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1、 2020 年全国卷高考文数真题试卷（含答案） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合2 |340, 4,1,3,5Ax xxB ，则AB A 4,1 B1,5 C3,5 D1,3 2若312iiz ，则| |=z A0 B1 C2 D2 3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A514 B512 C514 D512 4设 O 为正方形 ABCD 的中心，在 O，
2、A，B，C，D 中任取 3 点，则取到的 3 点共线的概率为 A15 B25 C12 D45 5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位：）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据( ,)(1,2,20)iix yi 得到下面的散点图： 由此散点图， 在 10至 40之间， 下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 Ayabx B2yabx Cexyab Dlnyabx 6已知圆2260 xyx，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 A1 B2 C3 D4 7设函数( )cos()6f xx在，
3、的图像大致如下图，则 f（x）的最小正周期为 A109 B76 C43 D32 8设3log 42a，则4a A116 B19 C18 D16 9执行下面的程序框图，则输出的 n= A17 B19 C21 D23 10设na是等比数列，且1231aaa，234+2aaa，则678aaa A12 B24 C30 D32 11设12,F F是双曲线22:13yC x 的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且| 2OP ，则12PFF的面积为 A72 B3 C52 D2 12已知, ,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为 A64
4、 B48 C36 D32 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若 x，y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 z=x+7y 的最大值为 . 14设向量(1, 1),(1,24)mmab，若ab，则m . 15曲线ln1yxx的一条切线的斜率为 2，则该切线的方程为 . 16数列 na满足2( 1)31nnnaan ，前 16 项和为 540，则1a . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（1
5、2 分） 某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为 A，B，C，D 四个等级.加工业务约定：对于 A 级品、B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 90 元，50 元，20 元；对于 D 级品，厂家每件要赔偿原料损失费 50 元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为 25 元/件，乙分厂加工成本费为 20 元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下： 甲分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D 频数 40 20 20 20 乙分厂产品等级的频数分布表 等级 A B C D
6、频数 28 17 34 21 （1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率； （2）分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务? 18（12 分） ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 B=150. （1）若 a=3c，b=27，求ABC的面积； （2）若 sinA+3sinC=22，求 C. 19（12 分） 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点， APC=90 （1）证明：平面 PAB平面 PAC； （2）设 DO=2，圆锥的侧面积为3，求三棱锥
7、 PABC 的体积. 20（12 分） 已知函数( )e(2)xf xa x. （1）当1a 时，讨论( )f x的单调性； （2）若( )f x有两个零点，求a的取值范围. 21（12 分） 已知 A、B 分别为椭圆 E：2221xya（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，8AG GB，P 为直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在
8、直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt (t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为4 cos16 sin30 （1）当1k 时，1C是什么曲线？ （2）当4k 时，求1C与2C的公共点的直角坐标 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |31| 2|1|f xxx （1）画出( )yf x的图像； （2）求不等式( )(1)f xf x的解集 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考文科数学试题参考答案(A 卷) 选择题答案选择题答案 一、选择题选择题 1D 2C
9、 3C 4A 5D 6B 7C 8B 9C 10D 11B 12A 非选择题答案非选择题答案 二、填空题填空题 131 145 15y=2x 167 三、解答题三、解答题 17解： （1）由试加工产品等级的频数分布表知， 甲分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为400.4100； 乙分厂加工出来的一件产品为 A 级品的概率的估计值为280.28100. （2）由数据知甲分厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润 65 25 5 75 频数 40 20 20 20 因此甲分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 65402520520752015100 . 由数据知乙分
10、厂加工出来的 100 件产品利润的频数分布表为 利润 70 30 0 70 频数 28 17 34 21 因此乙分厂加工出来的 100 件产品的平均利润为 702830 170 34702110100 . 比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务. 18解： （1）由题设及余弦定理得22228323cos150ccc ， 解得2c （舍去） ，2c ，从而2 3a . ABC的面积为12 32 sin15032 （2）在ABC中，18030ABCC，所以 sin3sinsin(30)3sinsin(30)ACCCC， 故2sin(30)2C. 而030C，所以3045C，故1
11、5C . 19解：（1）由题设可知，PA=PB= PC 由于ABC 是正三角形，故可得PACPAB PACPBC 又APC =90 ，故APB=90 ，BPC=90 从而 PBPA，PBPC，故 PB平面 PAC，所以平面 PAB平面 PAC （2）设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l 由题设可得 rl=3，222lr 解得 r=1，l=3， 从而3AB 由（1）可得222PAPBAB，故62PAPBPC 所以三棱锥 P-ABC 的体积为3111166()323228PAPBPC 20解： （1）当a=1时，f（x）=exx2，则fx （ ）=ex1 当x0时，fx （ ）0时，fx （ ）0
12、 所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增 （2）fx （ ）=exa 当a0时，fx （ ）0，所以f（x）在（，+）单调递增， 故f（x）至多存在1个零点，不合题意 当a0时，由fx （ ）=0可得x=lna 当x（，lna）时，fx （ ）0所以f（x）在（，lna）单调递减，在（lna，+）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=a（1+lna） （i）若0a1e，则f（lna）0，f（x）在（，+）至多存在1个零点，不合题意 （ii）若a1e，则f（lna）0，所以f（x）在（，lna）存在唯一零点 由（1）知，当x2时，exx20，所以当x
13、4且x2ln（2a）时， ln(2 )22( )ee(2)e(2)(2)202xxaxf xa xa xa 故f（x）在（lna，+）存在唯一零点，从而f（x）在（，+）有两个零点 综上，a的取值范围是（1e，+） 21解： （1）由题设得(,0), ( ,0),(0,1)AaB aG 则( ,1)AGa，( , 1)GBa由8AG GB得218a ，即3a 所以E的方程为2219xy （2）设1122( ,),(,), (6, )C x yD x yPt 若0t ，设直线CD的方程为xmyn，由题意可知33n 由于直线PA的方程为(3)9tyx，所以11(3)9tyx 直线PB的方程为(3)
14、3tyx，所以22(3)3tyx 可得12213 (3)(3)y xy x 由于222219xy，故2222(3)(3)9xxy ，可得121227(3)(3)y yxx， 即221212(27)(3)()(3)0my ym nyyn 将xmyn代入2219xy得222(9)290mymnyn 所以212122229,99mnnyyy ymm 代入式得2222(27)(9)2 (3)(3) (9)0mnm nmnnm 解得3n （舍去） ，32n 故直线CD的方程为32xmy，即直线CD过定点3( ,0)2 若0t ，则直线CD的方程为0y ，过点3( ,0)2 综上，直线CD过定点3( ,0
15、)2 22解：当 k=1 时，1cos ,:sin ,xtCyt消去参数 t 得221xy，故曲线1C是圆心为坐标原点，半径为 1 的圆 （2）当 k=4 时，414cos,:sin,xtCyt 消去参数 t 得1C的直角坐标方程为1xy 2C的直角坐标方程为41630 xy 由1,41630 xyxy解得1414xy 故1C与2C的公共点的直角坐标为1 1( , )4 4 23解： （1）由题设知13,31( )51,1,33,1.xxf xxxxx ( )yf x的图像如图所示 （2）函数( )yf x的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数(1)yf x的图像 ( )yf x的图像与(1)yf x的图像的交点坐标为711(,)66 由图像可知当且仅当76x 时，( )yf x的图像在(1)yf x的图像上方， 故不等式( )(1)f xf x的解集为7(,)6