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1、高二数学（理）第 1 页 共 5 页高二数学（理）参考答案高二数学（理）参考答案一一 选择题：选择题：1-61-6：B BD DBCCBBCCB7-127-12 A AD DCCAACCAA二二 填空题：填空题：13.13.3414.14. 8 815.15.3216.16.），（2（或者或者2a）三三 解答题：解答题：17.17.解：解：（I I）Nnbbnn,21且且 , 11b nb是首项为是首项为 1 1，公比，公比2q的等比数列，的等比数列， 1 1 分分故故nnnqbb211. .2 2 分分对于数列对于数列 na，:22nnSn当当2n时：时：,11221nnSn两式相减得：两式
2、相减得：, nan4 4 分分当当1n时：时：, 1, 21121121SaS满足满足, nan5 5 分分综上：综上：, nanNnbnn,2. . 6 6 分分（IIII）由由（I I）知：知：,2nnnnba7 7 分分nnnnnbababaT2222122211 8 8 分分,222212132 nnnT9 9 分分两式相减得两式相减得：,221212222221132 nnnnnnnT1111 分分化简得化简得., 2211NnnTnn1212 分分18.18.解解： （I）证明：）证明：ABCD四边形是菱形，是菱形，=2,60 ,AB ACACBDABC 1 分分1,2,.AOA
3、OAAAOAO又3 3 分分又又BOAO OBAAO面, ,即即BDAAC 面5 分分.A BDABCD平面平面6 分分（IIII）法一法一由由（I I）知：知：,OA OB OC三线两两互相垂直，以以O为坐标原点，分别以为坐标原点，分别以, ,OB OC OAx y zOxyz所在直线为轴建立空间直角坐标系7 7 分分如图所示：易知：如图所示：易知： 0,0,1 ,0,1,0 ,3,0,0 ,ACD 2AMMD 又由得：2 31,0,33M则则31=3,1,0 ,0,33DCDM 8 8 分分取取0,0,1a 为平面为平面BCD的一个法向量，的一个法向量，高二数学（理）第 2 页 共 5 页
4、设平面设平面MCD的法向量为的法向量为, ,bx y z, ,由由3=0,=0,31=0=033xyDC bDM bxz 得：，取取3, 3, 3b ，1010 分分321cos,721a ba ba b ，1111 分分故所求二面角故所求二面角MCDB的正弦值为：的正弦值为：22 71 cos,.7a b 1212 分分法二法二过点过点O作作CDOH 于点于点H，连结，连结HA由（由（1 1）可得）可得HACDOHACDCDOAABCDOA面，故面8 8 分分由定义可知，由定义可知，HOA为二面角为二面角BCDM的平面角的平面角9 9 分分27,23, 1HAOHOA又，所以所以772sin
5、HAOAHOA1212 分分19.19.解：（解：（I I）由题意由题意知：知：3, 1bcc1 1 分分又又222cba, 2, 3ab3 3 分分故所求椭圆故所求椭圆E的方程为：的方程为：13422yx4 4 分分（IIII）当直线当直线l不与不与x轴垂直时：轴垂直时：设设),1(:xkyl与椭圆与椭圆E联立方程化简得：联立方程化简得：, 01248)34(2222kxkxk设设),(),(2211yxByxA所以所以34124,34822212221kkxxkkxx6 6 分分故故1212121212(1)(1)11=2 3444444AMBMyyk xk xkkkxxxxxx （+）8
6、 8 分分又又3216348434124834816)(48414122222221212121kkkkkkxxxxxxxx9 9 分分0)32(32kkkBMAM1010 分分当直线当直线l与与x轴垂直时，此时根据对称性易得轴垂直时，此时根据对称性易得0AMBMkk为定值1111 分分综上：综上：AMBMkk为定值0.1212 分分高二数学（理）第 3 页 共 5 页20.20.解解： （I I）易知易知Y Y的可能取值为的可能取值为 8,9,8,9,由表由表 1 1 知：知：, 4 . 0)9(, 6 . 0)8(YPYP1 1 分分所以所以Y Y的分布列为的分布列为Y Y8 89 9P
7、P0.60.60.40.4Y Y的数学期望为的数学期望为 ).(4 . 84 . 096 . 08个YE3 3 分分（IIII）易知：该套净水系统中易知：该套净水系统中在使用期内在使用期内一个一级过滤器需要更换一个一级过滤器需要更换 9 9 个滤芯的概率为个滤芯的概率为 0.4,0.4,两个二级过滤两个二级过滤器均需要更换器均需要更换 6 6 个滤芯的概率为个滤芯的概率为 0.40.40.40.4， 5 5 分分记记“一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 2121”事件事件A, ,故所求故所求.064. 04 . 04 . 0
8、4 . 0)(AP）（或者12586 6 分分（IIIIII）法一法一记记X分别表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用（单位：元）分别表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用（单位：元）18 nm且且9 , 8m，当当8m，10n时，时， ，元222416. 020032. 010080104 . 02001608XE8 8 分分当当9m，9n时，时， ，元230416. 030032. 020016. 016. 01008091609XE1010 分分因为因为23042224 ，故选择方案故选择方案：8m，10n. .1212 分分法二法二由图可知，一个二级滤芯十年内需
9、要更换的个数为由图可知，一个二级滤芯十年内需要更换的个数为 4,5,64,5,6 的概率分别为的概率分别为 0.2,0.4,0.40.2,0.4,0.4令令X表示一套净水系统在使用期间需要更换的二级滤芯的总个数则表示一套净水系统在使用期间需要更换的二级滤芯的总个数则.12,11,10, 9 , 8X16. 04 . 04 . 0)12(32. 024 . 04 . 0)11(32. 04 . 04 . 024 . 02 . 0)10(16. 024 . 02 . 0)9(04. 02 . 02 . 0)8(XPXPXPXPXP，8 8 分分令令yx,分别表示一套净水系统该客户在使用期间需要购买
10、的一级滤芯、二级滤芯的总个数，分别表示一套净水系统该客户在使用期间需要购买的一级滤芯、二级滤芯的总个数，Z Z 表示该客户在使用期间购买各级滤芯所需总费用，由表示该客户在使用期间购买各级滤芯所需总费用，由yx,的分布列可知：的分布列可知：当当10, 8nm时，时，x0 01 1P0.60.60.40.44 . 0EXy0 01 12 2P0.520.520.320.320.160.1664. 0Ey222410064. 02004 . 0108081601EZ1010 分分当当9, 9nm时，由于一级滤芯无需购买，故时，由于一级滤芯无需购买，故y0 01 12 23 3P0.20.20.320
11、.320.320.320.160.16高二数学（理）第 4 页 共 5 页44. 1Ey230410044. 198091602EZ因为因为21EZEZ , ,所以选方案所以选方案，10, 8nm1212 分分2121. .解解： （I I）xaxaaxgxxaaxxg11)( ), 0(,2ln1)(2 2 分分当当0a时时，上单调递增；在), 0()(, 0)( xgxg3 3 分分当当0a时时，.), 0()(, 0)( 上单调递减在xgxg4 4 分分（IIII）法一法一：xxxxexeex2ln2ln2,2，由已知条件可知：，由已知条件可知：12ln2lnxxaexx在在), 0(
12、x上恒成立上恒成立. . 5 5分分令令,2lnxxt则则t在在), 0( 单调递增且单调递增且,Rt即转化为即转化为1 atet在在Rt上恒成立上恒成立. . 7 7 分分构造函数构造函数Rttetht, 1)(, ,1)( teth单调递减，时，当)(, 0)( )0 ,(ththt单调递增时，当)(, 0)( ), 0(ththt9 9 分分. 1:, 0)0()(tehtht即1 10 0 分分因为因为1 ty与与1 aty的图像都过点的图像都过点），（ 10，所以由数形结合可知当，所以由数形结合可知当1 atet在在Rt上恒成立上恒成立时可时可得：得：1a. .1212 分分法二法二
13、： 令令),()()(xgxfxh则则)2ln1(2)(xaaxxexhx，)2)(1()(xaexxhx，对对a进行讨进行讨论论. .当当0a时，时，0)( xh，)(xhy 递增，但是当递增，但是当 0 x时，时，)(xh，这与，这与0)(xh恒成立矛恒成立矛盾盾。8 8 分分当当0a时，令时，令xaexmx 2)(，可得，可得)(xmy 在在），（0上存在唯一零点上存在唯一零点0 x，使得，使得0200 xaex，同，同时时aaaxhxhln1)()(0min。令。令0ln1aaa构造函数可解构造函数可解1a1212 分分法三：易知法三：易知0a. .0)2(2)(0) 1(2)(2)(
14、 xxxexxfexxfxexf，)(xfy 在在，0为单调递增的下凸函数为单调递增的下凸函数5 5 分分0)(, 0)11 ()(2ln1)(2 xaxgxaxgxaaxxg)(xgy 在在，0为单调递增的上为单调递增的上凸函数凸函数6 6 分分由两函数相切求临界点的方程，探求临界值点，列关于切点方程的方法由两函数相切求临界点的方程，探求临界值点，列关于切点方程的方法. .7 7 分分设两曲线相切的切点为设两曲线相切的切点为),(00yxP高二数学（理）第 5 页 共 5 页)11 () 1(212ln20000000 xaxexaaxexxx11lnaaaa9 9 分分当当1a，下证，下证
15、)()(xgxf1212 分分22.22.解：解：（I I）由由2,xtyt 消去参数消去参数t得直线得直线l的普通方程为：的普通方程为：20.xy2 2 分分2222(12cos2 )3(4)30,cos22cos1,cos1又由又由cos ,sinxy得：得：222430 xxy4 4 分分化简得曲线化简得曲线2C的普通方程为：的普通方程为：221.3yx 5 5 分分（IIII）由由（I I）知：知：( 2,0)P ，直线，直线l的倾斜角为的倾斜角为45，可得直线可得直线l标准的参数方程为标准的参数方程为22,222xtyt ( (t为参数为参数) )，6 6 分分代入曲线代入曲线2C的
16、普通方程的普通方程2213yx 化简得：化简得：26 290tt，设其两根为，设其两根为21,tt8 8 分分则则由由t的几何意义可知：的几何意义可知：12126 2.PMPNtttt1010 分分2 23 3. .解解： （I I）由由230 x得：得：32x ，由由210 x 得：得：1.2x 1 1 分分当当32x 时：时：(23)(21)6xx此时：此时：322x ，2 2 分分当当3122x时：时：(23)+(21)6xx此时：此时：3122x，3 3 分分当当12x 时：时：(23)+(21)6xx此时：此时：112x ，4 4 分分故所求不等式故所求不等式的的解集为解集为：21xx . .5 5 分分（IIII）由由abab得得：2321(23)(21)4xxxx6 6 分分4m ，即即：2224.abc7 7 分分由柯西不等式得由柯西不等式得：2222222()(122 )(22 )abcabc9 9 分分所以所以2(22 )4 936,abc即即：+2 +26abc ，1010 分分