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1、 2020 年全国卷高考理数真题试卷（含答案） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1若z=1+i，则|z22z|= A0 B1 C2 D2 2设集合A=x|x240，B=x|2x+a0，且AB=x|2x1，则a= A4 B2 C2 D4 3埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A514 B512 C514 D512 4已知A为抛物线C:y2=2px（p0）上一点，点A到
2、C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p= A2 B3 C6 D9 5某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率 y 和温度 x（单位： C）的关系，在 20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据( ,)(1,2,20)iix yi 得到下面的散点图： 由此散点图，在 10 C 至 40 C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率 y 和温度 x 的回归方程类型的是 Ayabx B2yabx Cexyab Dlnyabx 6函数43( )2f xxx的图像在点(1(1)f，处的切线方程为 A21yx B21yx C23yx D21yx 7设函数( )cos()6f xx在
3、,的图像大致如下图，则 f(x)的最小正周期为 A109 B76 C43 D32 825()()xxyxy的展开式中 x3y3的系数为 A5 B10 C15 D20 9已知 ()0,，且3cos28cos5，则sin A53 B23 C13 D59 10已知, ,A B C为球O的球面上的三个点，1O为ABC的外接圆，若1O的面积为4，1ABBCACOO，则球O的表面积为 A64 B48 C36 D32 11已知M：222220 xyxy，直线l：220 xy，P为l上的动点，过点P作M 的切 线,PA PB，切点为,A B，当| |PMAB最小时，直线AB的方程为 A210 xy B210
4、xy C210 xy D210 xy 12若242log42logabab，则 A2ab B2ab C2ab D2ab 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。 13若 x，y 满足约束条件220,10,10,xyxyy 则 z=x+7y 的最大值为 . 14设, a b为单位向量，且| 1ab，则|ab . 15已知 F 为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的右焦点，A 为 C 的右顶点，B 为 C 上的点，且 BF 垂直于 x轴.若 AB 的斜率为 3，则 C 的离心率为 . 16如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，
5、AC=1，3ABAD，ABAC，ABAD，CAE=30 ，则 cosFCB= . 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分） 设na是公比不为 1 的等比数列，1a为2a，3a的等差中项 （1）求na的公比； （2）若11a ，求数列nna的前n项和 18（12 分） 如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AEADABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，66PODO （1）证明：PA平面PBC； （2）求
6、二面角BPCE的余弦值 19.（12 分） 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束. 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 20.（12 分） 已知 A、B 分别为椭圆 E：2221xya（a1）的左、右顶点，G 为 E 的上顶点，8AG GB，P 为
7、直线 x=6 上的动点，PA 与 E 的另一交点为 C，PB 与 E 的另一交点为 D （1）求 E 的方程； （2）证明：直线 CD 过定点. 21 （12 分） 已知函数2( )exf xaxx. （1）当 a=1 时，讨论 f（x）的单调性； （2）当 x0 时，f（x）12x3+1，求 a 的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22选修 44：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为cos,sinkkxtyt (t为参数)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2
8、C的极坐标方程为4 cos16 sin30 （1）当1k 时，1C是什么曲线？ （2）当4k 时，求1C与2C的公共点的直角坐标 23选修 45：不等式选讲（10 分） 已知函数( ) |31| 2|1|f xxx （1）画出( )yf x的图像； （2）求不等式( )(1)f xf x的解集 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考理科数学试题参考答案(A 卷) 选择题答案选择题答案 一、选择题选择题 1D 2B 3C 4C 5D 6B 7C 8C 9A 10A 11D 12B 非选择题答案非选择题答案 二、填空题填空题 131 143 152
9、 1614 三、解答题三、解答题 17解： （1）设na的公比为q，由题设得1232,aaa 即21112aa qa q. 所以220,qq 解得1q （舍去） ，2q . 故na的公比为2. （2）设nS为nna的前 n 项和.由（1）及题设可得，1( 2)nna .所以 11 2 ( 2)( 2)nnSn ， 21222 ( 2)(1) ( 2)( 2)nnnSnn . 可得2131 ( 2)( 2)( 2)( 2)nnnSn 1 ( 2)=( 2) .3nnn 所以1(31)( 2)99nnnS. 18解： （1）设DOa，由题设可得63,63POa AOa ABa， 22PAPBPCa
10、. 因此222PAPBAB，从而PAPB. 又222PAPCAC，故PAPC. 所以PA 平面PBC. （2）以O为坐标原点，OE的方向为y轴正方向，|OE为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz. 由题设可得3 12(0,1,0),(0, 1,0),(,0),(0,0,)222EACP. 所以312(,0),(0, 1,)222ECEP . 设( , , )x y zm是平面PCE的法向量，则00EPECmm，即20231022yzxy ， 可取3(,1,2)3 m. 由（1）知2(0,1,)2AP 是平面PCB的一个法向量，记APn， 则2 5cos,|5n mn mn m|. 所以
11、二面角BPCE的余弦值为2 55. 19解：（1）甲连胜四场的概率为116 （2）根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为116； 乙连胜四场的概率为116； 丙上场后连胜三场的概率为18 所以需要进行第五场比赛的概率为11131161684 （3）丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为18 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为116，18，18 因此丙最终获胜的概率为111178168816 20解： （1）由题设得 A（
12、a，0） ，B（a，0） ，G（0，1）. 则( ,1)AGa，GB=（a，1）.由AG GB=8得a21=8，即a=3. 所以E的方程为29x+y2=1 （2）设C（x1，y1） ，D（x2，y2） ，P（6，t）. 若t0，设直线CD的方程为x=my+n，由题意可知3n3. 由于直线PA的方程为y=9t（x+3） ，所以y1=9t（x1+3）. 直线PB的方程为y=3t（x3） ，所以y2=3t（x23）. 可得3y1（x23）=y2（x1+3）. 由于222219xy，故2222(3)(3)9xxy ，可得121227(3)(3)y yxx， 即221212(27)(3)()(3)0.m
13、y ym nyyn 将xmyn代入2219xy得222(9)290.mymnyn 所以12229mnyym ，212299ny ym 代入式得2222(27)(9)2 (3)(3) (9)0.mnm nmnnm 解得n=3（含去） ，n=32. 故直线CD的方程为3=2x my ，即直线CD过定点（32，0） 若t=0，则直线CD的方程为y=0，过点（32，0）. 综上，直线CD过定点（32，0）. 21解： （1）当a=1时，f（x）=ex+x2x，则( )fx=ex+2x1 故当x（，0）时，( )fx0所以f（x）在（，0）单调递减，在（0，+）单调递增 （2）31( )12f xx等价
14、于321(1)e12xxaxx. 设函数321( )(1)e (0)2xg xxaxxx，则 32213( )(121)e22xg xxaxxxax 21(23)42e2xx xaxa 1(21)(2)e2xx xax . （i）若2a+10，即12a ，则当x（0，2）时，( )g x0.所以g（x）在（0，2）单调递增，而g（0）=1，故当x（0，2）时，g（x）1，不合题意. （ii）若02a+12，即1122a，则当x(0，2a+1)(2，+)时，g(x)0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+)单调递减，在(2a+1，2)单调递增.由于g(0)=1，所以g(x)1当且仅当g(2)
15、=(74a)e21，即a27e4. 所以当27e142a时，g(x)1. （iii）若2a+12，即12a ，则g(x)31(1)e2xxx. 由于27e10, )42，故由（ii）可得31(1)e2xxx1. 故当12a 时，g(x)1. 综上，a的取值范围是27e,)4. 22解：（1）当 k=1 时，1cos ,:sin ,xtCyt消去参数 t 得221xy，故曲线1C是圆心为坐标原点，半径为 1的圆 （2）当 k=4 时，414cos,:sin,xtCyt 消去参数 t 得1C的直角坐标方程为1xy 2C的直角坐标方程为41630 xy 由1,41630 xyxy解得1414xy 故1C与2C的公共点的直角坐标为1 1( , )4 4 23解： （1）由题设知13,31( )51,1,33,1.xxf xxxxx ( )yf x的图像如图所示 （2）函数( )yf x的图像向左平移 1 个单位长度后得到函数(1)yf x的图像 ( )yf x的图像与(1)yf x的图像的交点坐标为711(,)66 由图像可知当且仅当76x 时，( )yf x的图像在(1)yf x的图像上方， 故不等式( )(1)f xf x的解集为7(,)6