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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高考数学数列专题目.精品文档.等差数列1等差数列的定义： d（d为常数）2等差数列的通项公式： ana1 d anam d3等差数列的前n项和公式：Sn 4等差中项：如果a、b、c成等差数列，则b叫做a与c的等差中项，即b 5数列an是等差数列的两个充要条件是： 数列an的通项公式可写成anpnq(p, qR) 数列an的前n项和公式可写成Snan2bn (a, bR)6等差数列an的两个重要性质： m, n, p, qN*，若mnpq，则 数列an的前n项和为Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列第3课时 等比数列1等比数列的定义：q（q为
2、不等于零的常数）2等比数列的通项公式： ana1qn1 anamqnm 3等比数列的前n项和公式： Sn 4等比中项：如果a，b，c成等比数列，那么b叫做a与c的等比中项，即b2 或b( ）5等比数列an的几个重要性质： m，n，p，qN*，若mnpq，则 Sn是等比数列an的前n项和且Sn0，则Sn，S2nSn，S3nS2n成 数列 若等比数列an的前n项和Sn满足Sn是等差数列，则an的公比q 数列通项公式的几种方法一、观察法 即归纳推理，一般用于解决选择、填空题。过程：观察概括、推广猜出一般性结论。例1、数列的前四项为：11、102、1003、10004、，则_。分析：即二、公式法，即已
3、知数列前n项和，求通项。例2、已知数列前n项和满足：，求此数列的通项公式。解：当时，当时，所以：三、递推公式1、累差法递推式为：an+1=an+f(n) (f(n)可求和)思路：:令n=1,2,n-1可得 a2-a1=f(1)a3-a2=f(2)a4-a3=f(3)an-an-1=f(n-1)将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1)f(n)可求和an=a1+f(1)+f(2)+ +f(n-1)当然我们还要验证当n=1时,a1是否满足上式可能要用到的一些公式：例3、已知数列a中,a1=1,an+1=an+2,求an解： 令n=1,2,n-1可得 a2-a1=2a3-a2
4、=22a4-a3=23an-an-1=2n-1将这个式子累加起来可得an-a1=f(1)+f(2)+f(n-1)f(n)可求和an=a1+f(1)+f(2)+f(n-1) 当n=1时,a1适合上式 故an=2n-12、累商法递推式为：an+1=f(n)an（f(n)要可求积）思路：令n=1,2, ,n-1可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘可得an/a1=f(1)f(2) f(n-1) f(n)可求积 an=a1f(1)f(2) f(n-1)当然我们还要验证当n=1时，a1是否适合上式例4、在数列an中,a1=2,an
5、+1=(n+1)an/n,求an解： 令n=1,2, ,n-1可得 a2/a1=f(1) a3/a2=f(2) a4/a3=f(3)an/an-1=f(n-1)将这个式子相乘后可得an/a1=2/13/24/3n/(n-1)即an=2n当n=1时，an也适合上式an=2n3、构造法（1）、递推关系式为an+1=pan+q (p,q为常数)思路：设递推式可化为an+1+x=p(an+x),得an+1=pan+(p-1)x,解得x=q/(p-1)故可将递推式化为an+1+x=p(an+x)构造数列bn,bn=an+q/(p-1)bn+1=pbn即bn+1/bn=p,bn为等比数列.故可求出bn=f
6、(n)再将bn=an+q/(p-1)代入即可得an例5、数列an中,对于n1(nN)有an=2an-1+3,求an解： 设递推式可化为an+x=2(an-1+x),得an=2an-1+x,解得x=3 故可将递推式化为an+3=2(an-1+3) 构造数列bn,bn=an+3 bn=2bn-1即bn/bn-1=2,bn为等比数列且公比为3 bn=bn-13,bn=an+3 bn=43n-1 an+3=43n-1,an=43n-1-1（2）、递推式为an+1=pan+qn (p,q为常数)思路：在an+1=pan+qn两边同时除以qn+1得 an+1/qn+1=p/qan/qn+i/q构造数列bn
7、,bn=an/qn可得bn+1=p/qbn+1/q故可利用上类型的解法得到bn=f(n)再将代入上式即可得an例6、数列an中,a1+5/6,an+1=(1/3)an+(1/2)n,求an解： 在an+1=(1/3)an+(1/2)n两边同时除以(1/2)n+1得 2n+1an+1=(2/3)2nan+1构造数列bn,bn=2nan可得bn+1=(2/3)bn+1故可利用上类型解法解得bn=3-2(2/3)n2nan=3-2(2/3)nan=3(1/2)n-2(1/3)n（3）、递推式为：an+2=pan+1+qan （p,q为常数）思路：设an+2=pan+1+qan变形为an+2-xan+
8、1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=p,xy= -q解得x,y，于是bn就是公比为y的等比数列（其中bn=an+1-xan）这样就转化为前面讲过的类型了例7、已知数列an中,a1=1,a2=2,an+2=(2/3)an+1+(1/3)an,求an解：设an+2=(2/3)an+1+(1/3)an可以变形为an+2-xan+1=y(an+1-xan)也就是an+2=(x+y)an+1-(xy)an，则可得到x+y=2/3,xy= -1/3可取x=1,y= -1/3构造数列bn，bn=an+1-an故数列bn是公比为-1/3的等比数列即bn=
9、b1(-1/3)n-1 b1=a2-a1=2-1=1 bn=(-1/3)n-1 an+1-an=(-1/3)n-1故我们可以利用上一类型的解法求得an=1+3/41-(-1/3)n-1(nN*)四、求解方程法若数列满足方程时，可通过解方程的思想方法求得通项。例8、已知，数列满足，求数列的通项公式。解：五、用不完全归纳法猜想,用数学归纳法证明. 思路:由已知条件先求出数列前几项，由此归纳猜想出an，再用数学归纳法证明例9、已知数列an中,an+1=a2n-nan+1,a1=2,求an解：由已知可得a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,a5=6由此猜想an=n+1，下用数学归纳法证明：当n=1时，左边2，右边2，左边右边即当n=1时命题成立假设当n=k时，命题成立，即ak=k+1则 ak+1=a2k-kak+1 =(k+1)2-k(k+1)+1 =k2+2k+1-k2-2k+1 =k+2 =(k+1)+1当n=k+1时，命题也成立综合(1),(2),对于任意正整数有an=n+1成立即an=n+1