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1、换元积分法换元积分法 直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分的两大基本方法分的两大基本方法换元积分法和分部积分法。换元积分法和分部积分法。在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的的方法。利用中间变量的代换，得到复合
2、函数的积分法积分法换元积分法。通常根据换元的先后，换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。把换元法分成第一类换元和第二类换元。在求导法则中,对于复合函数,有一个求导的链式法则(1)对不定积分来说有类似的法则吗？我们如何利用(1)式中的链式法则，从右端的函数f(x)(x)求出左端的原函数f(x),就是现在要研究的问题。解决问题的关键在哪里呢？再看(1)式的特点外部函数的导数中间变量u中间变量u的导数复合函数求导数得到的函数是两个因子的乘积外部函数的导数 中间变量的导数。如果从被积函数中你能看出这种形式，问题的答案就出来了。第二节第二节 换元积积分法换元积积分法解决方法
3、解决方法利用复合函数，设置中间变量利用复合函数，设置中间变量.过程过程 令令 一、第一类换元法一、第一类换元法将复合函数的求导法则反过来用于不定积分将复合函数的求导法则反过来用于不定积分凑微分凑微分凑微主要是凑微主要是配凑内层函数的微分配凑内层函数的微分即即 如果如果u是中间变量：是中间变量：u(x),且设且设(x)可微，那么，可微，那么，根据复合函数微分法根据复合函数微分法从而根据不定积分的定义就得从而根据不定积分的定义就得第一类换元公式（凑微分法）第一类换元公式（凑微分法）说明说明:使用此公式的关键在于将使用此公式的关键在于将化为化为观察重点不同，所得结论不同观察重点不同，所得结论不同.注
4、注定理说明：若已知定理说明：若已知则则因此该定理的意义就在于把因此该定理的意义就在于把中的中的换成另一个换成另一个的可微函数的可微函数后，式子仍成立后，式子仍成立又称为积分的形式不变性又称为积分的形式不变性这样一来，可使基本积分表中的积分公式这样一来，可使基本积分表中的积分公式的适用范围变得更加广泛。的适用范围变得更加广泛。由定理可见，虽然由定理可见，虽然是一整体记号，但可把是一整体记号，但可把视为自变量微分视为自变量微分凑微分凑微分凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化表达式进行变形，主要考虑如何变化凑微分法的基
5、本思路：凑微分法的基本思路：与基本积分公式相比较，将不同的部分与基本积分公式相比较，将不同的部分中间变量中间变量和和积分变量积分变量变成相同变成相同步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 凑微分凑微分第一换元积分法本质第一换元积分法本质换回换回直接直接对外对外函数函数积分积分 求解：解：函数3x2cosx3看上去象某复合函数求导而得：cosx3 3x2sinu的导数 中间变量u 中间变量u的导数因此猜测sinx3是一个原函数，求导数验证所以使用这种方法的基本想法 从被积函数中找到一个作中间变量的函数，其导数是作为一个因子出现的。这个想法在相差一个常数因子时
6、也可以用。使用这种方法要求想象出复合函数的形式。例例1 1 求求解解例例2 2 求求解解例例3 3 求求解解例例4 4 求求解解例例5 5 求求解解2x1u换元换元u 2x1回代回代一般地一般地例例6 6 求求解解请同学们自己计算请同学们自己计算解解:uudu重算一遍解：解：能想出原函数的形式吗？记得这个公式吗？如何用这个公式？常用凑微分公式常用凑微分公式1.1.求求2.2.求求练练 习习3.3.求求4.4.求求1.求求解解答答 案案解：原式解：原式答答 案案2.求求答答 案案4.4.解解答答 案案v有些题并不能直接利用凑微法，有些题并不能直接利用凑微法，需要经过变形之后才能利用凑微需要经过变
7、形之后才能利用凑微法。法。例例7 7 求求解解例例8 8 求求例例9 9 求求解解例例10 10 求求解解例例11 11 求求解解例例12 12 求求解解v对于对于 、利用积化和差公式和凑微法很简单利用积化和差公式和凑微法很简单的几步就可解决此类不定积分的几步就可解决此类不定积分积积化化和和差差例例13 13 求求解解例例 求求解解基基本本积积分分表表基基本本积积分分表表例例 求求解解例例 求求例例 求求解解说明：说明：当被积函数是三角函数相乘时，当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分拆开奇次项去凑微分.解（一）解（一）（使用了三角函数恒等变形）（使用了三角函数恒等变形）练练 习习解（二）解（二）类似地可推出类似地可推出练习练习 求求解解练习练习 求求解解练练 习习凑微法凑微法例例 求求原式原式凑微法的整个思想凑微法的整个思想