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1、12018 级高二下学期 5 月月考题 理科数学2018 级高二下学期 5 月月考题 理科数学（考试时间：（考试时间：120 分钟；满分：分钟；满分：150 分）分）一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）1.复数iz3在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案C2.有 8 名男三好学生，7 名女三好学生，从中选出一名学生出席市三好学生表彰大会，选法种数为（）A.7B.8C.15D.56答案C3.若复数immz)2() 1(是纯虚数（i是虚数单位），则实数 m（）A.1 B.1C.2D.1或2答案B4.已知直线l是曲线2xy 在点) 1 , 1 (P处的切
2、线，则直线l的斜率为（）A2B1C1 D1 或1答案xy2 ，2 k，选 A.5.在读书活动中， 一个学生要从2本不同的科技书，3本不同的政治书中， 各选一本来读， 选法种数是 （）A.7B.6C.5D.4答案 B6.已知命题p：“*Nx，3)21(x”，则p 为（）A*Nx，3)21(xB*Nx，3)21(xC*0Nx ，3)21(0 xD*0Nx ，3)21(0 x答案D7.设3)2( f，则xfxfx)2()2(lim0（）A.3 B.2 C.2D.3答案D28.已知)(xfy 的图象如图，)(xf 是)(xf的导数，则)(1xf 与)(2xf 的大小关系是（）A)()(21xfxf B
3、)()(21xfxf C)()(21xfxf D)(1xf 与)(2xf 大小不能确定答案B9.下列命题中，是真命题的是（）A1 a，1 b1 abB求导：xx3)3(C0 ba1 baD求导：xxcos1)(tan 答案A10.已知复数biz 1，则z（）A.恒等于 1B.有最大值 1，无最小值C.有最小值 1，无最大值D.无最大值，也无最小值答案biz 1，112 bz，选 C.11.若2 是函数xeaxxxf) 1()(2 （Ra ）的极值点，则)(xf的极小值点为（）A.25 eB.1C.e D.2 答案xeaxaxxf 1)2()(2 ，0 1)2(24)2(2 eaaf，1 a，x
4、exxxf)2()(2，xxexxexxxf) 1)(2()2()(2 ，选 B12.已知函数)(xf与)(xf 的图象如图所示，则函数xexfxg)()(的递减区间为（）A.)4 , 0(B.)4 ,34(),1 ,(C.)34, 0(D.), 4(),1 , 0(答案D解析在)4 ,34(x，上方的图象是)(xf 的图象，xxxxexfxfeexfexfxg)()()()()()(2，令0)( xg，即0)()(xfxf，由图可得), 4() 1 , 0(x，故函数单调递减区间为), 4(),1 , 0(，故选 D.3二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)13.若i
5、z21 （i是虚数单位），则 z解：3 z.14.设p：21 x,q：ax 1,若p是q的充分不必要条件，则实数a的取范围是解：由p是q的充分不必要条件，得2 a,即a的取范围是), 2( .15.若过原点的直线l与曲线xey 相切，则切点坐标是解：切点坐标是), 1 ( e.16.若xxxxfln3421)(2在区间 1,tt上不单调，则实数t的取值范围解：xxxxxxxxxf)3)(1(3434)(2，)(xf 在开区间) 1,(tt有零点，注意到， 1,tt的区间长度为1，结合图形知)3 , 2() 1 , 0( t.三、解答题（17 题 10 分，其余各题每题 12 分，共 70 分，
6、请写出必要的解题步骤）17. （本题 10 分）已知命题p：021 m，q：012 m.（I）若命题q 为真命题，求实数m的取值范围.（II）若qp 为真命题，qp 为假命题，求实数m的取值范围.【解析】 （I）法一：q 为：012 m，命题q 为真时，有1 m或1 m，即实数m的取值范围是), 1 () 1,( ;法二：当q真时，有11 m，q 为真时，1 m或1 m，即实数m的取值范围是), 1 () 1,( ;（II）由题意得qp,一真一假，即p真q假，或p假q真，即)( qp 真，或qp 真p真：21 m； p假：21 m，即p 真：021 m，21 m，q真：11 m， q假：1 m
7、或1 m，即q 真：1 m或1 m，当p真q假，)( qp 真时，1 m，当p假q真，qp 真时，121 m，故实数m的取值范围是 1 ,21) 1,( 。418.（本题 12 分）（I）复数iaz)7(221 ，iaz)32(12 ，若izz5321 ，求实数a的值.（II）若i 21 是关于x的方程02 cbxx（Rcb ,）的根，求实数b和c的值解：（I）iiaazz53)102(3221 ，01522 aa，3a或5a.（II）法一：0)21 ()21 (2 cibi，024412 cbibii，02441 cbibi，0)42(3 ibcb， 04203bcb， 52cb法二：ix2
8、11 ，ix212 是一元二方程02 cbxx的两根， 541)21)(21 (2)21 ()21 (22121iiixxiixx， cxxbxx2121， 52cb， 52cb19.（本题 12 分）已知函数xxxxf1ln)( ，)(xf 是)(xf的导数.（I）求)(xf ；（II）求曲线)(xfy 在1 x处的切线方程.解：（I）11ln11ln)(2 xxxxxxxf；（II）1) 1 ( f，切点为) 1, 1 ( ，2) 1 ( fk，曲线切线方程为) 1(21 xy，即12 xy，即012 yx。20.（本题 12 分）（I）已知函数293)(23 xxxxf，求函数)(xf的
9、单调区间和极值；（II）求证：1 xex（Rx ）.（I）解：)3)(1(3)32(3963)(22 xxxxxxxf，) 1,( 1 )3 , 1( 3), 3( )(xf 正正0负负0正正)(xf增增极大值为极大值为 7减减极小值为极小值为-25增增由上表知：)(xf的增区间是) 1,( 和), 3( ，减区间是)3 , 1( ;当1 x时，)(xf的极大值是7；当3 x时，)(xf的极大值是25 .（II）证明：1 xex01 xex，设1)( xexgx（Rx ） ，则1)( xexg，)0 ,(0), 0( )(xg 负负0正正)(xg减减极小值为极小值为 0增增5由上表知：)(xg
10、的减区间是)0 ,(，增区间是), 0( ;当0 x时，)(xg的最大值为0，01)( xexgx，1 xex.21.（本题 12 分）已知函数axxxxf 2ln2)(（Ra ）（I）若曲线)(xfy 在1 x处的切线方程为12 xy，求a的值；（II）若函数maxxfxg )()(在,1ee上有两个不同的零点，求实数m的取值范围解： （I）当2 a时，xxxxf2ln2)(2 ，axxxf 22)(，则222) 1 ( af.2 a（II）法一：由题意得，mxxxg 2ln2)(，则xxxxxxg)1)(1 (222)( .,1eex ，令0)( xg，得1 x.当11 xe时，0)( x
11、g，)(xg单调递增；当ex 1时，0)( xg，)(xg单调递减故)(xg在,1ee上有最大值1) 1 ( mg.又212)1(emeg ，22)(emeg ，014)1()(22 eeegeg，则)1()(egeg ，)(xg在,1ee上有最小值22)(emeg ，)(xg在,1ee上有两个不同的零点的条件是 012)1(01) 1 (2emegmg，解得2121em ，实数 m 的取值范围是12 , 1 (2e .法二：由题意得，mxxxg 2ln2)(，令0ln2)(2 mxxxg，则xxmln22 ，设xxxhln2)(2 ，,1eex ，则xxxxxxh) 1)(1(222)( .
12、,1eex ，令0)( xh，得1 x.当11 xe时，0)( xh，)(xh单调递减；当ex 1时，0)( xh，)(xh单调递增故)(xh在,1ee上有最小值1) 1 ( h.6又21)1(2 eeh，2)(2 eeh，014)1()(22 eeeheh，则)1()(eheh ，)(xh在,1ee上有最大值2)(2 eeh，)(xg在,1ee上有两个不同的零点的条件是2121em ，实数 m 的取值范围是12 , 1 (2e .22.（本题 12 分）已知函数xxxaxfln)()(2 （Ra ）（I）若)(xf在1 x处取到极值，求a的值；（II）若0)( xf在), 1 上恒成立，求a
13、的取值范围；解：（I）xaaxxf12)( ，)(xf在1x 处取到极值，01) 1 ( af，1 a，当1 a时，xxxxxxxxxf) 1)(12(12112)(2 （0 x），)(xf在) 1 , 0(上单调递减，在), 1 ( 上单调递增，)(xf在1x 处取到极小值，符合条件，综上所述：1 a（II）xaxaxxf12)(2 ，令12)(2 axaxxg（1 x），1当0 a时，01)( xxf，)(xf在), 1 上单调递减，0) 1 ()( fxf，不符合；2当0 a时，)(xg的抛物线的开口方向向上，对称轴为41 x，过点) 1, 0( ，若01) 1 ( ag，即1 a，则)
14、(xf在), 1 上单调递增，0) 1 ()( fxf，符合；若01) 1 ( ag，即1 a，则存在), 1 (0 x，使得0)(0 xg，于是)(xf在), 1 0 x上单调递减，0) 1 ()( fxf，不符合；3当0 a时，)(xg的抛物线的开口方向向上，对称轴为41 x，过点) 1, 0( ，01) 1 ( ag，存在) 1 , 0(0 x，使得0)(0 xg，于是)(xf在), 1 上单调递减，0) 1 ()( fxf，不符合；综上所述：a的取值范围为), 1 ；回顾与反思回顾与反思：本小题还别的方法吗？应当还有两种方法，请读者自已完成（III）证明：由（I）知令1 a，当), 1 x时，0ln)(2 xxx（当且仅当1 x时，取等号），7当2 x时，xxxxxxx111) 1(11ln12 即当x 2，3，4，n，有nnnnnn111)111()3121()211 (ln13ln12ln1 点睛：这个题目考查了导数在研究函数极值和单调性，最值中的应用，最终还用到了赋值的思想，证明不等式.其中有典型的恒成立求参的问题.一般是转化成函数最值问题，或者先变量分离，将参数和变量分离到不等号的两侧，再转化为最值问题.