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1、1)Lagrange定理拉格朗日(中值定理定理拉格朗日(中值定理一、中值定理一、中值定理 2,;a b在内可导在内可导 ( )( )(),.f bf abba fa ba至少至少则在区间内使则在区间内使存在一点存在一点 1,;a b在上连续在上连续( ):f x设满足以下两个条件设满足以下两个条件ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何解释几何解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧分析分析:).()(bfaf 条条件件中中与与罗罗尔尔定定理理相相差差弦弦AB方程为方程为).()()()(axabafbfafy ,)(AB
2、xf减去弦线减去弦线曲线曲线., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线在在ba二二、函函数数的的单单调调性性 0, ),.a bxf xfx如果对区间(内所有的 值如果对区间(内所有的 值则在这个区间则在这个区间单调单调函数是函数是减少的减少的内内 ,;40)fxa bxf x如果对区间(内所有的 值如果对区间(内所有的 值则则定定在这个区间内函数是在这个区间内函数是单调递增的单调递增的理理xyo( )yf xxyo( )yf xabAB0( )fx0( )fxabBA32.( )5.213xxf x 例例 求的单调区间求的单调区间判断单调性时的分界点：1. 函数的导数函数的导
3、数 =0的点的点2. 函数的导数函数的导数 不存在的点不存在的点, 如：如：y=|x|3.（有限的）不连续的点（有限的）不连续的点, 如：如：y=1/x( )fx( )fxoxyab( )yf x1x2x3x4x5x6x三、函数的极值、最值及凸凹性三、函数的极值、最值及凸凹性oxy0 xoxy0 x0( ),f xx如果函数在 的某一邻域内连续 并且如果函数在 的某一邻域内连续 并且 1 1、极值、极值定义定义 恒有恒有0( ),f xx如果函数在 某一邻域内连续 并且恒有如果函数在 某一邻域内连续 并且恒有;函数的极大值与极小值称为函数的函数的极大值与极小值称为函数的极值极值统统.使函数取得
4、极值的称为使函数取得极值的称为极值点极值点点点00( )() ()xf xf xx其中其中0()( ).f xf x则称是函数的一则称是函数的一极小值极小值个个00( )() ()xf xf xx其中其中0()( );f xf x则称是函数的一则称是函数的一极大值极大值个个().函数的极值是概念,与函数在一个区间上的最值概念 是不同的函数的极大值是函数的最大值,函数的极小值也是函数的最小值,而且函数在一个区间上可能有几个极大值和极小值,甚至于极小值还有局部整体不一定不一可能某个大于注定极大值. 00,3fxxx必要条件必要条件设函数在 处可导 且在 处设函数在 处可导 且在 处理理取得极值取得
5、极值定定00.fx则必有则必有( )0( )(stationary point).;,.fxfx的实根称为函数的可导函数的驻点极值点驻点但反过来 函数的驻点却必是不一定:则是极值点注xyoxyo0 x0 x 0004,0:fxxfxxx第一充分条件第一充分条件设函数在 的邻域内可导 且设函数在 的邻域内可导 且当点 递增变动经过当点 递增变动经过定定点时点时理理 001,;fxfxxfx若由正变负 则在点 处有极大值若由正变负 则在点 处有极大值 002,;fxfxxfx若由负变正 则在点 处有极小值若由负变正 则在点 处有极小值 03,.fxfxx若符号不变 则在点 处没有极值若符号不变 则
6、在点 处没有极值xyoxyo0 x0 x (不是极值点情形不是极值点情形)注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点。也可能是函数的极值点。 3.( )11.f xxx2 2例例 求的极值求的极值2 2 ,.fx 若连续函数有若干个极值点 则极大值点 若连续函数有若干个极值点 则极大值点 与极小值点一定交 与极小值点一定交推推替出现替出现论论 00,50fxfxxx第二充分条件第二充分条件设在处具有二阶设在处具有二阶定定导数导数理理则则 0010,;fxfx若则为极小值若则为极小值 0020,;fxfx若则为极大值若则为极大值 0030,.fxfx若则不能确定是否若则不能
7、确定是否 为函数的极值 为函数的极值43.( )345.f xxx例3例3求的极值求的极值注意注意：求极值时，除驻点外，还须考虑一阶：求极值时，除驻点外，还须考虑一阶导数不存在的点导数不存在的点. 23.( )4-1.f xxx例例 求的极值求的极值4 4:解解( )0:1,fxx 令得驻点为令得驻点为4(-1)4.76f由定理 可判定, 为极大值,由定理 可判定, 为极大值,( )，4(1)0fxf再考虑不存在的点有x=1,再考虑不存在的点有x=1,由定理 可判定, 为极小值.由定理 可判定, 为极小值.21333512( )141331xfxxxxx 23( )4-1f xxx求极值的步骤
8、1.求出一阶导数等于零的点(驻点)及不可导点,由充分条件一进行判断;2.求二阶导函数,由充分条件二进行判断;注意:极值是函数局部性形态特征, 极大值不 一定比极小值大, 极小值也不一定比极大值小oxybaoxyabmin，.= =所有极值所有极值最值最值端点值端点值小小max，；= =所所有有极极值值最最端端点点值值大大值值2、函数的最值oxyab32.( )-6950,5.f xxxx求求在在上上的的最最大大值值, ,例例 最最小小值值5 52( )31293(1)(3)( )0:13,: fxxxxxfxxx 令得驻点为及 令得驻点为及解解05,(0)5,(1)9,(3)5,(5)25,x
9、xffff端点为及 端点为及 ( )0,525,f x在上的最大值为最小值为5.在上的最大值为最小值为5.32( )-6950,5.f xxxx 在在上上的的最最大大值值和和最最小小值值00.511.522.533.544.550510152025xy点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停公里公里5 . 0公里公里4B A )(ts例6 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟的速度向正北逃，同时我军摩托车从河的南岸B处向正东追击,速度为2千米/分钟,河的宽度0.5千米 问我军摩托车何时射击最好（相距最近射击最好）？求最值的步骤1.求出驻点和不可导点(有的话);2.比较端点、驻点、不可导点的函数值，哪个大为最大值，哪个小为最小值。注意:区间内只有一个极值时, 这个值就是最 值；