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1、 高中 2019 级数学试题 第 1 页 （共 7 页） 仁寿一中南校区高 2019 级第二次月考试题 数学 考试时间共 120 分钟，满分 150 分 注意事项：注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用 0.5 毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。 2.选择题使用 2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上， 如需改动， 用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
2、 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若数列的通项公式为，则此数列是（ A A ） A.公差为2的等差数列 B. 公差为5的等差数列 C.首项为5的等差数列 D. 公差为n的等差数列 2. 在等比数列 na中，已知1 358aa a ，则24a a ( D D ) A16 B6 C12 D4 3. 设0,ab则下列不等式中恒成立的是（ B B ） A ba11 B ba11 C 2ba D 2ab 4. 不等式3102xx的解集是（ B ） A1 |23xx B1 |23xx C1 |23x xx或 D 5.
3、在ABC 中，若2,4,60 ,acB则b等于( A ) A23 B12 C27 D28 6. ABC中， 角CBA、所对的边分别是cba、， 若角CBA、依次成等差数列， 且3, 1ca则ABCS等于（ D D ）. A2 B.3 C.23 D. 43 7. 用火柴棒摆“金鱼”，按照上面的规律，第6个“金鱼”图需要火柴棒的根数为（ D D ） na25nan2x x 高中 2019 级数学试题 第 2 页 （共 7 页） A34 B46 C66 D. 38 8. 在ABC中，若0120, 2Ab，三角形的面积3S，则三角形外接圆的半径为（ C C ） A3 B2 3 C2 D4 9. 等差数
4、列 na, nb的前n项和分别为nS,nT,若231nnSnTn,则nnab=（ B ） A23 B2131nn C2131nn D2134nn 10. 已知数列 na对任意的+pqN、，满足qpqpaaa，且26a ，那么10a等于（C C ） A.165 B. 33 C. 30 D. 21 11. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若2 .sinsinabcBA则ABC的形状是（ B B ） A等边三角形 B等腰直角三角形 C等腰三角形 D直角三角形 12. 在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c.若22abc则cosC的最小值（ A A ）
5、A624 B32 C622 D324 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.在等差数列 na中，328,nan则使nS取得最小值时的=n_9 9_ 14.在ABC中， 角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 且abc，32 sinabA 则角B的大小为_60 ； 15. 若不等式02baxx的解集为32 xx,则ba_1 _； 16.下列命题成立的是 （写出所有正确命题的序号） 222, ,a b cR abcabbcac； 当0 x 时,函数22112( )2222f xxxxxx，当且仅当22xx即2x 时( )f x取最小值； 当1x 时，2451
6、xxx ； 当0 x 时，111xxxx 的最小值为52 高中 2019 级数学试题 第 3 页 （共 7 页） 三、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分） 在ABC中,内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,且sin3 cosbAaB. (1)求角B的大小; (2)若3,sinC2sinAb ,求,ca的值. 18.（12 分） 已知递减等差数列 na中，374616,0a aaa ，求： （1）求数列通项公式na ； （2）求数列na前n项和15S. 解析：（1）设的公差为，则 即 解得 na为递减数列nan2106
7、分 nad11112616350adadadad 22111812164adadad 118,82,2aadd 或 高中 2019 级数学试题 第 4 页 （共 7 页） （2）当0, 5nan，0, 6nan 5,4095,922nnnnnnsn12 分 19.（12 分） 如图所示，近日我渔船编队在岛 A 周围海域作业，在岛 A 的南偏西 20 方向有一个海面观测站 B，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与 B 相距 31 海里的 C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西 40 方向，以 40 海里/小时的速度向岛 A直线航行以保护我渔船编队，30 分钟后到达 D 处
8、，此时观测站测得 B，D 间的距离为 21 海里 ()求cos BDC的值； ()试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛 A？ 【详解】()由已知可得140202CD ， BDC中，根据余弦定理求得2222120311cos2 21 207BDC， 4 3sin7BDC ()由已知可得204060BAD ， 4 31135 36072721)4(sin ABDsinBDC ABD中，由正弦定理可得sin21 sin15sinsinBDABDABDADBADBAD， 156022.540t 分钟 即海警船再向前航行 22.5 分钟即可到达岛A 20.（12 分） 已知数列的前项和为 ( *nN)，
9、且312nnSa. （1）求数列的通项公式； （2）设nnbna，求数列的前项和. 答案及解析：答案及解析： nannS nana nbnnT 高中 2019 级数学试题 第 5 页 （共 7 页） 21.（12 分） 在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且232 coscbaB，7a . （）若3c ，求ABC 的面积； （）若ABC 为锐角三角形，求3bc的取值范围. 【详解】解：（）232 coscbaB，由正弦定理得， 2sin3sin2sin cosCBAB， 2sin3sin2sin cosABBAB， 2cos sin3sinABB， 0,B，sin0B ，
10、 3cos2A，0,A，6A. 高中 2019 级数学试题 第 6 页 （共 7 页） 由余弦定理得：2373232bb ， 2340bb，410bb，4b （负值舍去）， 111sin433222ABCSbcA . 法二：由余弦定理得，2222322acbcbaac， 2223bcabc， 3cos2A，0,A，6A 由余弦定理得：2373232bb ， 2340bb，410bb，4b （负值舍去）， 111sin433222ABCSbcA . （）由正弦定理得：72 71sinsinsin2abcABC， 532 73sinsin6bcBB 312 7sincos2 7sin226BBB.
11、 ABC是锐角三角形，32B， 663B，13sin262B， 37, 21bc . 高中 2019 级数学试题 第 7 页 （共 7 页） 22.（12 分） 已知数列 na的首项1133,521nnnaaanNa （1）求证：数列11na为等比数列； （2）记12111nnSaaa，若101nS ，求最大正整数n的值； （3）是否存在互不相等的正整数, ,m s n，使, ,m s n成等差数列，且1,1,1msnaaa成等比数列？如果存在，请给予证明；如果不存在，请说明理由. 答案及解析：答案及解析： 解：（1）因为112133nnaa，所以111 11(1)3nnaa 又因为1110a
12、 ，所以110()nnNa ，所以数列11na为等比数列. （2）由（1）可得112 11( )3 3nna ，所以112 ( )13nna， 1212111111111332()211333313nnnnnSnnnaaa ， 若101nS ，则111013nn ，所求最大正整数n的值为 100. （3）假设存在满足题意的正整数, ,m s n， 则2mns，2(1)(1)(1)mnsaaa， 因为332nnna ，所以2333(1)(1)(1)323232mnsmns， 化简得，332 3mns，因为33232 3mnm ns， 当且仅当mn时等号成立，又, ,m s n互不相等， 所以满足题意的正整数, ,m s n不存在.