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1、 第一章 复数(fsh)(fsh)与复变函数1.1 1.1 复数及其运算1.2 1.2 复平面(pngmin)(pngmin)上的曲线和区域1.3 1.3 复变函数1.4 1.4 复变函数的极限和连续性第1页/共47页第一页，共48页。 1.1 1.1 复数(fsh)(fsh)及其运算一、复数(fsh)的概念1、产生(chnshng)背景的数称为复数，其中称为虚单位，iyxz1iyx,NoImage)Im(zy z2、定义：形如为任意实数,且记分别称为的实部与虚部。第2页/共47页第二页，共48页。二、复数(fsh)的表示法1 1、( (复平面上的) )点表示(biosh) -(biosh)
2、-用坐标平面上的点r(1)此时的坐标面（称为复平面(pngmin)）与直角坐标平面(pngmin)的区别与联系。yx),(yxPxy(2)zxiy复数与点（x,y）构成一一对应关系，复数z=x+iy由（x,y）唯一确定。第3页/共47页第三页，共48页。2 2、( (复平面(pngmin)(pngmin)上的) )向量表示-OMyxMiyxz),(点22|yxrz| zrOM（1）模 的长度 ，记为 ，则（2）辐角( ) 与 轴正向的夹角 (周期性)0zoxOM( )cos ,sinArg zxryr记，则第4页/共47页第四页，共48页。辐角主值: :a( )arg( )rg zz满足的辐角
3、值（仅有一个），记作arg(z). 即：-), 2, 1, 0k(k2)zarg()z(Arg0z时，无意义的辐角不确定，：)0(0Argz 其中主值)arg(z的确定方法见教材P3（1.1.6）式或借助复数向量表示.第5页/共47页第五页，共48页。3 3、三角(snjio)(snjio)（或极坐标）表示- -)sin(cosiriyxz,|22yxzrxyarctan,cosrx sinry 由得4izre、 指 数 表 示 sinicosei欧拉公式5、代数表示- iyxz第6页/共47页第六页，共48页。 复数的各种表示可相互转换(zhunhun)在不同的运算中可选择不同表示式进行运算
4、。NSPyzZx6*、复球面表示- 将扩充复平面中 | z的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。 第7页/共47页第七页，共48页。三、复数(fsh)的运算1、相等两个(lin )复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。2、和、差、积、商（分母不为0）代数式、三角(snjio)式、指数式,iyxzzxiy。3、共轭复数及运算性质)Re(22zxzz),Im(22ziyizz222)Im()Re(|zzzzzzzyxoyyx第8页/共47页第八页，共48页。四、复数(fsh)(fsh)的n n次方根1(cossin ),22(cossin)(0,1,1)nnzr
5、ikkwzrinnkn若则wnr0k的n个值恰为以原点为中心，的内接正边形的顶点，当时，为半径的圆周n0w称为主值。第9页/共47页第九页，共48页。答疑(d y)解惑 答：不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。 假设复数有大小，其大小关系(gun x)应与实数中大小关系(gun x)保持一致，（因为实数是复数的特例），不妨取0和i加以讨论：1 1、复数能否(nn fu)(nn fu)比较大小，为什么？0,0,010,iii ii 设则得显然矛盾注：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。i第10页/共47页第十页，共48页。2 2、复数可
6、以(ky)(ky)用向量表示，则复数的运算与向量的 运算是否相同？ 答：有相同之处，但也有不同之处。 加减(ji jin)和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。第11页/共47页第十一页，共48页。典型(dinxng)例题例1 1、判断下列命题(mng t)(mng t)是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）7512ii )57arg()21arg(ii)57Re()57Im(ii（ ）（ ）（ ）第12页/共47页第十二页，共48页。例2 2、求下列复数的模与辐角（1） （2） （3） （
7、4） i 3i231iii25104ni231第13页/共47页第十三页，共48页。解（1 1）22(3)( 1)2,15arg( )arctan63zz （1）22321131313z 32arctan)arg(z,132133)23)(23(23231iiiii （2 2）第14页/共47页第十四页，共48页。,3144102510iiiiiii,103) 1(|22z3arctan)arg(z（3）,1|z,23)arg(knz(23nkk满足的 ）313cossin233niinnei313arg( )arctan 3)23iiez(模为1,(4)第15页/共47页第十五页，共48页。
8、例3 3、求满足下列条件(tiojin)(tiojin)的复数z z：（1）（3）izz2|,3)2arg(z（2） 且且3,zai2|2|z65)2arg(z第16页/共47页第十六页，共48页。zxiy解：（1） 设：则222xiyxyi22321.4xxyyxi3由，得,故z=42(2)3,23212zaizaia 则a 的值为(- 3, 3)内任一实数,故满足条件的z有无穷多个.第17页/共47页第十七页，共48页。132ri2322r212r i11113(3)2cossin3322zrirri设22255312cossin6622zrirr i 1122rz则124,4 3 rr第
9、18页/共47页第十八页，共48页。0123zzz123zzz例4 4 求方程的根。并将分解因式。1) 1)(1(423zzzzz解 ，101z 0而的根为z014z则的其余三个根即为所求014z420sin420cos14kikz得由第19页/共47页第十九页，共48页。iizk23sin23cos,33时0sin0cos1i10sin0cos,00izk时iizk2sin2cos,11时1sincos,22izk时3210, 1,zzzii 根为321()(1)()zzzzi zzi 且第20页/共47页第二十页，共48页。1.2 1.2 复平面上的曲线(qxin)(qxin)和区域一、复
10、平面(pngmin)上的曲线方程0),(yxF)()(tyytxx平面曲线有直角坐标方程和参数方程两种形式。第21页/共47页第二十一页，共48页。i 2zzy ,2zzx0),(yxF由代入知曲线C的方程可改写成复数形式0)2,2(izzzzFiyxz)()()(tiytxtz)(tzz 若令，而，则曲线C的参数方程等价于复数形式 。第22页/共47页第二十二页，共48页。1( )( )( ) ()( ), ( )( )z tx tiy tatbx ty ttz t 、连续曲线设，其中是实变量 的连续函数，则表示复平面上的连续曲线C。二、简单(jindn)曲线与光滑曲线222 , ( )(
11、)0( )( )( )ta bx ty tz tz az bC 、光滑曲线若对，有，则称为光滑曲线。称和为曲线 的起点和终点。12121213,( )( )( )atb atbttz tz tz tC、若对，当而有时，点称为曲线 的重点。没有重点的连续曲线称为简单曲线或约当（Jardan）曲线。（识别曲线的类型教材P9）第23页/共47页第二十三页，共48页。三、区域(qy) (qy) 1、去心邻域)(0zN3、区域(qy)及分类2、内点与开集区域(qy)连通的开集。有洞或有瑕点有洞或有瑕点多连通域多连通域无瑕点无瑕点无洞无洞单连通域单连通域、第24页/共47页第二十四页，共48页。属于(sh
12、y)D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。覆盖覆盖不可被半径有限的圆域不可被半径有限的圆域无界域无界域盖盖可被半径有限的圆域覆可被半径有限的圆域覆有界域有界域注：闭区域的的边边界界区区域域DDD，它不是区域。任意一条简单闭曲线 C C把复平面分为三个不相交(xingjio)(xingjio)的点集：有界区域称为 C C的内部；无界区域，称为 C C的外部； C C，称为内部与外部的边界。 （典型例题见教材8P例1.2.1 ，例1.2.2）第25页/共47页第二十五页，共48页。1.3 1.3 复变函数(hnsh)(hnsh)一、复变函数(hnsh)的概念1、定义)(zf
13、w 对于集合G中给定的 iyxz，总有一个（或几个）确定的复数 ivuw与之对应，并称G为定义集合，而GzzfwwG),(|*称为函数值集合(值域).多值函数多值函数单值函数单值函数分类第26页/共47页第二十六页，共48页。2、复变函数 )(zfw 与实函数的关系 ),(),()(),(),(yxvvyxuuzfwvuyxwzff讨论一个复变函数 )z(fw 研究两个实二元函数 ),(),(yxvyxuu3 3、复变函数(hnsh)(hnsh)的单值性讨论( , ), ( , )u x y v x y对应的两个实二元函数的单值性讨论。第27页/共47页第二十七页，共48页。教材(jioci)
14、P12 (jioci)P12 （例1.3.2)1.3.2)0(1zzw是否为单值函数 iyxyyxxyxiyxiyxzivuw22222211令 ,iyxz,ivuw则 2222,yxyvyxxu均为单值的实二元函数 )0(1zzw是单值函数。 故 第28页/共47页第二十八页，共48页。13Pzw 2教材 (例1.3.3）是单值函数(hnsh)吗？2222()2,wuivuvuvizxiy方法一：由得yuvxvu222，均为多值的实二元函数2,x yu ywz对给定，存在两组与之对应，故是多值函数13P方法二、 见教材第29页/共47页第二十九页，共48页。二、映射(yngsh)复变函数的几
15、何图形(jh t xng)表示( )yf xxy实自变量 与因变量 都在同一个平面内。其几何描述，函数图形为曲线。( )( , )( , )wf zzx yzwu v复自变量的几何描述在 平面内，因变量的几何描述需在另一个平面（w平面）内。第30页/共47页第三十页，共48页。 函数在几何上可以看着(kn zhe)是把 z 平面上的一个点集 G （定义域）变到 w 平面上的一个点集 G *（值域）的一个映射（或映照）。;GG*映象映象象象原象原象的象的象叫叫的象的象叫叫GGzw*( )wf z注：单值函数的反函数存在且为单值函数。*G与 G 中的点为一一对应映射为双射第31页/共47页第三十一
16、页，共48页。典 型 例 题2zw例1、求 z 平面上的下列图形在映射下的象。 ,zr 0 1；4 ,40 220 r ,Cyx122 3；22Cxy ,x 4.y第32页/共47页第三十二页，共48页。解 (1) (1) xyvyxuzw2,222)arg(2)arg(,|2zwzw乘法(chngf)的模与辐角定理How complex the expression are!第33页/共47页第三十三页，共48页。uv4i图a420 )(，rrezewii,22, 40 映为虚轴上从点0到4i的一段（见图a ）。 (1)记 ，则即w平面内0,0240,042r（2）同理知，z平面上，映为w平
17、面上扇形域（见图b），即4图bvu4i（3）见教材14P例1.3.4（3）第34页/共47页第三十四页，共48页。映为xvu,（4 4） 将直线建立所满足的象曲线方程yv ,yu222y，消 ，)(4222uv是以原点为焦点(jiodin)，开口向左的抛物线（见图c1)vu图c12)(4222uv其是以原点为焦点(jiodin)(jiodin)，开口向右的抛物线（见图c2c2）。 y22,2uxvx 将 线映为，消 x 得第35页/共47页第三十五页，共48页。229xy（1）22(1)1xy（2）zw1例2 2、 求下列曲线在映射下的象解法(ji f)(ji f)一（1 1）2222,1yx
18、yvyxxuzw 消 x, y 建立 u, v 所满足(mnz)的象曲线方程或由两个实二元函数反解解得 x=x (u, v), y=y (u, v）后，代入原象曲线方程即得象曲线方程9112222yxvu第36页/共47页第三十六页，共48页。22111vuivuivuiyxwzzw（2）2222vuvyvuux211) 1()(222222vvuvvuu代入原象曲线(qxin)方程，得w平面内的一条(y tio)直线。第37页/共47页第三十七页，共48页。解法(ji f)二)3|(9zzz或wz,wzzw111229xy（1）将化为911ww代入原象方程得 91ww1|3w （或）9122
19、vu化为实方程形式 （2 2）留作练习(linx)(linx)。第38页/共47页第三十八页，共48页。2222113( )(1)(1) f zxiyxyxyz例将函数改写成关于 的解析式.zzzfzziyzzx1)( )(21, )(21 )(代入得将共轭法解法一22()( )111( )()()f zxiyf zxiyxiyzzzxyz zz解法二拼凑法将的表达式凑成的因式.第39页/共47页第三十九页，共48页。2()0( ) ( )111 ( )(1)( )yf xzxf zf xxxf zzxxz解法三设零法令得的表达式.再以 代换 得注：象曲方程与原象曲线方程的表示多采用一致形式，
20、即要么均为实方程形式,要么均为复数方程的形式.第40页/共47页第四十页，共48页。复复变变函函数数的的极极限限一一、 1.4 1.4 复变函数(hnsh)(hnsh)的极限和连续性定义、1000lim( )()(), ( ) lim( )zzzzf zAzzf zAf z 形式与一元实函数的极限一致,记理解与二元 多元 实函数的极限一致 几何描述对任何的方式路径,趋近于同一个确定的复数掌握判别不存在的方法第41页/共47页第四十一页，共48页。2、存在判别法转化为实函数极限存在性判别00000016000000(1.4.1) ( )( , )( , ),lim( )lim( , ), lim
21、 , ),(zzxxxxyyyyf zAu x yPf zu x yiv x yAuivzxuv x yyvi见教材定理设则3、四则运算法则类似一元实函数的极限第42页/共47页第四十二页，共48页。00001(1)()(2) lim( )(3) lim( )()zzzzf zf zf zf z、定义存在；存在；两值相等， 即000( )( ,)( ,)(2 ,) f zzu x yv x yxy、存在判别法- 转化在 点连续实、虚部函数、均在为实函数的性点连续处连续。复复变变函函数数的的连连续续性性二二、1731.4.4P Th、四则运算性质及复合函数的连续性。见教材4 D、有界闭区域上连续
22、函数的最大 小 模存在定理。第43页/共47页第四十三页，共48页。20 16arg( )P Tz三、举例例（见教材） 试证在原点和负实轴上不连续。000000zzarg(0),arg( )0limarg( ),limarg( )limarg(z),arg( )zzzzwzzzzyzzzyzzz 证明无意义在点不连续 ；对负实轴上任一点当 沿平行于 轴正向趋于 时,而当 沿平行于 轴负向趋于 时不存在 函数在负实轴上不连续。第44页/共47页第四十四页，共48页。本章难点(ndin)与重点复杂函数的几何描述映射；难点复杂函数的极限概念理解。(-( )()arg z复数的辐角主值范围及其确定；重
23、点复数代数形式、三角式及指数式的互化；确定原象在映射下的象 或象曲线方程 。第45页/共47页第四十五页，共48页。注：分析中，习惯把变量之间的对应关系称为函数； 几何中，习惯把变量之间的对应关系称为映射； 代数(dish)(dish)中，习惯把变量之间的对应关系称为变换。 在复变函数中，不再区分函数、映射和变换(binhun)，将其统一看作是z平面上集合G与w平面上集合G*之间的一种对应。121zz2思考题：、如何理解两个复数 与 乘积与商的辐角形式？、函数、映射和变换是否为同一个概念？第46页/共47页第四十六页，共48页。感谢您的观看(gunkn)！第47页/共47页第四十七页，共48页。NoImage内容(nirng)总结第一章 复数与复变函数(hnsh)。P3（1.1.6）式或借助复数向量表示.。的所有复数唯一表示为一个点，则所有复数与复球面上的点建立一一对应关系。1、相等两个复数，当且仅当实部与虚部分别相等时才相等。答：有相同之处，但也有不同之处。二、简单曲线与光滑曲线。区域连通的开集。属于D内的任一条简单闭曲线，在D内可以经过连续的变形而收缩成一点。例1.2.1 ，例1.2.2）。对于集合G中给定的。分类。感谢您的观看第四十八页，共48页。