接写出将该抛物线沿射线AD方向平移个单位后得到的抛物线的解析式二、直角三角形存在问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年山西省14分）综合与探究：如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点B在点A的右侧)与y轴交于点C,连接BC,以BC为一边,点O为对称中心作菱形BDEC,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q。（1）求点A,B,C的坐标。（2）当点P在
17、线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M,N。试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由。（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点 Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。例2：（2013年湖北黄冈15分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（6，0），B（3，），C（1，），动点P从点O以每秒2个单位的速度向点A运动，动点Q也同时从点B沿B CO的线路以每秒1个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）.（1）求经过A、B、C三点的抛物线
18、的解析式；（2）当点Q在CO边上运动时，求OPQ的面积S与时间t的函数关系式；（3）以O、P、Q为顶点的三角形能构成直角三角形吗？若能，请求出t的值，若不能，请说明理由；（4）经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点吗？若能，请求出此时t的值（或范围），若不能，请说明理由.【答案】解：（1）设经过A、B、C三点的抛物线的解析式为：， 把A（6，0），B（3，），C（1，）代入得： （3）根据题意可知，0t3。 当0t2时，点Q在BC边上运动，此时，OP=2t，。 OD=1，CD=，。 ，若OPQ为直角三角形，只能是或。 若，则，即， 解得，或（舍去）。 若，则，即， 解得
19、，。点Q在直线PM上，即当0t2时，点P、M、Q总在一直线上。当2t3时，Q。代入，解得或，均不合题意，舍去。综上所述，经过A、B、C三点的抛物线的对称轴、直线OB和PQ能够交于一点，此时0t2。【考点】二次函数综合题，双动点问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，直角三角形的性质，勾股定理，解一元二次方程，分式的化简，分类例3：（2013年湖北襄阳13分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为（1，0），对称轴为直线x=2（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）点D是抛物线与y轴的交点，
20、点C是抛物线上的另一点已知以AB为一底边的梯形ABCD的面积为9求此抛物线的解析式，并指出顶点E的坐标；（3）点P是（2）中抛物线对称轴上一动点，且以1个单位/秒的速度从此抛物线的顶点E向上运动设点P运动的时间为t秒当t为 秒时，PAD的周长最小？当t为 秒时，PAD是以AD为腰的等腰三角形？（结果保留根号）点P在运动过程中，是否存在一点P，使PAD是以AD为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由例4：（2013年辽宁大连12分）如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点MP是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上
21、）分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为D、E，连接点MD、ME （1）求点A，B的坐标（直接写出结果），并证明MDE是等腰三角形；（2）MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；（3）若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点（点P、M、C不在同一条直线上）”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由，解得。直线PC解析式为y=2x4。将y=2x4代入抛物线解析式得： ，解得：x=0或x=。当x=0时，交点为点C；当x=时，y=2x4=3。P（，3）。综上所述，MDE能成
22、为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，3）。（3）能。此时点P坐标为（，）。，解得。直线PC解析式为y=x4。将y=x4代入抛物线解析式得：，解得：x=0或x=。当x=0时，交点为点C；当x=时，y=x4=。P（，）。综上所述，MDE能成为等腰直角三角形，此时点P坐标为（，）。例5：（2013年浙江宁波14分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（4，0），点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD过P，D，B三点作Q与y轴的另一个交点为E，延长DQ交Q于点F，连结EF，BF（1）求直线AB的函数解析式；（2）当点P在线
23、段AB（不包括A，B两点）上时求证：BDE=ADP；设DE=x，DF=y请求出y关于x的函数解析式；（3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B，D，F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2：1？如果存在，求出此时点P的坐标：如果不存在，请说明理由四边形OEFH是矩形。OE=FH=2。EF=OH=4OD。DE=EF，2OD=4OD，解得：OD=，点D的坐标为（0，）。直线CD的解析式为。由得：。点P的坐标为（2，2）。当BD：BF=1：2时，连结EB，同（2）可得：ADB=EDP，而ADB=DEB+DBE，EDP=DAP+DPA，例6：（2013年浙江湖州12分）如图，O为坐标原点，点B
24、在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sinAOB=，反比例函数（k0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F（1）若OA=10，求反比例函数解析式；（2）若点F为BC的中点，且AOF的面积S=12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）中的条件下，过点F作EFOB，交OA于点E（如图），点P为直线EF上的一个动点，连接PA，PO是否存在这样的点P，使以P、O、A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由三、平行四边形存在问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（ 2013年广西河池12分）已知：抛物线C1：yx2
25、。如图（1），平移抛物线C1得到抛物线C2，C2经过C1的顶点O和A（2，0），C2的对称轴分别交C1、C2于点B、D。（1）求抛物线C2的解析式；（2）探究四边形ODAB的形状并证明你的结论；（3）如图（2），将抛物线C2向下平移m个单位（m0）得抛物线C3，C3的顶点为G，与y轴交于M。点N是M关于x轴的对称点，点P（）在直线MG上。问：当m为何值时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？点Q 在抛物线C3上，解得或（舍去）。综上所述，当或时，在抛物线C3上存在点Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形。【考点】二次函数综合题，平移问题，待定系数
26、法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，正方形的判定，平行四边形的性质，分类思想的应用。【分析】（1）根据平移的性质，应用待定系数法即可求得抛物线C2的解析式。 （2）求出各点坐标，应用勾股定理求出各边长和对角线长，根据正方形的判定定理可得结论。 （3）分MN为平行四边形的边和对角线两种情况讨论即可。例2：（2013年湖南湘潭10分）如图，在坐标系xOy中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，A（1，0），B（0，2），抛物线的图象过C点（1）求抛物线的解析式；（2）平移该抛物线的对称轴所在直线l当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分？（3）点P是抛物线
27、上一动点，是否存在点P，使四边形PACB为平行四边形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由【答案】解：（1）如答图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD=90。 OBA+OAB=90，OAB+CAD=90，OAB=ACD，OBA=CAD。例3：（2013年山东临沂13分）如图，抛物线经过A（1，0），B（5，0），C（0，）三点（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由例4：（2013年四
28、川遂宁12分）如图，抛物线与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D（1）求抛物线与直线的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DEy轴于点E探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PNAD于点N，设PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值四、矩形、菱形、正方形存在问题；典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年
29、内蒙古赤峰14分）如图，在RtABC中，B=90，AC=60cm，A=60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由例2：（2013年黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭10分）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OAOB）且
30、OA、OB的长分别是一元二次方程的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2（1）求A、C两点的坐标；（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）解得（x）（x1）=0，解得x1=，x2=1。OAOB，OA=1，OB=。A（1，0），B（0，）。AB=2。又AB：AC=1：2，AC=4。C（3，0）。；例3：（201
31、3年黑龙江龙东地区10分）如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，ACB=90，OA、OB的长分别是一元二次方程x225x+144=0的两个根（OAOB），点D是线段BC上的一个动点（不与点B、C重合），过点D作直线DEOB，垂足为E（1）求点C的坐标（2）连接AD，当AD平分CAB时，求直线AD的解析式（3）若点N在直线DE上，在坐标系平面内，是否存在这样的点M，使得C、B、N、M为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由 点M的坐标是（28，16）或（14，14）或（12，4）或（2，2）。直线FQ的解析式是：。设M的坐标是（x，
32、），根据CM=BM和勾股定理得：（x0）2+（12）2=（x16）2+（0）2，解得x1=14，x2=2。M的坐标是（14，14），（2，2）。以BC为一边时，过B作BM3BC，且BM3=BC=20，过M3QOB于Q，还有一点M4，CM4=BC=20，CM4BC，则COB=M3B=CBM3=90。BCO+CBO=90，例4：（2013年黑龙江牡丹江农垦10分）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC=12，tanACO=，（1）求B、C两点的坐标；（2）把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，DE与AC相交于点F，求直线DE的解析式；（3）若点M在直线DE上，平面内是否存在点N，使以O、
33、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）在直角OAC中，设OA=x，则OC=3x，根据勾股定理得：（3x）2+（x）2=AC2，即9x2+3x2=144，解得：x=2。NG=ONsin30=6=3，OG=ONcos30=6=。例5：（2013年湖北咸宁12分）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90后得到COD（1）点C的坐标是 ，线段AD的长等于 ；（2）点M在CD上，且CM=OM，抛物线y=x2+bx+c经过点G，M，求抛物线的解析式；（3）如果点E在y轴上，且位于点C的下方，点F在直线AC上，那
34、么在（2）中的抛物线上是否存在点P，使得以C，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出该菱形的周长l；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）（0，3）；4。（2）CM=OM，OCM=COM。OCM+ODM=COM+MOD=90，ODM=MOD。OM=MD=CM。例6：（2013年湖南常德10分）如图，已知二次函数的图象过点A（0，3），B（），对称轴为直线，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，在四边形PMON上分别截取PC=MP，MD=OM，OE=ON，NF=NP（1）求此二次函数的解析式；（2）求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；（
35、3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由其坐标分别为：P1（），P2（），P3（3，3），P4（1，1）。【考点】二次函数综合题，单动点问题，二次函数的性质，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，分类思想的应用。【分析】（1）利用顶点式和待定系数法求出抛物线的解析式。（2）证明PCFOED，得CF=DE；证明CDMFEN，得C D=EF这样四边形CDEF两组对边分别对应相等，所以四边形CDEF是平行四边形。（3）根据已知条件，利用相似三角
36、形PCFMDC，可以证明矩形PMON是正方形这样点P就是抛物线y=x2+x3与坐标象限角平分线y=x或y=x的交点，联立解析式解方程组，分别求出点P的坐标符合题意的点P有四个，在四个坐标象限内各一个。例7：（2013年山东枣庄14分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于点C（0，3），点P是直线BC下方抛物线上的一个动点（1）求二次函数解析式；（2）连接PO，PC，并将POC沿y轴对折，得到四边形.是否存在点P，使四边形为菱形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求
37、出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.五、梯形存在问题；典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年广东广州14分）已知AB是O的直径，AB=4，点C在线段AB的延长线上运动，点D在O 上运动（不与点B重合），连接CD，且CD=OA.（1）当OC=时（如图），求证：CD是O的切线；（2）当OC时，CD所在直线于O相交，设另一交点为E，连接AE.当D为CE中点时，求ACE的周长;连接OD，是否存在四边形AODE为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AEED的值；若不存在，请说明理由。六、全等三角形存在问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必
38、究例1：（ 2013年广西贵港11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于点C（0，4），对称轴x=2与x轴交于点D，顶点为M，且DM=OC+OD（1）求该抛物线的解析式；（2）设点P（x，y）是第一象限内该抛物线上的一个动点，PCD的面积为S，求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）在（2）的条件下，若经过点P的直线PE与y轴交于点E，是否存在以O、P、E为顶点的三角形与OPD全等？若存在，请求出直线PE的解析式；若不存在，请说明理由若点E在y轴正半轴上，如答图2所示，此时OPDOPE。例2：（2013年山东潍坊11分）如图1所示，将一个边长为2
39、的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF.现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至,旋转角为.（1）当点恰好落在EF边上时，求旋转角的值；（2）如图2，G为BC的中点，且00900，求证：；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，与能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由.（2）由G为BC中点可得CG=CE，根据旋转的性质得DCE=DCE=900，CE=CECE，则GCD=DCE=900+，然后根据“SAS”可判断GCDDCE，GD=ED。（3）根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD，则BCD与DCD为腰相等的两等腰三角
40、形，当两顶角相等时它们全等，当BCD与DCD为钝角三角形时，可计算出=1350，当BCD与DCD为锐角三角形时，可计算得到=3150。七、相似三角形存在问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年内蒙古包头12分）已知抛物线的顶点为点D，并与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（1）求点A、B、C、D的坐标；（2）在y轴的正半轴上是否存在点P，使以点P、O、A为顶点的三角形与AOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）取点E（，0）和点F（0，），直线l经过E、F两点，点G是线段BD的中点点G是否在直线l上，请说明理
41、由；在抛物线上是否存在点M，使点M关于直线l的对称点在x轴上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【答案】解：（1）在中，令y=0，则，整理得，4x212x7=0，解得x1=，x2=。A（，0），B（，0）。在中，令x=0，则y= 。C（0，）。E（，0）、F（0，），B（，0）、D（，4），OE=，OF=，HD=4，HB=2。根据相似三角形对应角相等求出OFE=HBD，然后求出EGBD，从而得到直线l是线段BD的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质点D关于直线l的对称点就是B，从而判断出点M就是直线DE与抛物线的交点。再设直线DE的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析求
42、出直线DE的解析式，然后与抛物线解析式联立求解即可得到符合条件的点M。例2：（2013年福建南平14分）如图，已知点A（0，4），B（2，0）（1）求直线AB的函数解析式；（2）已知点M是线段AB上一动点（不与点A、B重合），以M为顶点的抛物线y=（xm）2+n与线段OA交于点C求线段AC的长；（用含m的式子表示）是否存在某一时刻，使得ACM与AMO相似？若存在，求出此时m的值例3：（2013年湖北荆门10分）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作O，过点P作O的切线，交AD于点F，切点为E（1）求证：OFBE；（2）设B
43、P=x，AF=y，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，使EFOEHG（E、F、O与E、H、G为对应点）？如果存在，试求（2）中x和y的值；如果不存在，请说明理由例4：（2013年山东日照14分）已知，如图(a)，抛物线经过点A(x1，0)，B(x2，0)，C(0，2)，其顶点为D.以AB为直径的M交y轴于点E、F，过点E作M的切线交x轴于点N。ONE=30，。（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）连结AD、BD,在（1）中的抛物线上是否存在一点P，使得ABP与ADB相似？若存在，求出P点的坐
44、标；若不存在，说明理由；（3）如图（b）,点Q为上的动点（Q不与E、F重合），连结AQ交y轴于点H，问：AHAQ是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。【答案】解：（1）圆的半径， 连接EM，例5：（2013年四川凉山12分）如图，抛物线（a0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC交抛物线于点G（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结P
45、C，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断PCM的形状；若不存在，请说明理由。例6：（2013年云南红河9分）如图，抛物线y=x2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上的一个动点且在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线BC于点E（1）求点A、B、C的坐标和直线BC的解析式；（2）求ODE面积的最大值及相应的点E的坐标；（3）是否存在以点P、O、D为顶点的三角形与OAC相似？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由例7：（2013年云南曲靖12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=x2+bx+c点D为线段AB上一动点，过点D作CDx轴于点C，交抛物线于点E（1）求抛物线的解析式（2）当DE=4时，求四边形CAEB的面积（3）连接BE，是否存在点D，使得DBE和DAC相似？若存在，求此点D坐标；若不存在，说明理由八、其它存在问题：典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1