2022年-年考研数学二真题及部分答案 .pdf

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1、2010 年考研数学二真题（强烈推荐）一 填空题 (84=32 分) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 24 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 24 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - -

2、- - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 24 页 - - - - - - - - - 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题： 18 小题，每小题 8 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。（1）函数3( )sinxxf xnx与2( )ln(1)g xxbx是等价无穷小，则（）（A）1 （B）2 （C）3 （D）无穷多个（2）当0 x时，( )sinf xxax与2( )ln(1)g xxbx是等价无穷小，则（）（A）11,6ab（B）11,6ab（C）11,6ab（D）1

3、1,6ab（3）设函数( , )zf x y的全微分为dzxdxydy，则点（ 0，0） （）（A）不是( , )f x y的连续点（B）不是( , )fx y的极值点（C）是( , )f x y的极大值点（D）是( , )fx y的极小值点（4）设函数( ,)f x y连续，则222411( , )( , )yxydxf x y dydyf x y dx=（）（A）2411( , )ydxf x y dy（B）241( , )xxdxf x y dy（C）2411( , )ydxf x y dx（D）221( , )ydxf x y dx（5）若( )fx不变号，且曲线( )yf x在点（

4、1，1）的曲率圆为222xy，则( )f x在区间（ 1，2）内（）（A）有极值点，无零点（B）无极值点，有零点（C）有极值点，有零点（D）无极值点，无零点（6）设函数( )yf x在区间 -1,3 上的图形为则函数0( )( )xF xf t dt为（）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 24 页 - - - - - - - - - （7）设、 B 均为 2 阶矩阵，,A B分别为 A、B 的伴随矩阵。若|A|=2，|B|=3，则分块矩阵00AB的伴随矩阵为

5、（）（A）0320BA（B）0230BA（C）0320AB（D）0230AB（8）设 A， P 均为 3 阶矩阵，TP为 P 的转置矩阵，且TPA1 0 00 1 00 0 2，若1231223(,),(,)PQ，则TQ AQ为（）（）2 1 01（）1 1 01 2 00 0（）2 0 00 1（）1 0 00 2 00 0 2二、填空题： 9-14 小题，每小题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上。（9）曲线21022ln(2)tuxeduytt在（ 0，0）处的切线方程为_ （10）已知| |1k xedx，则 k=_ 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - -

6、- - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 24 页 - - - - - - - - - （11）10limsinxnenxdx=_ （12）设( )yy x是方程1yxyex确定的隐函数，则202|xdydx=_ （13）函数2xyx在区间 (0,1上的最小值为 _ （14）设,为 3 维列向量，T为的转置，若T相似于2 0 00 0 00 0 0，则T=_ 三、解答题： 15-23 小题，共94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15） （本题满分9 分）求极限40(1co

7、s )ln(1tan )limsinxxxxx（16） （本题满分10 分）计算不定积分1ln(1)(0)xdx xx（17） （本题满分10 分）设(,)zfxy xy xy，其中f具有 2 阶连续偏导数，求dz与2zx y（18） （本题满分10 分）设非负函数y=y(x)(x0)，满足微分方程20 xyy，当曲线y=y(x) 过原点时， 其与直线x=1 及 y=0 围成平面区域的面积为2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体体积。（19） （本题满分10 分）求二重积分()Dxy dxdy，其中22( , )|(1)(1)2,Dx yxyyx（20） （本题满分12 分）设 y=y(x) 是

8、区间( ,)内过点(,)22的光滑曲线，当0 x时，曲线上任一点处的发现都过原点，当0 x时，函数y(x) 满足0yyx。求 y(x) 的表达式。（21） （本题满分11 分） （I）证明拉格朗日中值定理：若函数( )f x在a,b上连续，在（ a,b）可导，则存在( , )a b，使得( )( )( )()f bf afba。 （II ）证明：若函数( )f x在x=0 处连续，在(0,)(0)内可导，且0lim( )xfxA则(0)f名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

9、 6 页，共 24 页 - - - - - - - - - 存在，且(0)fA。（22） （本题满分11 分）设11111111,10422A（I）求满足22131,AA的所有向量23,；（II ）对（ I）中的任一向量23,，证明：123,线性无关。（23） （本题满分11 分）设二次型2221231231323(,)(1)22f x x xaxaxaxx xx x（I）求二次型f的矩阵的所有特征值； （II）若二次型f的规范形为2212yy，求 a 的值。2008 考研数学二真题一、选择题： （本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把

10、所选项前的字母填在题后的括号内）(1)设2( )(1)(2)f xxxx，则( )fx的零点个数为 ( )(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3(2)曲线方程为( )yf x，函数在区间0,a上有连续导数， 则定积分0( )axfx dx 在几何上表示 ( )(A) 曲边梯形ABOD的面积(B) 梯形ABOD的面积(C) 曲边三角形ACD面积(D) 三角形ACD面积(3)在下列微分方程中， 以123cos2sin2xyC eCxCx（123,C C C 为任意的常数）为通解的是 ( )(A) 440yyyy. (B) 440yyyy. (C) 440yyyy. (D) 440yy

11、yy. (4) 判定函数ln |( )sin|1|xf xxx间断点的情况 ( )(A) 有 1 可去间断点， 1 跳跃间断点 (B) 有 1 跳跃间断点， 1 无穷间断点(C) 有 2 个无穷间断点 . (D)有 2 个跳跃间断点 . (5)设函数( )f x在(,)内单调有界， nx为数列，下列命题正确的是 ( )(A) 若 nx收敛，则 ()nf x收敛(B) 若nx单调，则 ()nf x收敛名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 24 页 - - - -

12、- - - - - (C) 若 ()nf x收敛，则 nx收敛. (D) 若()nf x单调，则 nx收敛. (6)设函数f连续，若2222()( , )uvDf xyF u vdxdyxy，其中区域uvD为图中阴影部分，则Fu( )(A) 2()vf u(B) ( )vf u(C) 2()vf uu(D) ( )vf uu(7)设A为 n阶非零矩阵，E为 n 阶单位矩阵若30A，则下列结论正确的是( )(A) EA不可逆，EA不可逆 . (B) EA不可逆，EA可逆. (C) EA可逆，EA可逆. (D) EA可逆，EA不可逆 . (8) 设1221A，则在实数域上，与A 合同矩阵为 ( )

13、(A) 2112. (B) 2112. (C) 2112. (D) 1221.二、填空题：（914 小题，每小题 4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上）(9)已知函数( )f x连续，且01cos( )lim1(1)( )xxxf xef x，则(0)f(10)微分方程2()0 xyx edxxdy的通解是. (11)曲线sin()ln()xyyxx在点(0,1)处的切线方程为. (12)曲线23(5)yxx 的拐点坐标为. (13)设xyyzx，则(1,2)zx. (14)设 3 阶矩阵A的特征值为2,3,若行列式|2|48A，则_. 三、解答题 (1523 小题，共 94 分)(1

14、5)(本题满分 9 分) 求极限40sinsin(sin ) sinlimxxxxx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 24 页 - - - - - - - - - (16)(本题满分 10 分) 设函数( )yy x由参数方程20( )ln(1)txx tyu du确定，其中( )xx t是初值问题0200 xtdxtedtx的解，求22d ydx(17)（本题满分 9 分）计算2120arcsin1xxdxx(18)(本题满分 11 分) 计算max,1D

15、xydxdy，其中 Dx yxy( , )| 02,02 (19)(本题满分 11 分) 设( )f x是区间0,)上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f对任意的0,)t，直线0,xxt，曲线( )yf x以及 x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体， 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2 倍，求函数( )f x的表达式(20)(本题满分 11 分) (I)证明积分中值定理：若函数( )f x在闭区间 , a b上连续，则至少存在一点 , a b，使得( )( )()baf x dxfba ；(II)若函数( )x具有二阶导数， 且满足(2)(1)，32(2)( )x dx

16、，证明至少存在一点(1,3)，使得( )0(21)(本题满分 11 分) 求函数222uxyz 在约束条件22zxy 和4xyz下的最大值和最小值(22) (本题满分 12 分)设n元线性方程组Axb，其中名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 24 页 - - - - - - - - - 2222212121212aaaaaAaaaa，12nxxxx，12nbbbb（I）证明行列式| (1)nAna；（II）当a为何值时，该方程组有惟一解，并求1x（III）当a

17、为何值时，该方程组有无穷多解，并求其通解(23) (本题满分 10 分) 设A为 3 阶矩阵，12,为A的分别属于特征值1,1的特征向量，向量3满足A323，(I)证明123,线性无关；(II)令123(,)P，求1PAP2007 年研究生入学考试数学二试题一、选择题： 110 小题，每小题4 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0 x时，与x等价的无穷小量是（A）1ex（B）1ln1xx（C）11x（D）1cosx （2）函数1(ee)tan( )eexxxf xx在,上的第一类间断点是x（）（A）0 （B）1 （C

18、）2（D）2（3）如图，连续函数( )yf x在区间3, 2 , 2,3上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周，在区间2,0 , 0,2的图形分别是直径为2的下、上半圆周， 设0( )( )dxF xf tt，则下列结论正确的是：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 24 页 - - - - - - - - - （A）3(3)( 2)4FF(B) 5(3)(2)4FF（C）3(3)(2)4FF（D）5(3)( 2)4FF （4）设函数( )f x在0 x处连续

19、，下列命题错误的是：（A）若0( )limxf xx存在，则(0)0f（B）若0( )()limxf xfxx存在，则(0)0f. （B）若0( )limxf xx存在，则(0)0f（D）若0( )()limxf xfxx存在，则(0)0f. （5）曲线1ln 1exyx的渐近线的条数为（A）0. （B） 1. （C） 2. （D）3. （6）设函数( )f x在(0,)上具有二阶导数，且( )0fx，令( )nuf n，则下列结论正确的是：(A) 若12uu，则nu必收敛 . (B) 若12uu，则nu必发散(C) 若12uu，则nu必收敛 . (D) 若12uu，则nu必发散 . （7）二

20、元函数( ,)f x y在点0,0处可微的一个充要条件是（A）( , )0,0lim( , )(0,0)0 x yf x yf. （B）00( ,0)(0,0)(0,)(0,0)lim0,lim0 xyf xffyfxy且. （C）22( , )0,0( , )(0,0)lim0 x yf x yfxy. （D）00lim( ,0)(0,0)0,lim(0,)(0,0)0 xxyyxyfxffyf且. （8）设函数( ,)f x y连续，则二次积分1sin2d( ,)dxxf x yy等于名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - -

21、- - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 24 页 - - - - - - - - - （A）10arcsind( , )dyyf x yx（B）10arcsind( , )dyyf x yx（C）1arcsin02d( , )dyyf x yx（D）1arcsin02d( , )dyyf x yx（9）设向量组123,线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则(A) 122331,(B) 122331,(C) 1223312,2,2. (D) 1223312,2,2. （10）设矩阵211100121 ,010112000AB，则A与B(A) 合同且相似（B）合

22、同，但不相似. (C) 不合同， 但相似 . (D) 既不合同也不相似 二、填空题 ：1116 小题，每小题4 分，共 24 分. 把答案填在题中横线上. （11）30arctansinlimxxxx_. （12）曲线2coscos1sinxttyt上对应于4t的点处的法线斜率为_. （13）设函数123yx，则( )(0)ny_. （14） 二阶常系数非齐次微分方程2432exyyy的通解为y_. （15） 设( , )f u v是二元可微函数，,y xzfx y，则zzxyxy_. （16）设矩阵0100001000010000A，则3A的秩为. 三、解答题：1724 小题，共 86 分.

23、 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分 10 分)设( )f x是区间0,4上单调、可导的函数， 且满足( )100cossin( )ddsincosfxxttftttttt，其中1f是f的反函数，求( )fx.（18） （本题满分11 分）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 24 页 - - - - - - - - - 设D是位于曲线2(1,0)xayxaax下方、x轴上方的无界区域. （）求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积(

24、 )V a；（）当a为何值时，( )V a最小？并求此最小值. （19） （本题满分10 分）求微分方程2()yxyy满足初始条件(1)(1)1yy的特解（20） （本题满分11 分）已知函数( )f u具有二阶导数， 且(0)1f，函数( )yy x由方程1e1yyx所确定，设lnsinzfyx，求2002dd,ddxxzzxx. （21） (本题满分 11 分)设函数( ),( )f xg x在,a b上连续，在( , )a b内具有二阶导数且存在相等的最大值，( )( ),( )( )f ag af bg b，证明：存在( , )a b，使得( )( )fg. （22） (本题满分 11

25、 分)设二元函数222,| 11( ,),1 | 2xxyf x yxyxy，计算二重积分D( , )df x y，其中,| 2Dx yxy. （23） (本题满分 11 分)设线性方程组123123212302040 xxxxxaxxxa x与方程12321xxxa有公共解，求a的值及所有公共解 . 1.【分析 】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解 】当0 x时，1 exx，1112xx，2111cos22xxx，故用排除法可得正确选项为（B）. 事实上，0001111lnln(1)ln(1)1112limlimlim112xxxxxxxxxxxxx，或1lnln

26、(1)ln(1)( )()()1xxxxo xxoxxoxxx. 所以应选（ B）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 24 页 - - - - - - - - - 【评注 】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 2【分析 】因为函数为初等函数，则先找出函数的无定义点，再根据左右极限判断间断点的类型 . 【详解 】函数在0,1,2xxx均无意义，而110000(ee)tan(ee)tanlim( )lim0,lim( )lim1ee

27、eexxxxxxxxxxf xf xxx；111(ee)tanlim( )limeexxxxxf xx；122(ee)tanlim( )limeexxxxxf xx. 所以0 x为函数( )f x的第一类间断点，故应选（A）. 【评注 】本题为基础题型. 对初等函数来讲，无定义点即为间断点，然后再根据左右极限判断间断点的类型；对分段函数来讲，每一分段支中的无定义点为间断点，而分段点也可能为间断点，然后求左右极限进行判断. 段函数的定积分. 【详解 】利用定积分的几何意义，可得221113( 3)12228F，211(2)222F，202202011( 2)( )d( )d( )d122Ffxx

28、f xxf xx. 所以33(3)(2)( 2)44FFF，故选（ C）. 【评注 】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便. 4【分析 】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数( )f x去进行判断，然后选择正确选项. 【详解 】取( )|fxx，则0( )()lim0 xf xfxx，但( )f x在0 x不可导，故选（D）. 事实上，在(A),(B) 两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f. 在 （C） 中，0( )limxf xx存在，则00( )(0

29、)( )(0)0,(0)limlim00 xxf xffxffxx，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 24 页 - - - - - - - - - 所以 (C)项正确，故选 (D) 【评注 】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效. 5 【分析 】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断 . 【详解 】11limlimln 1e, limlimln 1e0 xxxx

30、xxyyxx，所以0y是曲线的水平渐近线；001limlimln 1exxxyx，所以0 x是曲线的垂直渐近线；1eln 1 eln 1e1elimlim0limlim11xxxxxxxxyxxxx，1l i ml i ml n 1e0 xxxbyxxx，所以yx是曲线的斜渐近线. 故选（ D）. 【评注 】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注 意 当 曲 线 存 在 水 平 渐 近 线 时 ， 斜 渐 近 线 不 存 在 . 本 题 要 注 意ex当,xx时的极限不同 . 6 【分析 】本题依据函数( )f x的性质，判断数列( )nuf n. 由于含有

31、抽象函数，利用赋值法举反例更易得出结果. 【详解 】选（ D）. 取( )lnf xx，21( )0fxx，12ln10ln 2uu，而( )lnf nn发散，则可排除（A） ；取21( )f xx，46( )0fxx，12114uu，而21( )f nn收敛，则可排除（B） ；取2( )f xx，( )20fx，1214uu，而2( )f nn发散，则可排除 （C） ；故选（ D）. 事实上，若12uu，则211(2)(1)()02121uufff. 对任意1,x，因为( )0fx，所以1( )()0fxfc，对任意21,，121( )()()()f xffxx. 名师资料总结 - - -精

32、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 24 页 - - - - - - - - - 故选（ D）. 【评注 】对于含有抽象函数的问题，通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算. 7 .【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续，偏导的关系 . 【详解 】本题也可用排除法， （A）是函数在0,0连续的定义；（B）是函数在0,0处偏导数存在的条件；（D）说明一阶偏导数(0,0),(0,0)xyff存在，但不能推导出两个一阶偏导函数( , ),( , )xyfx

33、 yfx y在点 (0,0) 处连续，所以（A） （B） （D）均不能保证( , )f x y在点0,0处可微 . 故应选（ C）. 事实上，由22( , )0,0( , )(0,0)lim0 x yf x yfxy可得22200( ,0)(0,0)( ,0)(0,0)limlim00 xxf xff xfxxxx，即(0,0)0,xf同理有(0,0)0.yf从而0(,)( 0 , 0 ) ( 0, 0 )( 0 , 0 )l i mxyfxyffxfy= 2200(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0()()fxyffxyfxy. 根据可微的判定条件可知函数( ,)f x y在点0,

34、0处可微，故应选(C). 【评注 】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微，只有当一阶偏导数连续时，才可微. 8,【分析 】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分 . 【详解 】由题设可知，,sin12xxy，则01,arcsinyyx，故应选（ B）. 【评注 】本题为基础题型. 画图更易看出 . 9 .【分析 】本题考查由线性无关的向量组123,构造的另一向量组123,的线性相关性 . 一般令123123,A，若0A，则123,线性相关；若0A，则123,线性无关 . 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项. 名师资料总结 - -

35、-精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 24 页 - - - - - - - - - 【详解 】由1223310可知应选（ A）. 或者因为122331123101,110011，而1011100011，所以122331,线性相关，故选（A）. 【评注 】本题也可用赋值法求解，如取TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1，以此求出（ A） ， （B） ， （C） ， （D）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项. 10 .【分析 】本题考

36、查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A的特征值，并考虑到实对称矩阵A必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案. 【详解 】 由2211121(3)112EA可得1233,0，所以A的特征值为3,3,0；而B的特征值为1,1,0. 所以A与B不相似，但是A与B的秩均为 2，且正惯性指数都为2，所以A与B合同，故选（ B）. 【评注 】若矩阵A与B相似，则A与B具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A与B的特征值可立即排除（A） （C）. 11【分析 】本题为00未定式极限的求解，利用洛必达法则即可. 【详解 】232001cosarctansin1limlim

37、3xxxxxxxx2201cos (1)lim3xxxx202 cossin(1)111lim6366xxxxxx. 【评注 】本题利用了洛必达法则. 本题还可用泰勒级数展开计算. 因为333311arctan(), sin()36xxxo xxxxo x，所以30arctansin1lim6xxxx. 12 .【分析 】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义. 【详解 】因为44dcos2dsin2cos sin22ttytxttt，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第

38、17 页，共 24 页 - - - - - - - - - 所以曲线在对应于4t的点的切线斜率为222，故曲线在对应于4t的点的法线斜率为222. 【评注 】本题为基础题型. 13 .【分析 】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式. 【详解 】212,2323yyxx，则( )1( 1) 2!( )(23)nnnnnyxx，故()1( 1) 2!(0)3nnnnny. 【评注 】本题为基础题型. 14 .【分析 】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解，利用二阶常系数非齐次微分方程解的结构求解， 即先求出对应齐次方程的通解Y，然后求出非齐次微分方程的一个特解*y，则其通解为*

39、yYy. 【详解 】对应齐次方程的特征方程为2124301,3，则对应齐次方程的通解为312eexxyCC. 设原方程的特解为2*exyA，代入原方程可得22224e8 e3 e2e2xxxxAAAA，所以原方程的特解为2*2exy，故原方程的通解为3212ee2exxxyCC，其中12,C C为任意常数 . 【评注 】本题为基础题型. 15 【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解 】利用求导公式可得1221zyffxxy，1221zxffyxy，所以122zzyxxyffxyxy. 【评注 】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性. 16 【分析】先将

40、3A求出，然后利用定义判断其秩. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 24 页 - - - - - - - - - 【详解 】30100000100100000()10001000000000000AAr A. 【评注 】本题考查矩阵的运算和秩，为基础题型. 17 【分析】对含变上限积分的函数方程，一般先对x 求导，再积分即可. 【详解 】( )100cossin( )ddsincosf xxttftttttt两边对x求导得1(cossin)( )( )si

41、ncosxxxff xfxxx(cossin )cossin( )( )sincossincosxxxxxxfxfxxxxx， （0 x）两边积分得( )ln |sincos|fxxxC. （1）将0 x代入题中方程可得(0)0100cossin( )dd0sincosfttftttttt. 因为( )f x是区间0,4上单调、可导的函数，则1( )fx的值域为0,4，单调非负， 所以(0)0f. 代入（1）式可得0C，故( )ln |sincos|f xxx. 【评注 】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一. 18 .【分析 】V(a)的可通过广义积分进行计算，再按一般方法求V(a)

42、的最值即可【详解 】 （）00( )ddlnxxaaaV axaxx aa2200220dlnlnlnlnxxxaaaa xaaaaaxaaaaa. （）令224312 ln2ln2(ln1)( )0lnlnaaaaaaaV aaa，得ea. 当ea时，( )0Va，( )V a单调增加；当1ea时，( )0Va，( )V a单调减少 . 所以( )V a在ea取得极大值，即为最大值，且最大值为2(e)eV. 【评注 】本题为定积分几何应用的典型问题，需记忆相关公式，如平面图形的面积，绕坐标轴的旋转体的体积公式等. 19 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -

43、 - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 24 页 - - - - - - - - - 【分析 】本题为不含y的可降阶方程，令yp，然后求解方程. 【详解 】本题不含y，则设yp，于是yp，原方程变为2()p xpp，则ddxxppp，解之得()xp pC，将(1)1p代入左式得0C，于是2xp3223yxyxC，结合(1)1y得0C，故3223yx. 【评注 】本题为基础题型. 20 .【分析 】本题实质上是二元复合函数的求导，注意ddyx需用隐函数求导法确定. 【详解 】令lnsinuyx，则00ddddxxzfuuyxuxy

44、x. 1e1yyx两边对x求导得1111eee01eyyyyyxyyx， 又(0 ) 1y，可得(0)1y在11e1eyyyx两边对x求导得111110021e1eeee21eyyyyyxxyyxxyyx. 所以000dd1 d(0)cosdddxxxzfuuyyfxxuxyxyx1011e(0)cos01eyxyfxyx. 22222002222d1 d1d1 dcossinddddxxzfyfyyxxxuyxuyxyx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共

45、24 页 - - - - - - - - - 220221d1 d(0)sin1ddxyyfxyxyx. 【评注 】也可利用11ee0yyyxy两边对x求导得11121eeee0yyyyyyyxyxy可得(0)y. 21 【 分 析 】 由 所 证 结 论( )( )fg可 联 想 到 构 造 辅 助 函 数( )( )( )F xf xg x，然后根据题设条件利用罗尔定理证明. 【详解 】令( )( )( )F xfxg x，则( )F x在,a b上连续，在( , )a b内具有二阶导数且( )( )0F aF b. （1）若( ),( )f xg x在( , )a b内同一点c取得最大值

46、，则( )( )( )0f cg cF c，于是由罗尔定理可得，存在12( , ),( , )a cc b，使得12()()0FF. 再利用罗尔定理，可得存在12(,)，使得( )0F，即( )( )fg. （2）若( ),( )f xg x在( , )a b内不同点12,c c取得最大值，则12()()f cg cM，于是111222()()()0,()()()0F cf cg cF cf cg c，于是由零值定理可得，存在312( ,)cc c，使得3()0F c于是由罗尔定理可得，存在1323( ,),(, )a cc b，使得12()()0FF. 再利用罗尔定理，可得，存在12(,)，

47、使得( )0F，即( )( )fg. 【评注 】对命题为( )( )0nf的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证为(1)( )nfx的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)( )nfx在包含x于其内的区间上满足罗尔定理条件. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 24 页 - - - - - - - - - 22.【分析 】由于积分区域关于,x y轴均对称， 所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分 . 【详解 】因为被

48、积函数关于,x y均为偶函数，且积分区域关于, x y轴均对称，所以1DD( , )d( , )df x yf x y，其中1D为D在第一象限内的部分. 而1222D1,0,012,0,01( , )dddxyxyxyxyf x yxxy112222222200011011ddddddxxxxxxyxyxyxyxy12 ln 1212. 所以D1( ,)d42 ln 123f x y. 【评注 】被积函数包含22yx时, 可考虑用极坐标，解答如下：2212120,00,01( , )ddxyxyxyxyf x yxy22sincos10sincosddr2 ln(12). 23 【分析】将方程

49、组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a. 【详解 】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021xxxxxaxxxa xxxxa其系数矩阵22111011101200110140031012110101aaAaaaa. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 22 页，共 24 页 - - - - - - - - - 21110111001100110003200011001100(1)(2)0aaaaaaaaaa. 显然，当

50、1,2aa时无公共解 . 当1a时，可求得公共解为T1, 0 ,1k,k为任意常数；当2a时，可求得公共解为T0, 1,1. 【评注 】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构. （24） (本题满分 11 分)设三阶对称矩阵A的特征向量值1231,2,2，T1(1, 1,1)是A的属于1的一个特征向量，记534BAAE，其中E为 3 阶单位矩阵 . （ I）验证1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（ II）求矩阵B. 【分析 】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解 】 （I）5353531111111111144412BAAE，则1是矩阵B的属于